1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点)3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)1.通过等比数列前n项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养.2.借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养.1等比数列前n项和的变式当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比q1时，因为a10，所
2、以Snna1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)2等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(Aq0，q1)，则数列an是等比数列性质二：若数列an是公比为q的等比数列，则在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则q.Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列思考：在等比数列an中，若a1a220，a3a440，如何求S6的值？提示S220，S4S240，S6S480，S6S480S24080140.1设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1|a2|a3|a4|_.15法一：a1|a2|a3|a4|1|1(2)|1(2)2|1(2)3|15.法二：因为a
3、1|a2|a3|a4|a1|a2|a3|a4|，数列|an|是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为15.2已知数列an为等比数列，且前n项和S33，S627，则公比q_.2q38，所以q2.3若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.(2)n1当n1时，S1a1，所以a11.当n2时，anSnSn1an(anan1)，所以an2an1，即2，所以an是以1为首项的等比数列，其公比为2，所以an1(2)n1，即an(2)n1.4在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.14设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a
4、4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以3n636，即n14.等比数列前n项和公式的函数特征应用【例1】已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C是等差数列或等比数列D既非等差数列，也非等比数列B当n2时，anSnSn1(a1)an1；当n1时，a1a1，满足上式an(a1)an1，nN*.a，数列an是等比数列1已知Sn通过an求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1.2若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列1若an是等
5、比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.等比数列前n项和性质的应用探究问题1在等差数列中，我们知道Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等差数列在等比数列an中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列吗？为什么？提示Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列在等比数列an中有amnamqn，Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1qma2qmamqm(a1a2am)qmSmqm.同理S3mS2mSmq2m，在Sm0时，Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列2若数列an为项数为偶数的
6、等比数列，且S奇a1a3a5，S偶a2a4a6，那么等于何值？提示由等比数列的通项公式可知q.【例2】(1)等比数列an的前n项和为Sn，S27，S691，则S4为()A28B32C21D28或21(2)等比数列an中，公比q3，S8032，则a2a4a6a80_.思路探究：(1)由S2，S4S2，S6S4成等比数列求解(2)利用 q，及S2nS奇S偶求解(1)A(2)24(1)an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，即7，S47,91S4成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2
7、)S2，S428.(2)设S1a2a4a6a80，S2a1a3a5a79.则q3，即S13S2.又S1S2S8032，S132，解得S124.即a2a4a6a8024.1(变条件)将例题(1)中的条件“S27，S691”改为“正数等比数列中Sn2，S3n14”求S4n的值解设S2nx，S4ny，则2，x2,14x，y14成等比数列，所以所以或(舍去)，所以S4n30.2(变条件，变结论)将例题(2)中的条件“q3，S8032”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的，又它的首项为，且中间两项的和为”求此等比数列的项数解设等比数列为an，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，q
8、.则q，又an和an1为中间两项，则anan1，即a1qn1a1qn，又a1，q，n1nn1n6.项数为2n12.则此等比数列的项数为12.1在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算若项数为2n，则q(S奇0)；若项数为2n1，则q(S偶0)2等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn(q1)分组求和法【例3】已知数列an构成一个新数列：a1，(a2a1)，(anan1)，此数列是首项为1，公比为的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，
9、这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列的前n项和，数列an的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了解(1)ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1.(2)Sna1a2a3ann(2n1).分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成(2)解题步骤2求数列2，4，6，2n，的前n项和Sn.解Sn246(2462n)n(n1).1在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列2等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：
10、利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a11或a10,0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解.1判断正误(1)等比数列an共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q2.()(2)已知等比数列an的前n项和Sna3n11，则a1.()(3)若数列an为等比数列，则a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列()(
11、4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)q；(2)由等比数列前n项和的特点知a1得a3；(3)当an公比q1时，则a1a20，a3a40，a5a60，不成等比数列；(4)由S3，S6S3，S9S6成等比数列知(4)错误2设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5()A34B23C12 D13A在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S10S512，所以S52S10，S15S5，得S15S534，故选A.3(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，若a11，S3，则S4_.等比数列an的前n项和为Sn，a11，S3，q1，整理可得，q2q0，解得，q，则S4.4设等比数列an的前n项和为Sn，已知S42，S86，求a17a18a19a20的值解由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为S42，公比为2，故S4nS4n42n(n2)，所以a17a18a19a20S20S162532.
