1、课时提能演练(四十九)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知直线l1的方向向量是a(2,4，x)，直线l2的方向向量是b(2，y,2)，若|a|6，且ab0，则xy的值是()(A)3或1 (B)3或1(C)3 (D)12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1A3.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F、G分别是线段AE、BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为()(A) (B) (C) (D)4.(2012金华模拟)正三棱柱ABCA1
2、B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()(A) (B) (C) (D)5.(2012中山模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()(A)相交 (B)平行(C)垂直 (D)不能确定6.如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线BD将ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角CABD的大小为，则sin 的值等于()(A)(B)(C)(D)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012九江模拟)已知两平面的法
3、向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为.8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为.9.正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012汕头模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点. (1)求证：ACBC1；(2)求二面角DCB1B的平面角的正切值.11.(预测题)如图，已知矩形ABCD的边AB2，BC，点E、F分别是
4、边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P.(1)求证：平面PCE平面PCF；(2)设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦；(3)求二面角APEC的大小.【探究创新】(16分)如图，在矩形ABCD中，AB2，BCa，PAD为等边三角形，又平面PAD平面ABCD.(1)若在边BC上存在一点Q，使PQQD，求a的取值范围；(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ的余弦值.答案解析1.【解析】选A.由题意知|a|6，得x4.由ab44y2x0得x2y2，当x4时，y3，xy1；当x4
5、时，y1，xy3，综上xy3或1.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即CEBD.3. 【解析】选A.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F、G分别是线段AE、BC的中点.以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz
6、，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，(0，2,2)，(1,2,1)，|2，|，2，cos，.直线AD与GF所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.【变式备选】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()(A) (B) (C) (D)【解析】选D.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知AMOP总成立，即AM与OP所成的角为.4.【解析】选A.如图，取A1B1的中点E1，建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0
7、)，F(1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0，2)，G(，2).(2,0，1)，设平面GEF的一个法向量为n(x，y，z)，由，得，令x1，则n(1，1)，设B1F与平面GEF所成角为，则sin|cosn，|.5. 【解题指南】建立坐标系，判断与平面BB1C1C的法向量的关系.【解析】选B.分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.A1MANa，M (a，a，)，N(a，a，a).(，0，a).又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0).0.是平面BB1C1C的一个法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.6
8、.【解析】选A.由题意可求得BO，OC，AO，建立空间直角坐标系如图，则C(，0,0)，B(，0,0)，A(0,0，)，D(，3,0)，(4,3,0)，(，0，)设m(x，y，z)是平面ABD的一个法向量.则，取z3，x7，y.则m(7，3).又(0,3,0)是平面ABC的一个法向量.cosm，.sin.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步骤是：建系，分别求构成二面角的两个半平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】cosm，n，m，n，两平
9、面所成二面角的大小为或.答案：或【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有，而忽视.8. 【解析】以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(，1)，设平面ABC1D1的法向量n(x，y，z)，由，得，令x1，得n(1,0,1)，又(，0)，O到平面ABC1D1的距离d.答案：9. 【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面PAC的一个
10、法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：3010.【解析】(1)直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC3，BC4，AB5，AC2BC2AB2，ACBC，又ACC1C，且BCC1CC，AC平面BCC1，又BC1平面BCC1，ACBC1.(2)方法一：取BC中点E，过D作DFB1C于F，连接EF，D是AB中点，DEAC，又AC平面BB1C1C，DE平面BB1C1C，又EF平面BB1C1C，B1C平面BB1C1CDEEF，B1CDE，又DFB1C且DEDFD，B1C平面DEF，EF平面DEF，B1CEF，又DFB1C，EFD是二面
11、角DB1CB的平面角.AC3，BC4，AA14，DEF中，DEEF，DE，EF，tanEFD，二面角DB1CB的平面角的正切值为.方法二：以CA、CB、CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，AC3，BC4，AA14，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,0)，D(，2,0)，B1(0,4,4)，(，2,0)，(0,4,4)，平面CBB1C1的法向量n1(1,0,0)，设平面DB1C的法向量n2(x0，y0，z0)，则n1，n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角DCB1B的大小则由令x04，则y03，z03，n2(4，3,3)，cosn1，n2，则tann1，n2.二面角
12、DB1CB是锐二面角，二面角DB1CB的平面角的正切值为.【变式备选】(2012吉林模拟)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点.(1)若PD1，求异面直线PB与DE所成角的余弦值.(2)若二面角PBFC的余弦值为，求四棱锥PABCD的体积.【解析】(1)E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形DFBE且DFBEDFBE为平行四边形DEBFPBF等于PB与DE所成的角.PBF中，BF，PF，PB3cosPBF异面直线PB和DE所成角的余弦值为.(2)以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间
13、直角坐标系，设PDa，可得如下点的坐标：P(0，0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，则有：(1,0，a)，(1,2,0)，因为PD底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)，设平面PFB的一个法向量为n(x，y，z)，则可得即，令x1，得z，y，所以n(1，).已知二面角PBFC的余弦值为，所以得：cosm，n，解得a2.因为PD是四棱锥PABCD的高，所以，其体积为VPABCD24.11.【解析】(1)PEPF1，EF，PEPF，又PEPC，且PCPFP，PE平面PFC，PE平面PEC，平面PEC平面PFC.(2)如图，建立空间直角坐标系，则A(，1,0)、E(，
14、0,0)、N(0，0)、P(0,0，)、C(，1,0)、F(，0,0)、M(，)，(，0，)，(，1，)，易知是平面PAE的法向量，设MN与平面PAE所成的角为，sin|cos，|.(3)易知是平面PAE的法向量，设平面PEC的法向量n(x，y，z)，(，1,0)，(，0，)，n0，n0，则xy0且xz0，令x1，则y，z1，所以n(1，1)，cosn，所以二面角APEC的大小为135.【探究创新】【解析】(1)取AD中点O，连接PO，则POAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图的空间直角坐标系，则P(0,0，a)，D(，0,0).设Q(t,2,0)，则(t,2，a)，(t，2,0).PQQD，t(t)40.a2(t)，a0，t0，2(t)8，等号成立当且仅当t2.故a的取值范围为8，). (2)由(1)知，当t2，a8时，边BC上存在唯一点Q，使PQQD.此时Q(2,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4).设n(x，y，z)是平面PQD的法向量，(2,2，4)，(2,2,0).由得令xy3，则n(3,3，)是平面PQD的一个法向量.而(0,2,0)是平面PAD的一个法向量，设二面角APDQ为，由cos|cos，n|.二面角APDQ的余弦值为.