1、专题6.22 一次函数与二元一次方程（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与二元一次方程（组）1.一般地,二元一次方程都能写成y=ax+b(a，b常数,且a0)的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知,一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线.2.(1)从“数”的角度看,解二元一次方程组相当于确定自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值;(2)从“形”的角度看,解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标。要点提醒：（1）二元一次方程组无解台两条直线平行(无交点);（2）二
2、元一次方程组有唯一解两条直线相交(有一个交点);（3）二元一次方程组有无数组解两条直线重合(有无数个交点)【知识点2】二元一次方程组的图象解法画出两个一次函数的图象，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解,这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法。【知识点3】确定两条直线交点坐标的方法联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组,通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标.【考点目录】【考点一】两直线交点与二元一次方程组的解； 【考点二】图象法解二元一次方程组；【考点三】求直线围成的图形面积。 【考点一】两直线交点与二元一次方程组的解【例1】（2023上全国八年级专题练习）
3、已知关于x，y的方程组（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；（3）当k，b为何值时，方程组无解【答案】（1），b为任意数；（2），；（3），【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当时，直线与只有一个交点，于是可得到的取值范围；（2）利用两直线的位置关系得到当，时，直线与重合，于是可得到、的值；（3）利用两直线的位置关系得到当，时，直线与没有一个交点，于是可得到的值和的取值范围（1）解：当时，即，直线与只有一个交点，所以当，为任意数时，方程组有唯一一组解；（2）当，时，即，直线与重合，所以，时，方程组有无数组解；（3）当，时，即，直线与没有交点，所
4、以，时，方程组无解【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标值方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标【举一反三】【变式1】（2022湖北武汉统考模拟预测）1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了如图是两个气球所在位置的海拔y（单位：）与上升时间x（单位：）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（）ABCD【答案】B【分析】根据“1号探测气球从海拔处
5、出发，以的速度上升与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式，联立函数关系式即可求出点P的坐标解：由题意得：1号探测气球所在位置的海拔：，2号探测气球所在位置的海拔：；联立方程组得解得即交点P的坐标为，故选：B【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解题意，正确列出函数解析式是解题的关键.【变式2】（2022下湖北孝感八年级校联考阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是 【答案】【分析】利用正比例函数求得点坐标，然后确定方程的解解：设点坐标为，将代入中，即点坐标为，由图象可得关于的方程的解是，故答
6、案为：【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数的性质方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标【考点二】图象法解二元一次方程组【例2】（2023下江苏南京七年级南京市第一中学校考阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解；（2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解（1）解：如图所示：两函数图象交于点，方程组的解为；（2）解：如图所示：
7、两函数图象交点为，方程组的解为【点拨】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象【举一反三】【变式1】（2020上安徽安庆八年级校考期中）图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（）A BC D【答案】B【分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组解：设一次函数的解析式为：直线经过、，解得，函数解析式为，即；直线经过、，解得，函数解析式为，即；因此以两条直线，的交点坐标为解的方程组是：故选：B【点拨】本题主要
8、考查了一次函数的解析式，待定系数法求函数解析式，二元一次方程组与一次函数的关系，熟悉相关性质是解题的关键【变式2】（2023全国七年级专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是 【答案】【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解解：函数和的图象的交点的坐标为，二元一次方程组的解是故答案为：【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标【考点三】求直线围成的图形面积【例3】（2023下陕西西安七年级统考期末）如图，已知直线的解析式为，直线的解析式为：，与轴交于点，与交于点（1）求k，b的值；（2）
9、求三角形的面积【答案】（1），；（2）3【分析】（1）利用待定系数法求出，的值；（2）先根据两个函数解析式计算出、两点坐标，然后再利用三角形的面积公式计算出的面积即可解：（1）与交于点，解得，；（2）当时，解得，当时，解得，的面积【点拨】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式【举一反三】【变式1】（2023上四川眉山九年级校考阶段练习）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（）ABCD【答案】B【分析】令求出的值，从而得到点的坐标，再根据点的纵坐标得到点到轴的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解解：令
10、，则，解得，所以，点的坐标为，点的纵坐标是，点C到轴的距离为，的面积故选：B【点拨】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点的坐标是解题的关键【变式2】（2023下四川眉山八年级校考阶段练习）若一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为3，则 【答案】【分析】求出函数与坐标轴的交点，根据面积可得到关于k的方程，即可得出k的值解：当时，.当时，.函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，与两坐标轴围成的三角形面积为3，解得故答案为：【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形的性质，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解答此题的关键【考点四】一次函数与二元一次方程综合【例4】（2023
11、上内蒙古包头九年级包钢第三中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线与直线相交于点，与轴交于点（1）求直线的解析式；（2）求的面积；（3）在直线上是否存在一点使得三角形面积等于的面积的一半？若存在，请求出点坐标【答案】（1）；（2）100；（3）存在，或【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；（2）联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可得出点的坐标，由一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出线段的长度，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积；（3）设出点的坐标，根据题意得出，即，解方程求得的值，可求得点的坐标（1）解：将点、代入得，
12、解得：，直线的解析式为（2）联立两直线解析式成方程组，解得：，点的坐标为当时，点的坐标为，；（3）存在，三角形面积等于的面积的一半，设点坐标为，则，即，解得，点的坐标为或【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，用过解方程组求出交点的坐标；（3）中用的坐标表示出的面积【举一反三】【变式1】（2023上浙江湖州八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线
13、段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（）ABCD【答案】A【分析】先求出点A、B、C的坐标，得出，求出，设点D的坐标为，根据，求出m的值，即可得出答案解：连接，把代入得：，点B的坐标为，把代入得：，点A的坐标为，把代入得：，点C的坐标为，设点D的坐标为，则：，解得：，点D的坐标为，故A正确故选：A【点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是设点D的坐标为，根据三角形面积列出关于m的方程，解方程【变式2】（2023上江苏泰州八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点，直线恰好将分成两部分的面积比是，则 【答案】或/或【分析】首先根据函数表达式求出，点的坐标，然后求出面积，然后根据的特点得知恒过点，然后根据题意可知与坐标轴或的交点坐标，进而可求的值解：直线与轴、轴分别交于点，当时，得，当时，得，解得：，直线，当时，得，函数图像恒过点，直线恰好将分成两部分的面积比是，或，当时，则，在直线上，当时，设点的纵坐标为，则，在直线上，解得：，在直线上，解得：，综上所述，或故答案为：或【点拨】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，两条直线的交点问题，三角形的面积，运用了分类讨论的思想掌握函数图像与坐标轴的交点坐标的确定方法是解题的关键
