1、2016-2017学年湖北省华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1集合A=y|y=2x1，B=x|2x3|3，则AB=（）Ax|0x3Bx|1x3Cx|0x3Dx|1x32设复数z满足（1i）z=2i，则z在复平面内对应的点在（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限3数列an中，a1=1，an+1=2an2n，则a17（）A15216B15217C16216D162174sin+cos=，是第二象限的角，则tan（）A3B2CD5已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x）设f（x）=，若
2、f（）=2，则sin（2）=（）ABCD6两个单位向量，的夹角为60，点C在以O圆心的圆弧AB上移动， =x+y，则x+y的最大值为（）A1BCD7已知函数f（x）=，若函数y=f（x）4有3个零点，则a的值为（）A3B4C5D68下列四个命题中，正确的个数是（）命题“存在xR，x2x0”的否定是“对于任意的xR，x2x0”；若函数f（x）在上有零点，则f0；在公差为d的等差数列an中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差d为；函数y=sin2x+cos2x在0，上的单调递增区间为0，A0B1C2D39若，P=3cos，Q=（cos）3，R=（cos），则P，Q，R的大小关系为（）AR
3、QPBQRPCPQRDRPQ10实数x，y满足，若目标函数z=mx+y（m0）的最大值为5，则m的值为（）ABC2D511定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2x），f（x）（x1）0，则对任意的x1x2，f（x1）f（x2）是x1+x22的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件12已知函数y=f（x）的定义域的R，当x0时，f（x）1，且对任意的实数x，yR，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列an满足f（an+1）f（）=1（nN*），且a1=f（0），则下列结论成立的是（）Af（a2013）f（a2016）Bf（a2014）f（a2017
4、）Cf（a2016）f（a2015）Df（a2013）f（a2015）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13关于x的不等式表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为14在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2cos2（B+C）=，若a=2，则ABC的面积的最大值是15已知x1，y1，且lnx，lny成等比数列，则xy的最小值为16已知函数f（x）=m（x+m+5），g（x）=2x2，若任意的xR，总有f（x）0或g（x）0，则m的取值范围是三、解答题：写出文字说明，证明过程或演
5、算过程17已知f（x）=（xinx+cosx）cosx，其中0，若f（x）的最小正周期为4（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC中，（2ac）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围18如图所示，ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC=，A=（1）求cosABC的值；（2）求BD的值19数列an的前n项和Sn=3n2+2n+1（1）求an的通项公式；（2）令bn=an2n，求bn的前n项和Tn20已知函数f（x）=（a0）（1）试讨论y=f（x）的极值；（2）若a0，设g（x）=x2emx，且任意的x1，x20，2，f（x1）g（x2）1恒成立，求m的取值范围21已知函
6、数f（x）=x2ax+2lnx（其中a是实数）（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）a，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），求f（x1）f（x2）取值范围（其中e为自然对数的底数）22已知f（x）=|x1|2x+3|（1）解不等式f（x）2；（2）关于x的不等式f（x）a2a的解集为R，求a的取值范围2016-2017学年湖北省华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1集合A=y|y=2x1，B=x|2x3|3，则AB=（）Ax|0x3Bx|1x3Cx|0x3Dx|
7、1x3【考点】交集及其运算【分析】求出集合A，B，然后求解交集即可【解答】解：集合A=y|y=2x1=y|y0，B=x|2x3|3=x|0x3，则AB=x|0x3故选：A2设复数z满足（1i）z=2i，则z在复平面内对应的点在（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：（1i）z=2i，（1+i）（1i）z=2i（1+i），化为z=i1则z在复平面内对应的点（1，1）在第二象限故选：C3数列an中，a1=1，an+1=2an2n，则a17（）A15216B15217C16216D16217【考点】数列递
8、推式【分析】an+1=2an2n，变形为=，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：an+1=2an2n，=，数列是等差数列，公差为=（n1）=，可得an=（2n）2n1，a17=15216故选：A4sin+cos=，是第二象限的角，则tan（）A3B2CD【考点】三角函数的化简求值【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简求出sincos的值，然后由倍角公式进行计算【解答】解：sin+cos=，1+2sincos=1+sin2=，则sin2=又是第二象限的角，即，22，cos2=，tan=故选：C5已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x）设f（x）=，若f（）=2，
9、则sin（2）=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】进行数量积的运算，并化简即可得出f（x）=，这样根据即可得出cos2=，而由的范围便可得出2的范围，从而求出，这样便可求出的范围【解答】解：f（x）=；=2cos2+1=2；2，2；故选C6两个单位向量，的夹角为60，点C在以O圆心的圆弧AB上移动， =x+y，则x+y的最大值为（）A1BCD【考点】数量积表示两个向量的夹角；基本不等式【分析】本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，即可求出结果【解答】解：两个单位向量，的夹角为60，点C在以O圆心的圆弧AB上移动， =x+y，建立如图所示的坐标系，则B（1，0）
10、，A（cos60，sin60），即A（，）设BOC=，则=x+y=（cos，sin）=（x+y， x），x=sin，y=cossin，x+y=cos+sin=sin（+60）060，60+60120，sin（+60）1，故当+60=90时，x+y取得最大值为，故选：D7已知函数f（x）=，若函数y=f（x）4有3个零点，则a的值为（）A3B4C5D6【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由已知中函数函数y=f（x）4=，我们分别判断出x4时，函数的零点，及x=4时，函数的零点，进而可得实数a的值【解答】解：由题意，函数y=f（x）4=xa时，函数关于x=a对称，此时f（x）=4一定有两个零点
11、，则当x=a时，f（x）=4，a=4若x4，则2=0，则x=1.5或x=5.5；若x=4，则a4=0，则a=4，满足函数y=f（x）4有3个零点故选B8下列四个命题中，正确的个数是（）命题“存在xR，x2x0”的否定是“对于任意的xR，x2x0”；若函数f（x）在上有零点，则f0；在公差为d的等差数列an中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差d为；函数y=sin2x+cos2x在0，上的单调递增区间为0，A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出原命题的否定，可判断；根据函数零点的存在定理，可判断；求出满足条件的公差，可判断；根据三角函数的单调性，可判断【解答】解：命题
12、“存在xR，x2x0”的否定是“对于任意的xR，x2x0”；故错误；若函数f（x）在上有零点，则f0不一定成立，故错误；在公差为d的等差数列an中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则（2+2d）2=2（2+3d），解得：d=，或d=0，故错误；函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），x0，时，2x+，令2x+，解得：x0，即在0，上函数y=sin2x+cos2x的单调递增区间为0，故正确；故选：B9若，P=3cos，Q=（cos）3，R=（cos），则P，Q，R的大小关系为（）ARQPBQRPCPQRDRPQ【考点】不等式比较大小【分析】判断三个数的范围，即可比较大小【解答】解
13、：，cos（1，0）且P=3cos1，Q=（cos）3（1，0）；R=（cos），（0，1）（cos）3（cos），可得：RQP故选：A10实数x，y满足，若目标函数z=mx+y（m0）的最大值为5，则m的值为（）ABC2D5【考点】简单线性规划【分析】由z=mx+y（m0），得y=mx+z，利用z与直线截距之间的关系确定直线的斜率满足的条件即可求出a的值【解答】解：由z=mx+y（m0），得y=mx+z，m0，直线的斜率为m0，作出不等式组对应的平面区域如图：若m1，即0m1时，平移直线y=mx+z，得直线经过点A时直线截距最大，由得，即A（，），此时m+=5，得m=7，此时m不成立，若m1
14、，即m1时，平移直线y=mx+z，得直线经过点C时直线截距最大，由得，即C（2，1），此时2m+1=5，得m=2，故选：C11定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2x），f（x）（x1）0，则对任意的x1x2，f（x1）f（x2）是x1+x22的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，结合函数单调性和对称性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：由f（x）=f（2x），得函数关于x=1对称，由f（x）（x1）0得，当x1时，f（x）0，此时函数为增函数，当x1时，f（x）0，
15、此时函数f（x）为减函数，若x1x2，当x21，函数为减函数，满足对任意的x1x2，f（x1）f（x2），此时x1+x22，若x21，函数f（x）关于x=1对称，则f（x2）=f（2x2），则2x21，则由f（x1）f（x2）得f（x1）f（x2）=f（2x2），此时函数在x1时为减函数，则x12x2，即x1+x22，即对任意的x1x2，f（x1）f（x2）得x1+x22，反之也成立，即对任意的x1x2，f（x1）f（x2）是x1+x22的充要条件，故选：B12已知函数y=f（x）的定义域的R，当x0时，f（x）1，且对任意的实数x，yR，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列an满足
16、f（an+1）f（）=1（nN*），且a1=f（0），则下列结论成立的是（）Af（a2013）f（a2016）Bf（a2014）f（a2017）Cf（a2016）f（a2015）Df（a2013）f（a2015）【考点】抽象函数及其应用【分析】利用恒等式和赋值法求f（0）的值，由恒等式化简f（an+1）f（）=1，得到数列的递推公式，依次求出a2、a3、a4，判断数列an是周期数列，再由周期性求出a2013、a2014、a2015、a2016、a2017，即可比较大小，选出答案项【解答】解：对任意的实数x，yR，f（x）f（y）=f（x+y）恒成立，令x=1，y=0，则f（1）f（0）=f（1
17、），当x0时，f（x）1，f（1）0，则f（0）=1，f（an+1）f（）=1=f（0），f（an+1+）=f（0）=a1，则an+1+=0，即an+1=，且a1=1，当n=1时，a2=；当n=2时，a3=2；当n=3时，a4=1，数列an是以3为周期的周期数列，a2013=a3=2，a2014=a1=1，a2015=a2=，a2016=a3=2，a2017=a1=1，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13关于x的不等式表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为或【考点】简单线性规划【分析】讨
18、论直线斜率，作出对应的区域，求出交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：当k=0时，对应的三角形为OAB，此时三角形为等腰直角三角形，满足条件，此时OB=1，则对应的面积S=，若k0，直线kxy+1=0与x+y=0垂直，则k=1，此时对应的三角形为OAB，此时三角形为等腰直角三角形，满足条件，由得，得A（，），则三角形的面积S=，综上该三角形的面积为或，故答案为：或14在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2cos2（B+C）=，若a=2，则ABC的面积的最大值是【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用三角形的内角和，结合已知条件等式，可得关于A的三角方程，
19、从而可以求得A的大小，利用余弦定理及基本不等式，可求得bc，从而可求ABC的面积的最大值【解答】（本题满分为10分）解：A+B+C=，4cos2cos2（B+C）=2（1+cosA）cos2A=2cos2A+2cosA+3=，2cos2A2cosA+=0 cosA=0A，A=a=2，由余弦定理可得：4=b2+c2bc2bcbc=bc，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）bc4SABC=bcsinA=故答案为：15已知x1，y1，且lnx，lny成等比数列，则xy的最小值为e【考点】等比数列的通项公式；基本不等式【分析】由题意可得lnx0，lny0，lnxlny=，由基本不等式可得lnx+ln
20、y的最小值，由对数的运算可得xy的最小值【解答】解：x1，y1，lnx0，lny0，又成等比数列，=，解得lnxlny=，由基本不等式可得lnx+lny2=1，当且仅当lnx=lny，即x=y=时取等号，故ln（xy）=lnx+lny1=lne，即xye，故xy的最小值为：e故答案为：e16已知函数f（x）=m（x+m+5），g（x）=2x2，若任意的xR，总有f（x）0或g（x）0，则m的取值范围是6m0【考点】函数恒成立问题【分析】画出函数图象，结合图象求出m的范围即可【解答】解：结合题意，画出图象，如图示：，若任意的xR，总有f（x）0或g（x）0，显然m0，且1+m+50，即m6，故答
21、案为：6m0三、解答题：写出文字说明，证明过程或演算过程17已知f（x）=（xinx+cosx）cosx，其中0，若f（x）的最小正周期为4（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC中，（2ac）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+），利用周期公式可求，可得函数解析式：f（x）=sin（x+），令2kx+2k+，kZ，可得f（x）的单调递增区间（2）利用正弦定理化简已知，整理得cosB=，进而解得B=，利用已知求得范围A+，根据正弦
22、函数的性质可求f（A）的取值范围【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）=（xinx+cosx）cosx=sin2x+cos2x=sin（2x+），最小正周期为4，=，可得：f（x）=sin（x+），令2kx+2k+，kZ，可得：4kx3k+，kZ，f（x）的单调递增区间为4k，3k+，kZ（2）（2ac）cosB=bcosC，（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，整理得2sinAcosB=sinA，可得：cosB=，解得：B=，锐角三角形ABC，A，A+，可得：f（A）18如图所示，ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC=，A=（1）求cosABC的值；（2）求BD的值【
23、考点】余弦定理【分析】（1）在ABC中利用正弦定理可求sinC，利用大边对大角可得C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cosABC的值（2）由已知在ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在ABD中，利用余弦定理可求BD【解答】（本题满分为12分）解：（1）在ABC中，sinA=，sinC=，由BCAB，可得：AC，C为锐角，cosC=，cosABC=cos（C）=coscosC+sinsinC=（2）AB=2，BC=，cosABC=在ABC中，AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=9，可得：AC=3，在ABD中，BD2=AB2+AD22A
24、BADcosA=，BD=19数列an的前n项和Sn=3n2+2n+1（1）求an的通项公式；（2）令bn=an2n，求bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）由Sn=3n2+2n+1知，当n2时，an=SnSn1=6n1，验证n=1时是否适合，即可求得an的通项公式；（2）bn=an2n，易求T1=12，n1时，Tn=62+1122+1723+（6n1）2n，利用错位相减法可求得bn的前n项和Tn【解答】解：（1）Sn=3n2+2n+1，当n2时，an=SnSn1=3n2+2n+13（n1）2+2（n1）+1=6n1，当n=1时，a1=6，不适合上式，an=.（2）bn=an2n，n
25、=1时，T1=b1=a12=12.n1时，Tn=62+1122+1723+（6n1）2n，2Tn=622+1123+1724+（6n7）2n+（6n1）2n+1，得：Tn=326（23+24+2n）+（6n1）2n+1=16+（6n7）2n+1.Tn=20已知函数f（x）=（a0）（1）试讨论y=f（x）的极值；（2）若a0，设g（x）=x2emx，且任意的x1，x20，2，f（x1）g（x2）1恒成立，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的极值即可；（2）结合题意得到f（x）min（x1）+1gmax（x2），法
26、一：分离参数问题转化为m，从而求出m的范围即可；法二：通过分类讨论求出m的范围即可【解答】解：（1）f（x）=，a0时，当x=1时，f（x）的极小值为f（1）=，当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=，a0时，当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=，当x=1时，f（x）的极小值为f（1）=；（2）方法一：由题意知，x1，x20，2，f（x）min（x1）+1gmax（x2），x10，2，fmin（x1）+1=1，x0，2，x2emx1，m，mmin，mln2，方法二：分类讨论x10，2，fmin（x1）+1=1，x0，2，gmax（x）1，g（x）=x2emx，g（x）=emxx（mx+2
27、），1）当m0时，g（x）在0，2上单调递增，gmax（x）=g（2）=4e2m1，解得：mln2（舍），2）当1m0时，g（x）在0，2上单调递增，gmax（x）=g（2）=4e2m1，解得：mln2，1mln2，3）当m1时，g（x）在0，上单调递增，在，2上单调递减，gmax（x）=g（）=1，解得：m，m1，综合得：mln221已知函数f（x）=x2ax+2lnx（其中a是实数）（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）a，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），求f（x1）f（x2）取值范围（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问
28、题中的应用【分析】（1）求出f（x）的定义域为（0，+），=，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出f（x）的单调区间（2）推导出f（x1）f（x2）=，令h（x）=，（），则0恒成立，由此能求出f（x1）f（x2）的取值范围【解答】解：（1）f（x）=x2ax+2lnx（其中a是实数），f（x）的定义域为（0，+），=，令g（x）=2x2ax+2，=a216，对称轴x=，g（0）=2，当=a2160，即4a4时，f（x）0，函数f（x）的单调递增区间为（0，+），无单调递减区间当=a2160，即a4或a4时，若a4，则f（x）0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+），无减区间若a4，令f（
29、x）=0，得，当x（0，x1）（x2，+）时，f（x）0，当x（x1，x2）时，f（x）0f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+），单调递减区间为（x1，x2）综上所述：当a4时，f（x）的单调递增区间为（0，+），无单调递减区间当a4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+），单调递减区间为（x1，x2）（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a4，且x1+x2=0，x1x2=1，0x11x2，又，a=2（），e+3+，又0x11，解得f（x1）f（x2）=（）（）=（）a（x1x2）+2（lnx1lnx2）=（x1x2）a（x1x2）+2ln=（）（x1+）+4l
30、nx1=，令h（x）=，（），则0恒成立，h（x）在（）单调递减，h（）h（x）h（），即4f（x1）f（x2）4ln3，故f（x1）f（x2）的取值范围为（，）22已知f（x）=|x1|2x+3|（1）解不等式f（x）2；（2）关于x的不等式f（x）a2a的解集为R，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）求出f（x）的范围，得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：（1），或，或，解得：2x，解得：x，解得：x，综上得解集为：x|2x；（2）f（x）=， f（x）a2a，解得：a或a12016年11月27日
