1、每日一题规范练(第二周)题目1 已知等差数列an的公差d2，且a2a52，an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)若Sm，a9，a15成等比数列，求m的值解：(1)因为a2a52，且d2，所以2a15d2a1102，则a14.所以an42(n1)2n6.(2)由(1)知，Smm25m，又a912，a1524，由Sm，a9，a15成等比数列，得aa15Sm，所以m25m60(mN*)，则m6.题目2 已知x0，x0是函数f(x)cos2sin2x(0)的两个相邻的零点(1)求f 的值；(2)若对任意的x，都有f(x)m0，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)m1在x上
2、有两个不同的解，求实数m的取值范围解：(1)f(x)(1cos 2x)sin.由题意，f(x)的最小正周期T2，所以，则1.故f(x)sin，所以f sin.(2)由f(x)m0恒成立，得mf(x)max.因为x0，所以2x，所以1sin，所以f(x)max.所以m，实数m的取值范围是.(3)原方程化为2sinm1在x上有两个不同的解，令y2sin，x.当x0时，y2sin；当x时，ymax2.结合函数图象，要将方程在x上有两个不同的解，只需m12，则1m1.故实数m的取值范围是1，1)题目3 如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将AED，DCF分别沿DE，DF折
3、起，使得A，C两点重合于点M.(1)求证：MDEF；(2)求三棱锥M-EFD的体积(1)证明：因为在正方形ABCD中，ABAD，CDBC，所以在三棱锥MDEF中，MDMF，MDME且MEMFM，所以MD平面MEF，又EF平面MEF，所以MDEF.(2)解：因为E、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点，所以BEBF1，所以SMEFSBEF11.由(1)知MD平面MEF，且MDCD2.所以V棱锥M-EFDV棱锥D-MEFSMEFDM2.题目4 卫生防疫涉及千家万户，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵
4、，国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如下：项目未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.(1)求22列联表中p，q，x，y的值；(2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率附：K
5、2，nabcd.P(K2k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)由，得p60，所以q40，x100，y100.(2)由K2，得K2810.828，所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例32抽取，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，分别用a，b，c表示，2只已注射疫苗，分别用D，E表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(a，D，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，(b，D，E)，(c
6、，D，E)，共10种其中，至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，共7种所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.题目5 已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B，点M、N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，求3k12k2的值解：(1)由题意，得2b4，所以b2.又，且a2c2b28.所以a3，c1.所以椭圆C
7、的标准方程为1.(2)由(1)可知，A(3，0)，B(3，0)，F1(1，0)根据题意，直线F1M的方程为y2(x1)记直线F1M与椭圆的另一交点为M.设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2)因为F1MF2N，根据对称性，得N(x2，y2)，联立消去y，得14x227x90.由题设知x1x2，所以x1，x2.又k1，k2，所以3k12k2320，则3k12k20.题目6 设函数f(x)exax2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，有(xk)f(x)x10，求实数k的最大值解：(1)f(x)的定义域为R，且f(x)exa.当a0时，则f(x)0，所以f(x
8、)在(，)内单调递增，若a0，当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.所以f(x)的单调增区间是(ln a，)，单调减区间是(，ln a)(2)由a1，当x0时，(xk)f(x)x10等价于不等式kx(x0)令g(x)x，则g(x).由(1)知，h(x)exx2在(0，)内单调递增又h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)内有唯一零点，故g(x)在(0，)内存在唯一零点，设该零点为，则(1，2)当x(0，)时，g(x)0；当x(，)时，g(x)0.所以g(x)在区间(0，)内的最小值为g()由g()0，得e2，所以g()1.由于(1，2)，可知g()(2，3)
9、故整数k的最大取值为2.题目7 1.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y22px(p0)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin，l与x轴交于点M.(1)求l的直角坐标方程和点M的极坐标；(2)设l与C相交于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求p的值解：(1)由2sin得，sin cos ，即yx，所以l的直角坐标方程yx.令y0得点M的直角坐标为(1，0)，所以点M的极坐标为(1，)(2)由(1)知，l的倾斜角为，参数方程为(t为参数)代入方程y22px，得3t24pt8p0.所以t1t2，t1t2.依题设，|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，则|AB|2|MA|MB|，所以(t1t2)2t1t2，即(t1t2)25t1t2.因此5，故p.2选修45：不等式选讲设函数f(x)|xa|.(1)若关于x的不等式f(x)b0的解集为(1，3)，求a，b的值；(2)若g(x)2f(x)2f(x1)，求g(x)的最小值解：(1)由f(x)b0得，|xa|b，当b0时，不合题意；当b0时，abxab，由已知得所以综上，a1，b2.(2)g(x)2|xa|2|x1a|2222，所以当即xa时，g(x)有最小值2.
