1、第七节椭圆(二)内容要求ABC中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质三年3考高考指数:1.椭圆的第二定义第二定义焦半径准线方程通径左焦半径|MF1|=a+ex0,上焦半径|MF2|=a-ey0,x=x=过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为.平面内当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0e0,即0t2b0)的左顶点，右焦点分别为A,F，右准线为m.圆D：x2+y2+x-3y-2=0.若圆D过A,F两点，求椭圆C的方程；若直线m上不存在点Q，使AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】(1)由可得出MF1MF2，又点M总在椭圆内部，由此可建立不等式找出a,c的关
2、系，求得e的范围.(2)确定A、F点的坐标a,cb方程；由AFQ不可为等腰三角形|FK|(K为m与x轴的交点)|FA|a,c的不等式e的不等式e的范围.【规范解答】(1)MF1MF2.点M在以O为圆心，以c为半径的圆上，点M总在椭圆内部，c2c2,又e0,答案：(2)圆x2+y2+x-3y-2=0与x轴的交点坐标为A(-2,0)，F(1,0)，故a=2,c=1，所以所以椭圆C的方程是：设直线m与x轴的交点是K，依题意|FK|FA|，即2e2+e-10，解得0e .【反思感悟】在例(1)中，由向量作为突破口，得到M点的轨迹，由此条件以及M点的位置关系建立不等式，在解析几何中，与向量综合时可能出现
3、的情况可有如下情形：(1)给出等于已知A是BC中点；(2)给出以下情形之一：存在实数,使 若存在实数,且+=1,使等于已知A,B,C三点共线.(3)给出或给出即已知MAMB,即AMB是直角,给出=m0,等于已知AMB是锐角或0角.椭圆中的定值问题【方法点睛】解决有关椭圆中的定值问题的策略(1)由于定点、定值是变化中的不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是选择合适的参数表示变化的量.(2)当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标
4、.【例2】已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A，B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆方程；(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连结CM，交椭圆于点P.证明：为定值；(3)在(2)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解题指南】(1)由已知得：a=2,b=c，从而可求出a,b得椭圆方程.(2)设参数，想法把已知条件表达出来，把所求的表达出来，通过减元化为与参数无关的定值即可.(3)假设存在Q的坐标为Q(m,0)，由MQDP
5、列出m的方程，然后转化为此方程是否有解的问题.【规范解答】(1)a=2，b=c，a2=b2+c2,b2=2,椭圆方程为=1.(2)C(-2,0)，D(2,0),设M(2,y0)，P(x1,y1)，则=(x1,y1),=(2,y0).直线CM：即代入椭圆x2+2y2=4得 (定值).(3)设存在Q(m,0)满足条件，则MQDP.=(m-2,-y0)，则由得从而得m=0.存在Q(0,0)满足条件.【反思感悟】在(1)中，要确定椭圆的标准方程，已经明确焦点的位置，即在本小题中要想求方程式，关键是确定a,b.在(2)中要证明是定值，最关键的是通过所求的已知量明确表达出的坐标即可验证.直线与椭圆的位置关
6、系【方法点睛】1.直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式的符号确定：(1)当0时，直线与椭圆相交；(2)当=0时，直线与椭圆相切；(3)当b0)的离心率为，右焦点为(0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰PAB，顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积.【解题指南】(1)利用a,b,c的关系及离心率求出a,b，代入标准方程；(2)联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入.【规范解答】(1)由已知得c=解得又b2=a2-
7、c2=4，所以椭圆G的方程为(2)设直线l的方程为y=x+m，由得，4x2+6mx+3m2-12=0 不妨设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x10，求证：PAPB.【解题指南】本题考查的是直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键是联立方程结合已知进行转化求解.【规范解答】(1)由题意知，a=2,b=，故M(-2,0),N(0,-).所以线段MN的中点的坐标为(-1,-)，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以4分(2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得解得x=，因此P(),A(-),于是C(,0),直线AC的斜率为所以直线AB的方程
8、为，8分因此10分(3)设P(x1,y1)，B(x2,y2),则x10,x20,x1x2，A(-x1,-y1),C(x1,0).设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上，所以从而因此k1k=-1，所以PAPB.16分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分:(1)解答第二问时，找不到AB的直线方程，其错误原因是只看到了点A，而忽视了点C在直线AB上这一条件；(2)计算直线PA、PB的斜率之积时，运算上出现错误.备考建议解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，
9、明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.1.(2012连云港模拟)已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1，1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由.【解析】(1)因为a=,e=,所以c=1,则b=1，
10、即椭圆C的标准方程为(2)因为P(1，1)，所以kPF=，所以kOQ=-2，所以直线OQ的方程为y=-2x又椭圆的左准线方程为x=-2，所以点Q(-2，4)所以kPQ=-1，又kOP=1，所以kOPkPQ=-1，即OPPQ，故直线PQ与圆O相切.(3)当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O保持相切.证明：设P(x0,y0)(x01)，则y02=2-x02，所以所以直线OQ的方程为所以点Q(-2，)，所以又(x00),所以kOPkPQ=-1，即OPPQ，当x0=0时，即P运动到圆与y轴的交点时，此时P点坐标是(0，)，经验证，OPPQ也成立，故直线PQ始终与圆O相切.2.(201
11、2徐州模拟)如图，椭圆(ab0)过点P(1，)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且(1)求椭圆的方程；(2)求MN的最小值；(3)以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论.【解析】(1)e=,且过点P(1，)，解得椭圆方程为(2)设点M(4,y1),N(4,y2)，则y1y2=-15,又|MN|=|y2-y1|MN|的最小值为(3)圆心C的坐标为(4,)，半径r .圆C的方程为整理得:x2+y2-8x-(y1+y2)y+16+y1y2=0.y1y2=-15,x2+y2-8x-(y1+y2)y+1=0令y=0,得x2-8x+1=0，圆C过定点(，0).3.(2012无锡模拟)如图，已知椭圆C：(a )的左右焦点分别为F1、F2，点B为椭圆与y轴的正半轴的交点，点P在第一象限内且在椭圆上，且PF2与x轴垂直，=5.(1)求椭圆C的方程；(2)设点B关于直线l:y=-x+m的对称点E(异于点B)在椭圆C上，求m的值.【解析】(1)PF2与x轴垂直，可设P(c,n).又 P(c,),F1(-c,0),c2=a2-2，解得a2=4.椭圆C的方程为：(2)由题意知，BEl，直线BE的方程：由得x=0,或E BE中点为代入y=-x+m得
