1、第九章第二节一、选择题1(2014广东汕头金山中学摸底)如图是一正方体被过棱的中点M，N，顶点A及过N，顶点D，C1的两个截面截去两角后所得的几何体，该几何体的正视图是()答案B解析在原正方体中，此几何体的顶点A、B、B1、M、N在正视图中的投影依次为D、C、C1、Q、D1(其中Q为C1D1的中点)，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线为虚线故选B.2.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“”的面的方位是()A南B北 C西 D下答案A解析将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最
2、右面为东，则前面为，可知“”的实际方位为南3(文)(2013惠安中学高考适应性训练)一个四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是腰长为1的等腰直角三角形，侧(左)视图是直角三角形，其中一条直角边长为2，则这个几何体的体积是()A.B1C.D2答案A解析由三视图知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，梯形两底边长分别为1和2，高为，面积S(12)，锥体高，体积V，故选A.(理)(2014重庆理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54B60C66D72答案B解析如图所示该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，EFAC，
3、AC平面ABDF，EF平面ABDF，EFDF，在直角梯形ABDF中，易得DF5，故其表面积为SSRtABCS矩形ACEFS梯形ABDFS梯形BCEDSRtDEF3560.4(文)(2013贵州六校联盟)某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是()A.BC8D8答案A解析由三视图知，该几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方体的上底面，高为1.几何体的体积为V232218.(理)(2013安徽六校教研会联考)四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中
4、点，直线EF被球面截得的线段长为2，则该球的表面积为()A9B3C2D12答案D解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得的，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2，可知正方形ABCD的对角线AC的长为2，可得a2，在PAC中，PC2，球的半径R，S表4R24()212.5(文)(2014河北名校名师俱乐部模拟)一个球的球心到过球面上A、B、C三点的平面的距离等于球半径的一半，若ABBCCA3，则球的体积为()A8BC12D答案D解析设球心为O，过O作OM平面ABC，垂足是M, ABC是边长为3的正三角形，AM，可得球半径是2，体积是.(理)如图，已知在
5、多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为()A2B4C6D8答案B解析补成长方体ABMCDEFN并连接CF，易知三棱锥FBCM与三棱锥CFGN的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.故选B.点评1.也可以用平面BCE将此几何体分割为两部分，设平面BCE与DG的交点为H，则ABCDEH为一个直三棱柱，由条件易证EH綊FG綊BC，平面BEF平面CHG，且BEFCHG，几何体BEFCHG是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形，高都是2，体积为4.2如图(2)，几
6、何体ABCDEFG也可看作棱长为2的正方体中，取棱AN、EK的中点C、F，作平面BCGF将正方体切割成两部分，易证这两部分形状相同，体积相等，VABCDEFG234.6在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()答案B解析球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心，故在截面图中，此切点将截面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为12两部分，截面过三棱锥的高和一条侧棱，故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上，这条高应是顶点与底面中心的连线段，故选B.二、填空题7圆台的上、下底半径分别为2和4，母线长为
7、4，则截得此圆台的圆锥侧面展开图的中心角为_答案解析如图，设PDx，则，x4，2.8一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是_答案解析根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高是3，体积是所求几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是123.故填.9(文)(2014天津理)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V2221244.(
8、理)(2013山东泰安市期末)已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是_答案cm3解析由图可知，该几何体是一个组合体，上部为半径为1的半球，下部为圆柱，圆柱的底半径为1、高为1，体积V()21(cm3)三、解答题10(文)(2015江西赣州博雅文化学校月考)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积解析(1)BCCD2，BCD为等腰三角形，ACBACD，BDAC.再由PA底面AB
9、CD，可得PABD.而PAACA，故BD平面PAC.(2)侧棱PC上的点F满足PF7FC，三棱锥FBCD的高是三棱锥PBCD的高的.BCD的面积SBCDBCCDsinBCD22sin.三棱锥PBDF的体积VVPBCDVFBCDSBCDPASBCD(PA)SBCDPA2.(理)(2013济南外国语学校质检)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱锥PABCD的体积解析(1)证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE，在平面ABCD内，因为ABAD，CEAB，
10、所以CEAD，又PAADA，所以CE平面PAD，(2)由(1)可知CEAD，在直角三角形ECD中，DECDcos451，CECDsin451.又因为ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形，所以S四边形ABCDS矩形ABCESECDABAECEDE1211，又PA平面ABCD，PA1，所以四棱锥PABCD的体积VS四边形ABCDPA1.一、选择题11(文)(2014湖北荆州质量检查)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.BC.D2答案A解析由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，则圆柱的体积V柱1222，挖去的两个半球的
11、半径均为1，因此挖去部分的体积为V球213.故所求几何体的体积为VV柱V球2.(理)(2014河南郑州质检)如图所示，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()A153B9C306D18答案C解析由三视图知几何体是一个斜四棱柱，底面是边长为3的正方形，棱柱高为，侧棱长为2，故S33232232306.12(文)(2014东北三校一联)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A. B C. D答案D解析该几何体是底面为扇形的一个锥体，由主视图可知AD1，而AO2，AOD，底面扇形的圆心角，VSh(22)4.(理)(2014江南十校联考
12、)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是()A.B6C.D答案C解析由三视图可知，该几何体上半部分是底面半径和高都为2的半圆锥，下半部分为底面半径为2，高为1的半圆柱组成的组合体，因此它的体积为V(221)(222).13(2014山东青岛二模)已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BD，AC，BCAD，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.B6C5D8答案B解析由勾股定理易知DAAB，ABBC，BC平面DAB.CD.AC2AD2CD2，DAAC.取CD的中点O，由直角三角形的性质知O到点A，B，C，D的距离均为，其即为三棱锥的外接球球心故三棱锥的外接球的表面积为4()26.二、填空题
13、14(2014陕西宝鸡质检)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为_答案24解析由三视图可知，该几何体是长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，圆柱体的高为3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为42312324.15(文)已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，则球O的表面积等于_答案4解析可以将其补全为一个长方体，则长、宽、高分别为、1、1，所以，长方体体对角线长为2，故R1，因此球的表面积为4R24.(理)圆锥的高为4，侧面积为15，其内切球的表面积为_答案9解析设圆锥底面半径为r(r
14、0)，则母线长l，由rl15得r15，解之得r3，l5.设内切球半径为R，作出圆锥的轴截面如图，则BDBO13，PD532，PO4R，ODPB，R24(4R)2，R，球的表面积S4R29.三、解答题16(文)(2014南开区质检) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，ACBCBB12，D为AB的中点，且CDDA1.(1)求证：平面A1B1B平面ABC；(2)求多面体DBCA1B1C1的体积解析ACBC，D为AB的中点，CDAB，又CDDA1，CD面AA1B1B，又因为CD平面ABC，故平面A1B1B平面ABC.(2)V多面体DBCA1B1C1V棱柱ABCA1B1C1V棱锥
15、A1ADCSABC|AA1|SADC|AA1|SABC|AA1|SABC|AA1|SABC|AA1|.(理)(2015焦作市期中)如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC平面BCDE，ACBC，ACCDBC2，点F是线段AD的中点(1)求证：AB平面CEF；(2)求几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比解析(1)连接BD交CE于点O，连接FO.四边形BCDE为矩形，O为BD的中点，又F是线段AD的中点，FOAB，FO平面CEF，AB平面CEF.AB平面CEF.(2)平面ABC平面BCDE，ACBC，平面ABC平面BCDEBC，AC平面BCDE.VABCDES矩形BCDEACBCC
16、DAC422.矩形BCDE中，BCCD，又ACBC且ACCDC，BC平面ACD，又矩形BCDE中，EDBC，ED平面ACD.RtACD中，F是线段AD的中点，SCDFSACDACCD1，VECDFSCDFED14，平面CEF将几何体ABCDE分成的上下两部分的体积之比为.17(文)已知P在矩形ABCD的边DC上，AB2，BC1，F在AB上且DFAP，垂足为E，将ADP沿AP折起，使点D位于D位置，连接DB、DC得四棱锥DABCP.(1)求证：DFAP；(2)若PD1，且平面DAP平面ABCP，求四棱锥DABCP的体积解析(1)APDE，APEF，DEEFE，AP平面DEF，APDF.(2)PD
17、1，四边形ADPF是边长为1的正方形，DEDEEF，平面DAP平面ABCP，DEAP，DE平面ABCP，S梯形ABCP(12)1，VDABCPDES梯形ABCP.(理)如图在ABC中，B，ABBC2，P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.解析(1)令PAx(0x0，f(x)单调递增；当x(，2)时，f (x)0，f(x)单调递减所以，当x时，f(x)取得最大值，即当VAPBCD最大时，PA.(2)设F为AB的中点，连接PF，FE，则有EF綊BC，PD綊BC，EF綊PD，四边形EFPD为平行四边形，DEPF.又APPB，所以PFAB，故DEAB.
