1、1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题知识点一基本不等式 1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号2算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：_ _.3几个重要的不等式a2b2_(a，bR)；_(a，b同号)ab2(a，bR)；2_(a，bR)答案1(1)a0，b0(2)ab2.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数32ab21判断正误(1)函数yx的最小值是2.()(2)x0且y0是2的充分不必要条件()(3)若a0，则a2的最小值为2.()答案：(1)(2
2、)(3)知识点二利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则1如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：积定和最小)2如果和xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：和定积最大)答案1xy小22.xy大2(必修P100习题3.4A组第1(2)题改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77C81 D82解析：xy2281，当且仅当xy9时等号成立，故选C.答案：C3(必修P100习题3.4A组第2题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10x)m，由题知0x0，n
3、0,2mn1，则的最小值为_.解析：2mn1，()(2mn)4428.当且仅当，即n，m时，“”成立答案：8热点一配凑法求最值 【例1】(1)已知x，求f(x)4x2的最大值；(2)已知x为正实数且x21，求x的最大值【解】(1)因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)因为x0，所以x.又x2，所以x，即(x)max.【总结反思】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(1)设0x1，则函数y的最小
4、值为_解析：(1)因为0x0，所以y4x(52x)22x(52x)22，当且仅当2x52x，即x时等号成立，故函数y4x(52x)的最大值为.(2)因为x1，所以x10，所以yx15259，当且仅当x1，即x1时等号成立，故函数y的最小值为9.答案：(1)(2)9热点二 常值代换法求最值 【例2】已知a0，b0，ab1，则的最小值为_【解析】a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立【答案】41本例的条件不变，则的最小值为_.解析：52549，当且仅当ab时，取等号答案：92若将本例中的“ab1”换为“a2b3”，如何求解？解：a2b3，ab1.121.当且仅当ab3
5、3时，取等号故的最小值为1.【总结反思】在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_解析：因为x3y5xy，且x0，y0.所以5，所以3x4y(3x4y)(1312)5.当且仅当即时取“”所以3x4y的最小值是5.答案：5热点三 换元法求最值 【例3】已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_【解析】因为xy2xy4，所以x，由x0，得2y0，则0y4，所以xyy(y2)323，当且仅当y2(0y0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_解析：由已知得x.方法1：(消元法)x0，
6、y0，y0，y0,9(x3y)xyx(3y)()2，当且仅当x3y时等号成立，设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案：6热点四 基本不等式与函数的综合应用 【例4】(1)已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A(，1) B(，21)C(1,21) D(21,21)(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_【解析】(1)由32x(k1)3x20恒成立，得k13x.3x2，k12，即kf(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0
7、，b0，1，所以ab(ab)1010216.由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，而x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6.答案：D1运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等2利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致
