1、专题4.4 角的比较与补（余）角【十一大题型】【沪科版】【题型1 角的相关概念辨析】1【题型2 角的单位换算】2【题型3 钟表上有关角的计算】3【题型4 与方向角有关的计算】4【题型5 角的计数问题】5【题型6 角的比较】6【题型7 与角平分线相关的角的运算】8【题型8 与角n等分线相关的角的运算】9【题型9 在三角板中的角的运算】11【题型10 余角和补角的计算】13【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】14【知识点1 角的概念及其表示方法】定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋
2、转时经过的平面部分是角的内部表示方法A图例记法适用范围用三个大写字母表示BOAOB或BOA任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.用一个大写字母表示AA以这个点为顶点的角只有一个.用数字表示11任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.用希腊字母表示aa【题型1 角的相关概念辨析】【例1】完成以下各题(1)写出图中能用一个字母表示的角；(2)写出图中以A为顶点的角；(3)图中共有几个角？【变式1-1】下列说法中，正确的是（）A两条射线组成的图形叫做角B有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D角的边越长
3、，角越大【变式1-2】如图所示，图中可以用一个字母表示的角有（）A1个B2个C3个D4个【变式1-3】如图，(1)用不同的方法表示图中以D为顶点的角；(2)写出以B为顶点的角与边；(3)画出DA，使ADA成平角，写出它的边【题型2 角的单位换算】【例2】关于度、分、秒的换算（1）5618用度表示；（2）123224用度表示；（3）12.31用度、分、秒表示【变式2-1】比较大小：6025 60.25（填“”，“”或“=”）【变式2-2】计算（1）3441255；（2）7235218334【变式2-3】若A3018，B301530，C30.25，则这三个角的大小关系正确的是（）ACABBCBAC
4、ACBDABC【知识点2 钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6，时针每小时转30，时针1分钟转0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【题型3 钟表上有关角的计算】【例3】某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合假设钟表走时准确，请问再过 分钟【变式3-1】实验中学上午10:10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（）A105B110C115D120【变式3-2】小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为88，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是8
5、8，则小明外出的时间是 分钟【变式3-3】钟面角是指时钟的时针和分针所成的角例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100？请写出具体时刻： （结果形如6点2311分）【知识点3 方向角】在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线OA的方向是北偏东60；射线OB的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方向角【题型4 与方向角有关的计算】【例4】根据描述标出每个同学家的位置(1)小红家在学校东偏北30方向150米处(2)学校在小平家
6、北偏西45方向200米处(3)小华家在学校南偏西60方向100米处(4)小刚家在学校西偏北30方向150米处【变式4-1】从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C轮船B在点A的北偏东 6025方向；轮船C在点A的南偏东1537方向，则BAC= 【变式4-2】如图，甲从A点出发向北偏东70方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15方向走到点C，则BAC的度数是（）A85B105C125D160【变式4-3】如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60的方向航行20海里后到达A处（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里）（1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；
7、（2）已知灯塔D在港口O的南偏西30方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置（3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图【题型5 角的计数问题】【例5】解答下列各题（1）如图，在AOB中，以O为顶点引射线，填表：AOB内射线的条数1234角的总个数_（2）若AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论（3）若AOB内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？【变式5-1】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（ ）A8B9C10D11【变式
8、5-2】如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角；（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示）（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场【变式5-3】在锐角AOB内部由O点引出3种射线，第1种是
9、将AOB分成10等份；第2种是将AOB分成12等份；第3种是将AOB分成15等份，所有这些射线连同OAOB可组成的角的个数是（）A595B406C35D666【知识点4 角的比较与运算】角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种方法1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较AOB和AOB的大小： 如下图，由图（1）可得AOBAOB；由图(2)可得AOBAOB；由图(3)可得AOBAOB【题型6 角的比较】【例6】如图所示，AOB=DOE，BOCCOD，试比较AOC和COE的大小关系【变式6-1】已知与都小于平
10、角，在平面内把这两个角的一条边重合，若的另一条边恰好落在的内部，则（）AD不能比较与的大小【变式6-2】如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且AOP=90. 用尺规完成作图：(1)在射线OB上截取OD，使OD=OC；在射线OP上取一点E，OE=2OC，连接CE、DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论；(2)在射线OP上取一点Q(不同于点O，E)，连接CQ、DQ，比较CED与CQD的大小，并直接写出结论.【变式6-3】学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较C、D为一个量角器在AB上方边缘上的两个动点，连接CO、DO(1)当C，D两点运动到如
11、图1所示的位置时，请你直接由量角器读出COB=_，DOA=_；(2)若OD从OA出发以每秒8的速度向终边OB运动，同时OC从OB出发，以每秒10的速度向终边OA运动，运动时间为t，当CODO时，运动时间t是多少？(3)如图2，过点O作AB的垂线与量角器的边缘交于点E，若COD=60，OF是COE的平分线，OD从OA出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，DOE与COF的数量关系【知识点5 角的和差关系】如图所示，AOB是1与2的和，记作：AOB1+2；1是AOB与2的差，记作：1AOB-2角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如图所示，OC
12、是AOB的角平分线，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =12AOB【题型7 与角平分线相关的角的运算】【例7】如图，O为直线AD上一点，以O为顶点作COE=90，射线OF平分AOE(1)如图，AOC与DOE的数量关系为_；(2)如图，如果AOC=60，求COF的度数；(3)若将图中的COE绕点O旋转至图的位置，OF依然平分AOE，若AOC=，请猜想COF的度数（可用表示），并说明理由【变式7-1】如图，点O为直线AB上一点，COD=90，OE平分AOC，OF平分BOD(1)若AOE=10，求BOD的度数；(2)若AOC:COB=2:13，求BOF的度数【变式7-2】解答下列问题如图1，射线
13、OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB，AOC和BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的“巧分线”(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）(2)如图2，若MPN=60，且射线PQ是MPN的“巧分线”，则MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）(3)如图3，若MPN=，且射线PQ是MPN的“巧分线”，则MPQ= （用含的代数式表示出所有可能的结果）【变式7-3】已知：O为直线AB上的一点，COE是直角，OF平分AOE图1图2图3(1)如图1，若COF=34，则BOE= ；若COF=m，则BOE= ；BOE与COF的数量关系为 (2)在
14、图2中，若COF=75，在BOE内部是否存在一条射线OD，使得2BOD+AOF=13BOE-BOD？若存在，请求出BOD，若不存在，请说明理由(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出BOE与COF的数量关系【题型8 与角n等分线相关的角的运算】【例8】如图，已知AOB，在AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为AOC、BOC、AOB若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为AOB的“幸福线”（本题中所研究的角都是大于0而小于180的角）(1)角的三等分线_这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；(2)如图，AOB=45，射线OC为AOB的“幸福线”，求AOC
15、的度数；(3)如图，已知AOB=60，射线OM从OA出发，以每秒20的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0t9）若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的t值【变式8-1】已知AOB120，射线OC在AOB的内部，射线OM是AOC靠近OA的三等分线，射线ON是BOC靠近OB的三等分线(1)若OC平分AOB，依题意补全图1；MON的度数为 (2)当射线OC绕点O在AOB的内部旋转时，MON的度数是否改变？若不变，求MON的度数；若改变，说明理由【变式8-2】定义：从AOB的顶点
16、出发，在角的内部引一条射线OC，把AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做AOB的三等分线若在MON中，射线OP是MON的三等分线，射线OQ是MOP的三等分线，设MOQ=x，则MON用含x的代数式表示为（）A94x或3x或92xB94x或3x或9xC94x或92x或9xD3x或92x或9x【变式8-3】综合与实践【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线小明进行了如下探究，如图，若射线OC，OD是AOB的三等分线，则称更靠近OA边的射线OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”(1)如图，AOB=150，射线OP是
17、射线OA的友好线，求AOP的度数(2)【问题探究】如图，AOB=120，射线OQ与射线OA重合并绕点O以每秒4的速度逆时针方向旋转，与射线OB重合时停止问旋转几秒后，OQ是OB的“友好线”(3)【问题拓展】如图，AOB=180，射线OM，ON分别与射线OA，OB重合，射线OM绕点O以每秒4的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点O以每秒2的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由【题型9 在三角板中的角的运算】【例9】如图，三角尺固定不动，将三角尺的直角顶点O与三角尺的顶点A重合若三角尺的一条直角边与AC边的夹角为40，则三角尺的另
18、一条直角边与AB边的夹角不可能是（）A20B80C100D150【变式9-1】如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使BOP=70将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（MON=90）在直线AB的上方设BOM=n 0n90(1)当n=32时，求PON的大小；(2)若0n70时，求AON-POM的值【变式9-2】（1）探究：在15，25，35，45，65中，乐乐同学只利用一副三角板能画出来的角是；_（填序号）（2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB的顶点与60角（COD的顶点互相重合，且边
19、OAOC都在直线EF上固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止在此过程中，若旋转时间为t秒，请用t表达下列角度AOE=_BOC=_（3）在此过程中，是否存在一个时间t（秒），使BOC=3AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由【变式9-3】综合与实践在一次数学综合实践课上，王老师提出了这样一个问题将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出AOC,BOD的平分线OM,ON，然后提出问题：求MON的度数明明与同桌丽丽讨论后，进行了如下解答：【特殊情况，探索思路】将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM
20、和ON仍然是AOC和BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON,OD,OB在同一条直线上，按图3方式摆放时，AOC和BOD相等(1)直接写出计算结果：图2中MON的度数为_，图3中MON的度数为_；(2)【特例启发，解答题目】猜想在图1所示的一般情况下MON的度数，并说明理由；(3)【核心素养，方法总结】你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了_数学思想A由特殊到一般B方程思想C分类讨论D逆向思考(4)【拓展结论，设计新题】若将王老师出示的题目中条件“分别作出AOC,BOD的平分线OM,ON”改为“分别作出射线OM,ON，使AOM=45AOC,DON=15BOD”，请你直接写出M
21、ON的度数【题型10 余角和补角的计算】【例10】如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分BOC，OE平分AOC(1)写出图中AOD的补角，BOE的补角；(2)COD与EOC互余吗？为什么？【变式10-1】一个锐角的补角与它的余角的度数差是 度【变式10-2】若1与2互余，2与3互补，则1与3的关系是（）A1=3B3=90C3=180-1D3=90+1【变式10-3】如图，O为直线AB上一点，COD=90，OE平分AOC，OG平分BOC，OF平分BOD，下列结论：EOG=90；DOE与BOF互补；AOC-BOD=90；DOG=12AOC请你把所有正确结论的序号填写在横线上 【题型1
22、1 同（等）角的余角和补角相等的运用】【例11】如图，直线AB、CD相交于点O，AOE=COF=90，图中与BOC互补的角有（）A1个B2个C3个D4个【变式11-1】如图所示，AOC与BOD都是直角，且AOBAOD211，则AOB（）A10B15C20D30【变式11-2】如图，AOC=BOD=90.(1)直接写出图中一组相等的锐角；(2)设DOC=，AOB=，求与之间的关系式；(3)请在备用图中，仅利用三角板画出MPN，使MPN=EPF.（不写作法，保留作图痕迹）【变式11-3】如图，平面内AOB=COD=90，COE=BOE，OF平分AOD，则以下结论：AOE=DOE；AOD+COB=180；COB-AOD=90；COE+BOF=180其中正确结论的个数有（）A4个B3个C2个D0个
