1、第五课时利用导数研究函数零点问题授课提示：对应学生用书第57页题型一函数零点个数的讨论 例(2021德州模拟)已知函数f(x)x2a.设函数g(x)xf(x)，讨论g(x)在区间(0，1)上零点的个数解析由题意可知g(x)xf(x)x3ax，g(x)3x2a，0x1，当a3时，g(x)3x2a0，g(x)在(0，1)上单调递增，因为g(0)0，g(1)a0，所以g(x)有一个零点；当a0时，g(x)0，g(x)在(0，1)单调递减，g(0)0，g(1)0，g(x)在(0，1)无零点；当0a3时，g(x)在上单调递增，在上单调递减，可得g(x)在(0，1)上的最大值为g ，若g0，即0a，g(x
2、)在(0，1)上无零点；若g0，即a，g(x)在(0，1)上有一个零点；若g0，即a3，g(0)0，g(1)a，当a时，g(x)在(0，1)上有两个零点；当a3时，g(x)在(0，1)上有一个零点；综上可得，a时，g(x)在(0，1)上无零点；当a或a时，g(x)在(0，1)上有一个零点，当a时，g(x)在(0，1)上有两个零点利用导数研究方程根(函数零点)的技巧(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现对点训练
3、设函数f(x)x22kln x(k0)(1)当k4时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)试讨论函数f(x)在区间(1，上的零点个数解析：(1)当k4时，f(x)x28ln x，则f(x)定义域是(0，)，f(x)2x，令f(x)0，得x2或x2(舍去)当x变化时，函数f(x)，f(x)变化情况如表所示：x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)，函数在x2处取得极小值f(2)48ln 2，无极大值(2)易知f(x)的最小值为f()kkln k，若函数有零点，则有f()0，解得ke.当ke时，函数f(x)在(1，上单调递减又f
4、(1)10，f()ek0，所以函数f(x)在(1，上有一个零点，当0ke时，函数f(x)的最小值为正数，所以函数f(x)在(1，上没有零点，综上，当ke时，函数f(x)在(1，上有一个零点，当0ke时，函数f(x)在(1，上没有零点题型二根据零点求参数范围问题 例(2020高考全国卷)已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex1.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.所以f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)f(x)exa.当a0时，f(x)0，所以f(x
5、)在(，)单调递增故f(x)至多存在一个零点，不合题意当a0时，由f(x)0，可得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增故当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a(1ln a)(i)若0a，则f(ln a)0，f(x)在(，)至多存在一个零点，不合题意(ii)若a，则f(ln a)0.因为f(2)e20，所以f(x)在(，ln a)存在唯一零点由(1)知，当x2时，exx20.所以当x4且x2ln(2a)时，f(x)eea(x2)eln(2a)a(x2)2a0.故f(x)
6、在(ln a，)存在唯一零点从而f(x)在(，)有两个零点综上，a的取值范围是.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图像与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图像的交点问题对点训练已知a0，函数f(x)ln x2.(1)记g(a)f(a2)，求g(a)的最小值；(2)若f(x)有三个不同的零点，求a的取值范围解析：(1)g(a)ln a222，g(a)2.所以当0a1时，g(a)0，g(a)单调递减当a1时，g(a)0，g(a)单调递增所以g(a)的最小值为g(1)0.(2)f(x)，x0.因为f(x)有三个不同的零点，所以f(x)至少有三个单调区间，从而方程x2(2a24a)xa40有两个不同正根，所以有解得0a1.当0a1时，由(1)得，当x1时，g(x)0，即ln x10，所以ln x，则xe(x0)，令x，得e.因为f(e)20，f(a2)0，f(1)20，f(e2)0，所以f(x)在(e，a2)，(a2，1)，(1，e2)内各有一个零点，故所求a的取值范围是0，1)
