1、玉溪一中2020-2021学年下学期高二年级期中考数学学科试卷（理） 命题人：刘剑涛 审题人：姚艳萍 吴志华考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 为虚数单位，则ABCD2等于A1B-1CD 3. 如图所示的DABC 中，点 D 是线段 BC 上靠近 B 的三等分点，则A. B. C. D. 4. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行
2、业造成了很大影响，为了解A，B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A，B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，下列说法不正确的是A. A店营业额的平均值超过B店营业额的平均值B. A店营业额在6月份达到最大值C. A店营业额的极差比B店营业额的极差小D. A店5月份的营业额比B店5月份的营业额小5若,则下列不等式中正确的是A BC D6已知，且，则A B C D7. 函数的大致图象为8. 设 是两条不同的直线， 是平面，不在内，下列结论中错误的是A m a， n/a，则 m nB m n ， n/a，则 m aC m a， m n ，则 n/aD m
3、a， n a，则 m/n9. 关于函数有下述三个结论：函数的最小正周期为；函数的一条对称轴为；函数在区间上单调递减.其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D. 10已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. 1a2 B. 3a6 C. a3或a6 D. a1或a211. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且，过椭圆的右焦点做倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则可以取 8 5 7 412. 棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为A B C D1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13在中，若，则这个三角形的形
4、状是_14“” 为假命题,则实数的最大值为_15. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为_16.年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到年之间（参考数据：）三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤. 17（10分） 已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，实数满足，求的最值.18（12分）已知点（nN*）在函数的图像上，。（1）证明：数列为等差数列；（2）设,记，求。19（12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.20 （12分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，统计结果见下表请你根据频率分布表解答下列问题：(1)填充
6、频率分布表中的空格；(2)规定成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值21. （12 分）已知函数（1）求函数在区间上的最大值及最小值；（2）对，如果函数的图象在函数的图象的下方，则称函数在区间上被函数覆盖求证：函数在区间上被函数覆盖22（12分）已知平面内的两个定点，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线.（1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；（2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.数学答案（理）一、 选择题BDCDD AABAC A
7、C4.【答案】 D【解析】【分析】根据营业额折线图可得解【详解】A店的2-7月的营业额故A正确,根据营业额折线图可知B正确；A店营业额的极差，B店营业额的极差故C正确，A店5月份的营业额45比B店5月份的营业额35大，故D错误，故选：ABC【点睛】本题考查根据折线图进行数据分析，属于基础题. 10.【答案】C【解析】【分析】易得有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式求解即可.【详解】由题有两个不相等的实数根,故,解得或.故选：C【点睛】本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.12.【答案】 C【解析】连接，则可证平面，故点轨迹围成图形为，又，故选C二、 填空题13. 【
8、答案】等腰三角形【解析】【分析】利用公式，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状.【详解】，代入条件可得，即，即，所以三角形是等腰三角形.故答案为：等腰三角形 15. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为_【答案】 由三视图还原几何体得到三棱锥，根据三棱锥体积公式可求得体积；利用勾股定理可求得最长棱.【详解】由三视图还原几何体，可知几何体为如下图所示的三棱锥则，平面，最长棱故答案为：【点睛】本题考查根据三视图求解几何体体积和棱长的问题，关键是能够准确的通过三视图还原几何体，属于常考题型.16.年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社
9、会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到年之间（参考数据：）【答案】 (1). (2). （1）根据衰变规律，令，代入求得；（2）令，解方程求得即可.【详解】当时， 经过年后，碳的质量变为原来的令，则 良渚古城存在的时期距今约在年到年之间故答案为：；【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于
10、函数模型中变量的理解，属于基础题.三、 解答题17. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数满足，求的最值.（1）当时，所以无解当时，所以当时，所以无解综上，不等式的解集为5分（2）因为，所以，所以，故10分（或者10分18. 已知点（nN*）在函数的图像上，。（1）证明：数列为等差数列；（2）设,记，求。【答案】解：（1） 点在函数的图像上，=，并且即 ， 整理得 ， 数列是以1为首项、1为公差的等差数列.（2）由（1）知， ， ， , = 19. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】
11、【分析】（1）由线面垂直得线线垂直.，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直；（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【详解】解：（1）由已知得，平面，平面，故.又，所以平面.（2）由（1）知.由题设知，所以，故，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即所以可取得.设平面的法向量为，则即所以可取，得.于是.所以，二面角的正弦值为.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角求得二面角20.为了让学生
12、更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，统计结果见下表请你根据频率分布表解答下列问题：(1)填充频率分布表中的空格；(2)规定成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值【答案】解(1)为6，为0.4，为12，为12，为0.24；(2)(0.240.24)800288，即在参加的800名学生中大概有288名
13、同学获奖(3)由流程图得SG1F1G2F2G3F3G4F4650.12750.4850.24950.2481，即输出S的值为81. 21. 已知函数（1）求函数在区间上的最大值及最小值；（2）对，如果函数的图象在函数的图象的下方，则称函数在区间上被函数覆盖求证：函数在区间上被函数覆盖【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，判断函数单调区间，再求函数的最值；（2）利用导数证明函数恒成立，即证明.【详解】（1）当时， 2分在递增 3分 4分（2）令 6分 7分 9分，在上递增 10分的图像在的上方，在区间上被函数覆盖 12分【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，1、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；2、综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22（12分）已知平面内的两个定点，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线.（1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；（2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.（1）3分 （2），设直线，代入得：由于恒成立则有，5分 6分点到直线的距离7分 则10分当且仅当：，即时取等号，又由于，知，此时.12分
