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2015年高考总复习数学(文北师大版)配套文档:第7章 第2节 空间图形的基本关系与公理.doc

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1、第二节空间图形的基本关系与公理1空间图形的基本关系(1)点和直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外(2)点和平面的位置关系有两种:点在平面内和点在平面外(3)空间两条直线的位置关系有三种:平行直线、相交直线和异面直线(4)空间直线和平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线和平面相交、直线与平面平行(5)空间两平面的位置关系有两种:两平面平行和两平面相交2空间图形的公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直

2、线公理4(平行公理):平行于同一条直线的两条直线平行3定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角如图所示,过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角,如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条直线互相垂直,记作:ab.1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”试一试1下列说法正确的是()A若a,b,则a与b是异面直线B

3、若a与b异面,b与c异面,则a与c异面C若a,b不同在平面内,则a与b异面D若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面解析:选D由异面直线的定义可知选D.2若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或b Db与相交或b或b解析:选Db与相交或b或b都可以1求异面直线所成角的方法(1)平移法:即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题,这是求异面直线所成角的常用方法(2)补形法:即采用补形法作出平面角2证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面,再证其他线(或点)在此平面内;(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证明这两个平面重

4、合3证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线,再证其他点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上4证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点练一练1如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是()解析:选DA,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面2已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为_解析:如图连接BA1.BA1CD1,A1BE为所求在A1BE中,设AB1,则AA12,A1B,A1E1,BE.cosA1BE.答案:考点一平面的基本性

5、质及应用1(2013安徽高考)在下列命题中,不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析:选A选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的2下列命题:经过三点确定一个平面;梯形可以确定一个平面;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析:选C对于,未强调三点不共线,故错误;正确;对于,三条

6、直线两两相交,如空间直角坐标系,能确定三个平面,故正确;对于,未强调三点共线,则两平面也可能相交,故错误3(2013南京模拟)如图,已知:E,F,G,H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,证明:EF,HG,DC三线共点证明:连接C1B,HE,GF,如图所示由题意知HC1綊EB,四边形HC1BE是平行四边形,HEC1B.又C1GGC,CFBF,故GF綊C1B,GFHE,且GFHE,HG与EF相交,设交点为K,则KHG.又HG平面D1C1CD,K平面D1C1CD.KEF,EF平面ABCD,K平面ABCD.平面D1C1CD平面ABCDDC,KDC,EF,HG

7、,DC三线共点类题通法1证明共点问题的关键是先确定点后,再证明此点在第三条直线上,这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明2证明过程中要注意符号语言表达准确,公理成立的条件要完善考点二空间两直线的位置关系典例(1)(2013江西省七校联考)已知直线a和平面,l,a,a,且a在,内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析依据题意,b,c分别为a在,内的射影,可判断b,c相交、平行或异面均可答案D(2)已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点求证:BC与AD

8、是异面直线;求证:EG与FH相交证明假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则B,C,A,D.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾所以BC与AD是异面直线如图,连接AC,BD,则EFAC,HGAC,因此EFHG;同理EHFG,则EFGH为平行四边形又EG,FH是EFGH的对角线,所以EG与HF相交类题通法1异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的

9、直线是异面直线针对训练若直线l不平行于平面,且l,则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解析:选B如图,设lA,内直线若经过A点,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l异面考点三异面直线所成的角典例(2013福州模拟)如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AA12AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1,设AB1,则AA12,A1C1,A1BBC1,故cosA1BC1.答案D在本例

10、条件下,若点P在平面A1C1内且不在对角线B1D1上,过点P在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成角,且.这样的直线可作几条?解:在平面A1C1内作m,使m与B1D1相交成角BDB1D1,直线m与BD也成角即m为所求且m与BD是异面直线,当时,m只有一条,当时,这样的直线有两条类题通法用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;(2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;(3)三求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角针对训练如图所示,点A是平面BCD外一点,ADBC2,

11、E,F分别是AB,CD的中点,且EF,则异面直线AD和BC所成的角为_解析:如图,设G是AC的中点,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,CD的中点,故EGBC且EGBC1,FGAD,且FGAD1.即EGF为所求,又EF,由勾股定理逆定理可得EGF90.答案:90课堂练通考点1对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面,使得()Aa,bBa,bCa,b Da,b解析:选B不相交的直线a,b的位置有两种:平行或异面当a,b异面时,不存在平面满足A,C;又只有当ab时,D才可能成立2如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()

12、AA,M,O三点共线 BA,M,O,A1不共面CA,M,C,O不共面 DB,B1,O,M共面解析:选A连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C平面ACC1A1,因为MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线故选A.3.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2()A.互相平行 B异面且互相垂直C异面且夹角为 D相交且夹角为解析:选D将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合故l

13、1与l2相交,连接AD,则ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为.故选D.4设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面其中真命题的个数是_解析:ab,bc,a与c可以相交、平行、异面,故错a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交、平行,故错由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交、平行,故错同理错,故真命题的个数为0.答案:05(2013银川模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,(1)求A1C1

14、与B1C所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小解析:(1)如图,连接AC,AB1,由ABCD A1B1C1D1是正方体,知AA1C1C为平行四边形,所以ACA1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角由AB1ACB1C可知B1CA60,即A1C1与B1C所成角为60.(2)如图,连接BD,由AA1CC1,且AA1CC1可知A1ACC1是平行四边形,所以ACA1C1.即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角因为EF是ABD的中位线,所以EFBD.又因为ACBD,所以EFAC,即所求角为90.课下提升考能第组:全员必做题1若空间三条

15、直线a,b,c满足ab,bc,则直线a与c()A一定平行 B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直解析:选Dab,bc,ac.2(2014聊城模拟)对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l()A平行 B相交C垂直 D互为异面直线解析:选C不论l,l还是l与相交,内都有直线m使得ml.3(2013广州模拟)若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选A若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立4(2013新乡月考)已知异面直线a,b分别在平面,内,且c,那么直线c一定

16、()A与a,b都相交B只能与a,b中的一条相交C至少与a,b中的一条相交D与a,b都平行解析:选C若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,则ab,与a,b异面矛盾5若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则()A过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D过点P有且仅有一条直线与l,m都异面解析:选B对于A,若正确,则lm,这与已知矛盾,由此排除A;对于B,由于l和m有且只有一条公垂线a,而过P有且只有一条直线与直线a平行,故B正确;易知C、D不正确6.(2014三亚模拟)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形AC

17、B所在的平面互相垂直,且ACBC2,ACB90,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为()A. BC. D解析:选A延长CD至H.使DH1,连接HG、HF、则HFAD.HFDA,GF,HG.cos HFG.7.(2013沧州模拟)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是()A45 B60C90 D120解析:选B连接AB1,易知AB1EF,连接B1C,B1C与BC1交于点G,取AC的中点H,连接GH,则GHAB1EF.设ABBCAA1a,连接HB,在三角形GH

18、B中,易知GHHBGBa,故所求的两直线所成的角即为HGB60.8(2013临沂模拟)过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作()A1条 B2条C3条 D4条解析:选D如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,BB1AA1,BCAD,体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的

19、平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条9.如图,平行六面体ABCD A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析:依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行有棱AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条答案:510.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直以上四个命题中,正确命题的序号是_解析:还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60角,DEMN.答案:1

20、1如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为_对解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案:312如图所示,正方体的棱长为1,BCBCO,则AO与AC所成角的度数为_解析:ACAC,AO与AC所成的角就是OAC.OCOB,AB平面BBCC,OCAB.又ABBOB,OC平面ABO.又OA平面ABO,OCOA.在RtAOC中,OC,AC,sinOAC,OAC30.即AO

21、与AC所成角的度数为30.答案:30第组:重点选做题1A是BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点,(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若ACBD,ACBD,求EF与BD所成的角解:(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则EGBD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中,由EGFGAC,求得FEG45,即异面直线EF与BD所成的角为45.2(2013许昌调研)如图,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,BADFAB90,BC綊AD,BE綊FA,G,H分别为FA,FD的中点(1)求证:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?解:(1)证明:由题设知,FGGA,FHHD,所以GH綊AD.又BC綊AD,故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C,D,F,E四点共面理由如下:由BE綊AF,G是FA的中点知,BE綊GF,所以EF綊BG.由(1)知BGCH,所以EFCH,故EC、FH共面又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面

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