1、江西省临川第一中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）一选择题1.若直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则m为（ ）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题可得与平面的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有与平面的法向量垂直,故,所以.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2.下列说法正确的是（ ）A. 若为真命题，则，均为假命题；B. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；C. 等比数列的前项和为，若“”则“”的否命题为真命题；D. “平面向量与的夹角
2、为钝角”的充要条件是“”【答案】C【解析】【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D即可.【详解】对A, 若为真命题,则为假命题,故,至少有一个假命题,故A错误.对B, 因为有或,故命题“若,则”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B错误.对C, 等比数列的前项和为,若“”则“”的逆命题为等比数列的前项和为,若“”则“”.又因为当时即成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C正确.对D, 当时, 与也可能反向,此时夹角为.故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系
3、与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“,”为真命题的充要条件：,恒成立.即,.故其必要不充分条件为.故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根
4、据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, .不满足对B, .满足对C, .不满足对D, .不满足故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5.命题:函数在上是增函数.命题:直线在轴上的截距小于0. 若为假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断的取值范围,再求得直线在轴上的截距令其小于0计算的取值范围.再根据为假命题可知均为假命题再分析即可.【详解】当函数在上是增函数时,对称轴满足.当直线在轴上的截距小于0时有.又为假命题可知均为假命题.
5、故.故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式求解即可.【详解】由题知.设P点的纵坐标为则.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7.在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】易得平面,故点到平面的距离为点到平面的距离,再分析线面垂直的关
6、系求解即可.【详解】作于,因为分别为棱的中点,故,平面.故,又,.故.又所以点到平面的距离为点到平面的距离.又故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到再根据等面积法计算,属于中档题.8.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中，).如图，设点是相应椭圆的焦点，和是“果圆”与轴的交点，若是等腰直角三角形，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算对应的坐标,再根据是等腰直角三角形可得计算即可.【详解】根据题意有,又根据是等腰直角三角形的性质可得,即.故故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关
7、系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9.如图，直三棱柱中，侧棱长为4，点是的中点，是侧面(含边界)上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析可得当平面时,故在边界时取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.【详解】由题,当平面时,故在边界时取最大值,此时因为,故.故.故即满足题意 .此时.故选：A【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10.椭圆上有个不同的点，椭圆右焦点，数列是公差大于的
8、等差数列，则的最大值为（ ）A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039【答案】C【解析】【分析】根据题意分析最大最小的值,再利用等差数列的通项公式求解的最大值即可.【详解】根据题意有,当为椭圆的右顶点,为左顶点时取得最大值.此时.又数列是公差的等差数列,所以.故的最大值为.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题.11.已知正四棱锥，是线段上的点且，设与所成的角为，二面角的平面角为，与平面所成的角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出立体图形,分别构造关于的直角三角形,利用正切值的大小判断即可.【详解
9、】如图,作平面于,取中点,在上取使得,为中点.连接各点如图所示.易得,故与所成的角,二面角的平面角,与平面所成的角.又,故,所以.又,故,.综上有.又.故故选：B【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12.在平面直角坐标系中，点为椭圆的下顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题四边形为平行四边形可知两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得的坐标,再利用,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率
10、的表达式再计算即可.【详解】两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即两点关于轴对称,可设,代入椭圆方程得：,因为,故得,为直线的倾斜角,又,所以,即.故 椭圆的离心率的取值范围为.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题.二填空题13.正四棱柱的底面边长为1，若与底面所成角为，则和底面ABCD的距离是_.【答案】【解析】【分析】确定与底面所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.【详解】连接,因为平面,故与底面所成角为.所以为等腰直角三角形.所以和底面ABCD的距离.故答案为：【点睛】本题
11、主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14.给定两个命题，:对任意实数都有恒成立；:方程表示焦点在轴上的椭圆.如果为真命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由为真命题可知为真命题为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可.【详解】由为真命题可知为真命题为假命题.又对任意实数都有恒成立则显然 ：当时恒成立满足题意,当时.综上有又方程表示焦点在轴上的椭圆有.又为假命题故或.故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15.函数，对，使成立
12、，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可知的值域包含的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.【详解】由题,当时,因为,故.又则.又,使成立,所以的值域包含的值域.所以,因为,所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16.已知O为坐标原点,平行四边形ABCD内接于椭圆：,点E,F分别为AB,AD的中点,且OE,OF的斜率之积为,则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】设,则,由对称性可得：，则,由可得,相减可得：AB，AD斜
13、率之积为由E,F分别为AB,AD的中点,可得OE，OF的斜率之积等于AB,AD斜率之积即,即可求得椭圆的离心率【详解】解：设,则,由对称性可得：，则，可得,相减可得：,AD斜率之积为,F分别为AB,AD的中点,且OE，OF的斜率之积为，则OE,OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积,则椭圆的离心率为,故答案为:【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三解答题17.已知集合，集合，集合，命题，命题.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意,再根据区间端点满足的
14、关系式求解即可.【详解】由题, ,（1）由命题p是假命题,可得,即得.（2）为真命题,都为真命题,即,且.有,解得.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18.如图，在几何体中，平面平面，为的中点.（1）证明:平面；（2）求直线BC与平面所成角.【答案】（1）证明见解析（2）30.【解析】【分析】(1)取中点,连接,再证明四边形是平行四边形即可.(2) 以所在直线为轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC与平面所成角即可.【详解】（1）取中点,连接,又为的中点, ,且, 四边形是平行四边形, ,而且平面
15、,平面, 平面；（2）,平面平面,且交于, 平面,由（1）知,平面,又,为中点, ,如图,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则, ,设平面的法向量为,则,即,令,得, 直线BC与平面所成角的正弦值为.直线BC与平面所成角为30.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题.19.已知的定义域为，使得不等式成立，关于的不等式的解集记为.（1）若为真，求实数的取值集合；（2）在（1）的条件下，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解
16、析】【分析】（1）先确定p，q为真的等价条件，若为真则真 真，求交集即可；（2）利用xA”是“xB”的充分不必要条件，即AB，确定条件关系，即可求实数m的取值范围【详解】（1） f（x）的定义域为R，则ax2ax+0对任意实数x都成立，当a0时显然满足，当a0时，有，解得0a1综上： ，使得不等式成立，即a 为真，即真， 真， （2），即，此时 是的充分不必要条件 ；，即，此时 不符合题意，即，此时 为的充分不必要条件 无解；综上所述：【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20.长方形中，是中点（图
17、1）.将沿折起，使得（图2）在图2中: （1）求证:平面平面；（2）在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直性质证明平面即可.(2) 以为坐标原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 设,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形中,连结,因为,是中点,所以,从而,所以因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.（2）因为平面平面,交线是,所以在面过垂直于的直线必然垂直平面.以为坐标原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直
18、角坐标系.则,.设,则.设是平面的法向量,则即,取,平取面的一个法向量是.依题意,即,解方程得,因此在线段上存点,使得二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.21.已知动点G(x,y)满足（1）求动点G的轨迹C的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L与曲线交于不同的两点,且线段中点恰好为Q.求的面积；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由椭圆的定义得知轨迹为椭圆，并利用椭圆定义求出，从已知条件中得出，并求出值，结
19、合椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程；（2）由已知条件得知直线的斜率存在，并设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由为的中点求出的值，从而得出直线的方程，再利用弦长公式求出，由点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，再利用三角形的面积公式可求出的面积【详解】（1）由动点满足可知，动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为；（2）由于直线与曲线相交所得线段中点恰好为可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，联立，消去可得，所以， 又线段中点的横坐标为1，解得， ， 直线的方程为，弦长，原点到直线的距离为， 【点睛】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的
20、求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题解决问题的能力等22.已知F1，F2分别为椭圆C：的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F1的最大距离等于4，离心率等于，过左焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，圆E内切于三角形F2MN；（1）求椭圆的标准方程（2）求圆E半径的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆上点与的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知 ，所以.故椭圆的标准方程为； （2）由条件不为，设交椭圆于，设圆的半径为，由可得， 即令，（），则 当时，.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.
