1、章末综合测评(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线3x2y29的焦距为()AB2C2D4D方程化为标准方程为1，a23，b29，c2a2b212，c2，2c4.2抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()ABC1DB抛物线y24x的焦点为(1,0)，到双曲线x21的渐近线xy0的距离为，故选B3已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为()ABCD2A由题意可得2|F1F2
2、|AF1|F1B|，即4cacac2a，故e.4是任意实数，则方程x2y2sin 4的曲线不可能是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆C由于R，对sin 的值举例代入判断，sin 可以等于1，这时曲线表示圆，sin 可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆5设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A1By21Cy21Dy21A|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b.椭圆的方程为1.6探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛
3、物线的标准方程可能是()Ay2xBy2xCx2xDx2yC如果设抛物线的方程为y22px(p0)，则抛物线过点(40,30)，从而有3022p40，即2p，所以所求抛物线方程为y2x.虽然选项中没有y2x，但C中的2p符合题意7双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(，0)B(12,0)C(3,0)D(60，12)Ba24，b2k，c24k.e(1,2)，(1,4)，k(12,0)8已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A1B1C1D1B设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3
4、，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得.又kABkFN1，5a24b2，又c3，a2b29，b25，a24，即E的方程为1，故选B9若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率是()ABC或D或D由题意知，m22816，所以m4.当m4时，圆锥曲线x21是椭圆，其离心率e；当m4时，圆锥曲线为双曲线，其离心率e，综上知，选D10设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A或B或2C或2D或A设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得
5、e；若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e.综上，所求的离心率为或.故选A11若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为()A2或BC2或D2B由题意知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所以tan ，所以ab，c2b，故双曲线C的离心率e.12已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A1B1C1D1D因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb.所以yb
6、，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆C的方程为1，选D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_1双曲线焦点(4,0)，顶点(2,0)，故椭圆的焦点为(2,0)，顶点(4,0)所以椭圆方程为1.14过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_2如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入1中，得y23b2，不妨令点P的坐标为(2a，b)，此时kPF2，
7、得到c(2)a，即双曲线C的离心率e2.15如图所示，已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作ABl于B，|AK|AF|，则AFK的面积为_8由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线l为x2，K(2,0)，设A(x0，y0)(y00)，过点A作ABl于B，B(2，y0)，|AF|AB|x0(2)x02，|BK|2|AK|2|AB|2，x02，y04，即A(2,4)，AFK的面积为|KF|y0|448.16已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_y21法一：因为双曲线过点(4，)且渐近线方程为yx，故点(4，
8、)在直线yx的下方设该双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以解得故双曲线方程为y21.法二：因为双曲线的渐近线方程为yx，故可设双曲线为y2(0)，又双曲线过点(4，)，所以()2，所以1，故双曲线方程为y21.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知直线yx4被抛物线y22mx(m0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程解设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)由得x22(4m)x160，所以x1x22(4m)，x1x216，所以弦长为2.由26，解得m1或m9.经检验，m1或m9均符合题意所以所求抛物线的标准方程为
9、y22x或y218x.18(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为，求b的值解(1)因为点P在椭圆上，|PF1|PF2|20.|PF1|PF2|2100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)，|PF1|PF2|的最大值为100.(2)SF1PF2|PF1|PF2|sin 60，|PF1|PF2|，由题意知：3|PF1|PF2|4004c2.由得c6，b8.19(本小题满分12分)已知椭圆1及直线l：yxm.(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直
10、线l被此椭圆截得的弦长的最大值解(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.36m236(2m218)36(m218)直线l与椭圆有公共点，0，据此可解得3m3.故所求实数m的取值范围为3，3(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|AB|，当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.20(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，但|AF|BF|8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程解设抛物线的方程为y22px(p0)，其准线为x.设A
11、(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|BF|8，x1x28，即x1x28p.Q(6,0)在线段AB的中垂线上，QAQB即(x16)2y(x26)2y.又y2px1，y2px2，(x1x2)(x1x2122p)0.AB与x轴不垂直，x1x2，故x1x2122p8p122p0，即p4.从而抛物线的方程为y28x.21(本小题满分12分)如图，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出最大面积 解由解得A(4,4)，B(1，2)，知|AB|3，设P为抛物线AOB这条曲线上一点，d为P到直线AB的距离d|(y01)29|.2y0
12、4，(y01)290.d9(y01)2从而当y01时，dmax，S最大3.因此，当P的坐标为时，PAB取得最大值，最大值为.22(本小题满分12分)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB解(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.又M(2,0)，所以AM的方程为yx或yx.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMB.将yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220.所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0.从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补所以OMAOMB综上，OMAOMB
