1、专题训练(五) 特殊三角形性质的四种应用应用一等腰三角形“等边对等角”性质的应用1如图5ZT1，在ABC中，ABADDC，B70，则C的度数为()A35 B40C45D50图5ZT12如图5ZT2，在ABC中，ABAC，D为BC边上一点，B30，DAB45.(1)求DAC的度数；(2)求证：DCAB.图5ZT23如图5ZT3，在ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC.(1)求ECD的度数；(2)若CE5，求BC的长图5ZT3应用二等腰三角形“三线合一”性质的应用4如图5ZT4，在ABC中，ABAC，D为BC的中点，BAD20，则C_.图5ZT45如图5ZT
2、5，在ABC中，ABAC5，BC6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是_. 图5ZT56如图5ZT6，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，点E在AD上(1)求证：BECE；(2)如图，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，BAC45.原题设其他条件不变求证：AEFBCF.图5ZT6应用三“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用7如果一个直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长，那么它的最小内角为()A10 B20C30 D608如图5ZT7所示，在等边三角形ABC中，CE，BF均为ABC的中线，CE和BF交于点N，M为BN的中点判断EMN的形状并说明理由图5ZT7应用
3、四勾股定理的应用9如图5ZT8，在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是()A. B. C. D.图5ZT810如图5ZT9，在长方形纸片ABCD中，AB12，BC5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A处，则AE的长为_图5ZT911如图5ZT10，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到DCE，连接BD，交AC于点F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；(2)求线段BD的长图5ZT1012如图5ZT11，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA12 km，B
4、B14 km，且A1B18 km.现要在高速公路上A1，B1两点之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离和是多少千米？图5ZT11详解详析1A解析 在ABD中，ABAD，B70，ADBB70，ADC180ADB110.ADDC，C(180ADC)2(180110)235.2解：(1)ABAC，BC30.CBACB180，BAC1803030120.DAB45，DACBACDAB1204575.(2)证明：DAB45，B30，ADCBDAB75，DACADC，DCAC.ABAC，DCAB.3解：(1)解法一：DE垂直平分线段AC，CEAE，ECDA36.解法二：DE垂
5、直平分线段AC，ADCD，ADECDE90.又DEDE，ADECDE，ECDA36.(2)ABAC，A36，BACB72. BECAECD72， BECB，BCCE5.4705.解析 根据垂线段最短，知当BPAC时，BP 有最小值如图，过点A作ADBC于点D.因为ABAC5，BC6，根据“三线合一”的性质，得BD3，由勾股定理得AD4，根据ADBCBPAC，得465BP， BP.6证明：(1)ABAC，D是BC的中点，BAECAE.在ABE和ACE中，ABEACE(SAS)，BECE.(2)BAC45，BFAF，ABF为等腰直角三角形，AFBF.ABAC，D是BC的中点，ADBC，EAFC90
6、.BFAC，CBFC90，EAFCBF.在AEF和BCF中，AEFBCF(ASA)7C 解析 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而斜边上的中线等于最短的直角边长，故此直角三角形的斜边长是短直角边长的2倍，则它的最小内角是30.8解：EMN为等边三角形理由：因为ABC为等边三角形，CE，BF均为ABC的中线，所以NBCABC30，NCBACB30，CEAB，所以CEB90，ENBNBCNCB60.因为M是BN的中点，所以EMBNMN，即EMMN，所以EMN为等边三角形9A解析 过点C作CDAB，垂足为D.由勾股定理得AB15，根据三角形面积公式有等积式ACBCABCD，于是可求得CD.10.
7、11解：(1)ACBD.证明：DCE是由ABC平移而成的，DCE是等边三角形，BCDC，DCECDE60，DBCCDB.又DCEDBCBDC，CDB30，BDECDBCDE90.又易知EACB60，ACDE，ACBD.(2)由(1)知BED是直角三角形，BE6，DE3，BD3 .12解：作点B关于MN的对称点B，连接AB，交A1B1于点P，连接BP，则APBPAPPBAB.易知，点P即为到A，B两点距离之和最短的点过点A作AEBB于点E，则四边形AEB1A1是长方形，所以AEA1B18，BEB1EBB1AA1BB1246.在RtAEB中，由勾股定理，得AB2AE2BE2，即AB28262，即APBPAB10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10 km.
