1、高考资源网（） 您身边的高考专家第34课时 二次函数在闭区间上的最值【学习目标】1理解二次函数在闭区间上的最大、最小值的各种典型问题；2通过二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨，领悟分类讨论、数形结合的思想【课前导学】本堂课主要研究二次函数在闭区间上的最大、最小值问题【课堂活动】一、建构数学：设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：即图象最大、最小值对于开口向下的情况，讨论类似其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对
2、称轴轴越远，则对应的函数值越小二、应用数学：例1函数在上有最大值5和最小值2，求的值【分析】注意开口方向的讨论解：对称轴，故函数在区间上单调（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；（2）当时，函数在区间上是减函数，故 【解后反思】处理二次函数最值问题首先要关注开口方向的讨论例2 求函数的最小值【分析】动轴定区间，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值解：对称轴（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，【变式】1、本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当时，； （2）当时， 2、本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当时，；（2）当时， ，
3、；（3）当时，；（4）当时， ， 【解后反思】当二次函数开口向上时，（1）求给定区间的最小值，按对称轴与区间的三种位置关系讨论；（2）求最大值时，按对称轴与区间中点的位置关系分类讨论；（3）既求最大又求最小时，分四种情况讨论在讨论的过程中要注意结合函数的图像例3 求函数在区间上的最小值【分析】定轴动区间也按对称轴与区间的位置关系讨论解：对称轴，（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，例4 讨论函数的最小值解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，当，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当时，； （2）当时，； （3）当时，【解后反思】本题突出体现
4、了数形结合与分类讨论思想的有机结合三、理解数学：1已知二次函数满足条件及（1）求；（2）求在区间上的最大值和最小值解：（1）设，由，可知， ，故由得，因而， 所以；（2）， ，所以当时，的最小值为，当时，的最大值为2已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值【思路分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明解：（1）令，得，此时抛物线开口向下，对称轴为，且，故不合题意；（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；（3）若
5、，得，经检验，符合题意综上，或【评注】本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法3已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或【课后提升】1已知函数，当时，求函数f(x)的最大值与最小值解：时， ，所以时，时，.2设a为实数，函数，求f(x)的最小值解：（1）当时，若，则;若，则（2）当时，若，则;；若，则综上所
6、述，当时，；当时，；当时，3求函数在上的最大值解：函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知；（2）；由图可知；（3） 时；由图可知；即4已知，求的最小值解：将代入u中，得，即时，；，即时，；所以5已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值解：，（1）若，不合题意（2）若则，由，得（3）若时，则，由，得综上知或6 已知函数在区间上的值域是，求m，n的值解析1：讨论对称轴中1与的位置关系若，则，解得；若，则，无解；若，则，无解；若，则，无解；综上，解析2：由，知，则，f(x)在上递增所以，解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 10 - 版权所有高考资源网
