1、第二节空间图形的基本关系与公理1空间图形的基本关系(1)点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外(2)点和平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外(3)空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线(4)空间直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线和平面相交、直线与平面平行(5)空间两平面的位置关系有两种：两平面平行和两平面相交2空间图形的公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
2、线公理4(平行公理)：平行于同一条直线的两条直线平行3定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角如图所示，过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角，如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作：ab.1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”试一试1下列说法正确的是()A若a，b，则a与b是异面直线B
3、若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C若a，b不同在平面内，则a与b异面D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选D由异面直线的定义可知选D.2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或b Db与相交或b或b解析：选Db与相交或b或b都可以1求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法(2)补形法：即采用补形法作出平面角2证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重
4、合3证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上4证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点练一练1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选DA，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面2已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为_解析：如图连接BA1.BA1CD1，A1BE为所求在A1BE中，设AB1，则AA12，A1B，A1E1，BE.cosA1BE.答案：考点一平面的基本性
5、质及应用1(2013安徽高考)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析：选A选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选C对于，未强调三点不共线，故错误；正确；对于，三条
6、直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故正确；对于，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故错误3(2013南京模拟)如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：EF，HG，DC三线共点证明：连接C1B，HE，GF，如图所示由题意知HC1綊EB，四边形HC1BE是平行四边形，HEC1B.又C1GGC，CFBF，故GF綊C1B，GFHE，且GFHE，HG与EF相交，设交点为K，则KHG.又HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD.平面D1C1CD平面ABCDDC，KDC，EF，HG
7、，DC三线共点类题通法1证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明2证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善考点二空间两直线的位置关系典例(1)(2013江西省七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析依据题意，b，c分别为a在，内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可答案D(2)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点求证：BC与AD
8、是异面直线；求证：EG与FH相交证明假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为，则B，C，A，D.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾所以BC与AD是异面直线如图，连接AC，BD，则EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，则EFGH为平行四边形又EG，FH是EFGH的对角线，所以EG与HF相交类题通法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的
9、直线是异面直线针对训练若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解析：选B如图，设lA，内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面考点三异面直线所成的角典例(2013福州模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，设AB1，则AA12，A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.答案D在本例
10、条件下，若点P在平面A1C1内且不在对角线B1D1上，过点P在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，且.这样的直线可作几条？解：在平面A1C1内作m，使m与B1D1相交成角BDB1D1，直线m与BD也成角即m为所求且m与BD是异面直线，当时，m只有一条，当时，这样的直线有两条类题通法用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角针对训练如图所示，点A是平面BCD外一点，ADBC2，
11、E，F分别是AB，CD的中点，且EF，则异面直线AD和BC所成的角为_解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EGBC且EGBC1，FGAD，且FGAD1.即EGF为所求，又EF，由勾股定理逆定理可得EGF90.答案：90课堂练通考点1对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，bBa，bCa，b Da，b解析：选B不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面当a，b异面时，不存在平面满足A，C；又只有当ab时，D才可能成立2如图，ABCD A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()
12、AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线故选A.3.如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A.互相平行 B异面且互相垂直C异面且夹角为 D相交且夹角为解析：选D将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合故l
13、1与l2相交，连接AD，则ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.故选D.4设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面其中真命题的个数是_解析：ab，bc，a与c可以相交、平行、异面，故错a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故错由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故错同理错，故真命题的个数为0.答案：05(2013银川模拟)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，(1)求A1C1
14、与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解析：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCD A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角由AB1ACB1C可知B1CA60，即A1C1与B1C所成角为60.(2)如图，连接BD，由AA1CC1，且AA1CC1可知A1ACC1是平行四边形，所以ACA1C1.即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角因为EF是ABD的中位线，所以EFBD.又因为ACBD，所以EFAC，即所求角为90.课下提升考能第组：全员必做题1若空间三条
15、直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行 B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直解析：选Dab，bc，ac.2(2014聊城模拟)对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A平行 B相交C垂直 D互为异面直线解析：选C不论l，l还是l与相交，内都有直线m使得ml.3(2013广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立4(2013新乡月考)已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定
16、()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行解析：选C若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则ab，与a，b异面矛盾5若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：选B对于A，若正确，则lm，这与已知矛盾，由此排除A；对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确；易知C、D不正确6.(2014三亚模拟)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形AC
17、B所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为()A. BC. D解析：选A延长CD至H.使DH1，连接HG、HF、则HFAD.HFDA，GF，HG.cos HFG.7.(2013沧州模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45 B60C90 D120解析：选B连接AB1，易知AB1EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GHAB1EF.设ABBCAA1a，连接HB，在三角形GH
18、B中，易知GHHBGBa，故所求的两直线所成的角即为HGB60.8(2013临沂模拟)过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A1条 B2条C3条 D4条解析：选D如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的
19、平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条9.如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条答案：510.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案：1
20、1如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案：312如图所示，正方体的棱长为1，BCBCO，则AO与AC所成角的度数为_解析：ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.OCOB，AB平面BBCC，OCAB.又ABBOB，OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30.即AO
21、与AC所成角的度数为30.答案：30第组：重点选做题1A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.2(2013许昌调研)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面