1、课时提能演练(四十九)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知直线l1的方向向量是a(2,4,x),直线l2的方向向量是b(2,y,2),若|a|6,且ab0,则xy的值是()(A)3或1 (B)3或1(C)3 (D)12.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1中点,则直线CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1A3.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且ACBC2,ACB90,F、G分别是线段AE、BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为()(A) (B) (C) (D)4.(2012金华模拟)正三棱柱ABCA1
2、B1C1的棱长都为2,E,F,G为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()(A) (B) (C) (D)5.(2012中山模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()(A)相交 (B)平行(C)垂直 (D)不能确定6.如图,矩形ABCD中,AB3,BC4,沿对角线BD将ABD折起,使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上,若二面角CABD的大小为,则sin 的值等于()(A)(B)(C)(D)二、填空题(每小题6分,共18分)7.(2012九江模拟)已知两平面的法
3、向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为.8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为.9.正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SOOD,则直线BC与平面PAC所成的角是.三、解答题(每小题15分,共30分)10.(2012汕头模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14,点D是AB的中点. (1)求证:ACBC1;(2)求二面角DCB1B的平面角的正切值.11.(预测题)如图,已知矩形ABCD的边AB2,BC,点E、F分别是
4、边AB、CD的中点,沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起,使得点D和点B重合,记重合后的位置为点P.(1)求证:平面PCE平面PCF;(2)设M、N分别为棱PA、EC的中点,求直线MN与平面PAE所成角的正弦;(3)求二面角APEC的大小.【探究创新】(16分)如图,在矩形ABCD中,AB2,BCa,PAD为等边三角形,又平面PAD平面ABCD.(1)若在边BC上存在一点Q,使PQQD,求a的取值范围;(2)当边BC上存在唯一点Q,使PQQD时,求二面角APDQ的余弦值.答案解析1.【解析】选A.由题意知|a|6,得x4.由ab44y2x0得x2y2,当x4时,y3,xy1;当x4
5、时,y1,xy3,综上xy3或1.2.【解题指南】合理建立坐标系,分别求出选项中的线段对应的向量,即可求得结果.【解析】选B.以A为原点,AB、AD、AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E(,1),(,1),(1,1,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1),显然00,即CEBD.3. 【解析】选A.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且ACBC2,ACB90,F、G分别是线段AE、BC的中点.以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz
6、,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),(0,2,2),(1,2,1),|2,|,2,cos,.直线AD与GF所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.【变式备选】在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是()(A) (B) (C) (D)【解析】选D.建立坐标系,通过向量的坐标运算可知AMOP总成立,即AM与OP所成的角为.4.【解析】选A.如图,取A1B1的中点E1,建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0
7、),F(1,0,1),B1(1,0,2),A1(1,0,2),C1(0,2),G(,2).(2,0,1),设平面GEF的一个法向量为n(x,y,z),由,得,令x1,则n(1,1),设B1F与平面GEF所成角为,则sin|cosn,|.5. 【解题指南】建立坐标系,判断与平面BB1C1C的法向量的关系.【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.A1MANa,M (a,a,),N(a,a,a).(,0,a).又C1(0,0,0),D1(0,a,0),(0,a,0).0.是平面BB1C1C的一个法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.6
8、.【解析】选A.由题意可求得BO,OC,AO,建立空间直角坐标系如图,则C(,0,0),B(,0,0),A(0,0,),D(,3,0),(4,3,0),(,0,)设m(x,y,z)是平面ABD的一个法向量.则,取z3,x7,y.则m(7,3).又(0,3,0)是平面ABC的一个法向量.cosm,.sin.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法,其步骤是:建系,分别求构成二面角的两个半平面的法向量,求法向量夹角的余弦值,根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法,该法就是首先利用二面角的定义,找出二面角的平面角,然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】cosm,n,m,n,两平
9、面所成二面角的大小为或.答案:或【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有,而忽视.8. 【解析】以D为原点,DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),O(,1),设平面ABC1D1的法向量n(x,y,z),由,得,令x1,得n(1,0,1),又(,0),O到平面ABC1D1的距离d.答案:9. 【解析】如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设ODSOOAOBOCa,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P(0,),则(2a,0,0),(a,),(a,a,0),设平面PAC的一个
10、法向量为n,可取n(0,1,1),则cos,n,n60,直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案:3010.【解析】(1)直三棱柱ABCA1B1C1,底面三边长AC3,BC4,AB5,AC2BC2AB2,ACBC,又ACC1C,且BCC1CC,AC平面BCC1,又BC1平面BCC1,ACBC1.(2)方法一:取BC中点E,过D作DFB1C于F,连接EF,D是AB中点,DEAC,又AC平面BB1C1C,DE平面BB1C1C,又EF平面BB1C1C,B1C平面BB1C1CDEEF,B1CDE,又DFB1C且DEDFD,B1C平面DEF,EF平面DEF,B1CEF,又DFB1C,EFD是二面
11、角DB1CB的平面角.AC3,BC4,AA14,DEF中,DEEF,DE,EF,tanEFD,二面角DB1CB的平面角的正切值为.方法二:以CA、CB、CC1分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,AC3,BC4,AA14,A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),D(,2,0),B1(0,4,4),(,2,0),(0,4,4),平面CBB1C1的法向量n1(1,0,0),设平面DB1C的法向量n2(x0,y0,z0),则n1,n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角DCB1B的大小则由令x04,则y03,z03,n2(4,3,3),cosn1,n2,则tann1,n2.二面角
12、DB1CB是锐二面角,二面角DB1CB的平面角的正切值为.【变式备选】(2012吉林模拟)如图,已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD底面ABCD,E、F分别为棱BC、AD的中点.(1)若PD1,求异面直线PB与DE所成角的余弦值.(2)若二面角PBFC的余弦值为,求四棱锥PABCD的体积.【解析】(1)E,F分别为棱BC,AD的中点,ABCD是边长为2的正方形DFBE且DFBEDFBE为平行四边形DEBFPBF等于PB与DE所成的角.PBF中,BF,PF,PB3cosPBF异面直线PB和DE所成角的余弦值为.(2)以D为原点,直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间
13、直角坐标系,设PDa,可得如下点的坐标:P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0),则有:(1,0,a),(1,2,0),因为PD底面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1),设平面PFB的一个法向量为n(x,y,z),则可得即,令x1,得z,y,所以n(1,).已知二面角PBFC的余弦值为,所以得:cosm,n,解得a2.因为PD是四棱锥PABCD的高,所以,其体积为VPABCD24.11.【解析】(1)PEPF1,EF,PEPF,又PEPC,且PCPFP,PE平面PFC,PE平面PEC,平面PEC平面PFC.(2)如图,建立空间直角坐标系,则A(,1,0)、E(,
14、0,0)、N(0,0)、P(0,0,)、C(,1,0)、F(,0,0)、M(,),(,0,),(,1,),易知是平面PAE的法向量,设MN与平面PAE所成的角为,sin|cos,|.(3)易知是平面PAE的法向量,设平面PEC的法向量n(x,y,z),(,1,0),(,0,),n0,n0,则xy0且xz0,令x1,则y,z1,所以n(1,1),cosn,所以二面角APEC的大小为135.【探究创新】【解析】(1)取AD中点O,连接PO,则POAD.平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面ABCD.建立如图的空间直角坐标系,则P(0,0,a),D(,0,0).设Q(t,2,0),则(t,2,a),(t,2,0).PQQD,t(t)40.a2(t),a0,t0,2(t)8,等号成立当且仅当t2.故a的取值范围为8,). (2)由(1)知,当t2,a8时,边BC上存在唯一点Q,使PQQD.此时Q(2,2,0),D(4,0,0),P(0,0,4).设n(x,y,z)是平面PQD的法向量,(2,2,4),(2,2,0).由得令xy3,则n(3,3,)是平面PQD的一个法向量.而(0,2,0)是平面PAD的一个法向量,设二面角APDQ为,由cos|cos,n|.二面角APDQ的余弦值为.