1、专题1.6 直角三角形（分层练习）一、 单选题1（2023下宁夏固原八年级统考期末）明明在玩摆木棒游戏，帮他看一看哪一组长度的木棒可以构成直角三角形（）A2，3，4 B3，4，6 C6，7，11 D5，12，132（2023下河北保定八年级统考期末）两个同样大小的直角三角板按如图所示摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，连接，则在说明为的平分线的过程中，理由正确的是（）A B C D3（2023上福建厦门八年级统考期末）如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（）A B C D4（2023下河南焦作九年
2、级校考期中）如图，小明从文具店买了一把直尺，他突发奇想，想验证一下这把尺子的对边是否平行，于是他把直尺与一块三角板如图放置，用量角器测量和的度数，请问下列哪个关系可以说明直尺的对边平行（）A BC D5（2023北京海淀统考一模）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（）A B C D6（2023上浙江杭州八年级统考期末）如图，已知，平分交于点E，
3、点P为线段上一点，与度数之比为k、若为直角三角形，且，则k的值为（）A1 B C或1 D1或7（2022上河北邢台八年级统考期末）如图，已知，若用判定和全等，则需要添加的条件是（）A B C D8（2023上山东烟台七年级统考期中）在中，、的对应边分别是a、b、c，则不能确定是直角三角形的是（）A B，C D9（2023上江苏八年级专题练习）如图，在中，于R，于S，则三个结论；中（）A全部正确 B仅和正确 C仅正确 D仅和正确10（2022上北京西城八年级北京八中校考期中）如图，若点A在y轴上，点B在x轴上， 的平分线交外角的平分线于点C，则的度数是（）A B C D11（2023下广东深圳七
4、年级深圳市高级中学校考期末）如图，在等腰中，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，且，则的长度为（）A7 B5 C D12（2023下安徽合肥八年级中国科技大学附属中学校考期中）如图，在中，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（）A B3 C1 D13（2022上河北邯郸八年级校考阶段练习）如图，中，则为（）A B C D14（2022安徽一模）如图，P是等边三角形内的一点，且，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（）A BC D15（2022下江苏盐城八年级校联考开学考试）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA3，PB4，PC5，以BC为边在ABC外作BQCBPA，
5、连接PQ，则以下结论中正确的有（）BPQ是等边三角形；PCQ是直角三角形；APB150；APC120A B C D二、 解答题16（2021上湖北恩施八年级统考期中）如图，在中，D是上一点，E在的延长线上，且，的延长线与交于点F试通过观察、测量、猜想等方法来探索与有何特殊的位置关系，并证明你的猜想17（2022上江苏南通八年级统考期末）如图，中，于D，平分分别与交于点E，F（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长18（2022上安徽马鞍山八年级校考期中）如图，在中，是高，且（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若是的角平分线，相交于点F试说明：19（2019上江西南昌八年级校联考期中）如图，
6、为等边三角形内一点，分别连接，以为边作等边三角形，连接（1）求证：；（2）求的度数20（2023上辽宁沈阳八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，中，于点于点与交于点，连接（1）请写出线段与之间的数量关系，并给出证明；（2）若，则的周长为_（3）若点为平面内一点，且在直线的上方，当为等腰直角三角形时，连接，请直接写线段的长21（2023上山东潍坊八年级统考期中）中，点在射线上（不与，重合），连接，过点作，垂足为（1）如图1，点在线段上，若恰好平分，探究、之间的数量关系，并说明理由（2）如图2，点在线段上，点是直线上的一点，且平分，探究、之问的数量关系，并说明理由（3）若点在线段的延长线上，点是
7、直线上的一点，且平分，请在图3中画出图形，判断（2）中的结论是否仍然成立？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出正确的结论三、 填空题22（2022下八年级单元测试）若，之间满足的等量关系是，则边长为，的三角形是 23（2023上江西赣州八年级校联考期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，则 24（2023下湖北襄阳八年级统考期末）学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50元/，绿化这块空地需要 元25（2023上广东梅州九年级校考阶段练习）已知：如图，在方格图中 26（2022上湖北武汉八年级校考期末）如图，为
8、测量一斜坡的坡角的大小，将一块等腰直角三角板的斜边置于斜坡上，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点C处，量得，则坡角 27（2023下云南文山七年级统考期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度28（2023上河南南阳八年级统考期中）如图，中，线段，点、分别在线段和与垂直的射线上移动，当 时，和全等29（2020八年级单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 .30（2023上江苏淮安八年级统考期中）如图，在的网格中， 31（2020下山东济宁八年级统考期末）如图，已知C=90，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则ABD= 32（20
9、23上江苏南通九年级校考期末）如图，在等腰梯形中，直角三角板含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为 33（2023上山东日照八年级校考阶段练习）在等腰中，是的中点，于，交于则 34（2023上四川成都八年级树德中学校考期中）如图，在长方形中，点E是的中点，将沿翻折得到，交于点H，延长相交于点，若，则 35（2023上江苏常州八年级校考阶段练习）如图，在和中，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接四边形的面积为12，则的长是 36（2023上湖北武汉八年级校联考阶段练习）如图，中，为的中点，且，与的交于点，则 参考答案：1D【分析】根据勾股定理的逆定理
10、进行计算，逐一判断即可解答解：A、，不能组成直角三角形，故A不符合题意；B、，不能组成直角三角形，故B不符合题意；C、，不能组成直角三角形，故C不符合题意；D、，能组成直角三角形，故D符合题意；故选：D【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键2C【分析】根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得结论，从而作出判断解：根据题意可得：，和都是直角三角形，在和中，为的平分线，故选：C【点拨】本题考查角平分线的判定和全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法3B【分析】根据证明即可得解解：选项B满足题意；由作图知，斜边，故选：B【点拨
11、】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件4C【分析】如图，根据直角三角形的性质可得，根据邻补角即可得到，根据同位角相等，两直线平行，即可判断解：如图，当时，有，此时，即，当时，故选：C【点拨】本题考查了平行线的判定和直角三角形的性质，熟练运用平行线的判定方法是解题的关键5C【分析】如解析图所示，中，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案解：如图所示，在中，被测物体表面的倾斜角为，故选C【点拨】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，正确理解题意是解题的关键6B【分析】本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，
12、解题的关键是由判断出的取值范围，得到为直角设，则，根据题意求得，根据，结合等腰三角形等角对等边及三角形外角的性质易知，推出，求出x的值，即可得出结果解：解析：设，则平分，结合等腰三角形等角对等边及三角形外角的性质易知即，为直角三角形，即，解得，故选：B7A【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加解：，.，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意；.，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；.，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；.，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；故选：【点拨】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握
13、，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键8D【分析】本题考查了直角三角形的性质、分别根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理可以判断出结果，熟练运用三角形的性质是解题的关键解：A、设，则，是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；B、，是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；C、设，则，即，解得，则，是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；D、，即，此时不能确定或是否为，不确定是直角三角形，该选项符合题意；故选：D9B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角熟练掌握了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角是解题的关键证明，则，可判断的正误；等边对等角，可得，则，
14、进而可判断的正误；题干条件无法判断，进而可判断的正误解：由题意知，正确 ，故符合要求；，正确，故符合要求；由题意无法判断，错误，故不符合要求；故选：B10B【分析】如下图所示，根据三角形角平分线定义，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，得出，然后再根据三角形的外角性质得出解：如图所示，的平分线交外角的平分线于点C，；故选：B【点拨】此题考查了三角形的角平分线的定义、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形两锐角互余与三角形外角的性质是解此题的关键11D【分析】连接，由，设， ，证明，得到为的角平分线，再根据，得到，根据三线合一及勾股定理求出，再根据，得到方程求解即可解：
15、连接，如图，由，设， ，即，为的角平分线，又，为的中线，、三点共线，在中，故选：D【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键12A【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，可得，即可得答案解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图：由作图可知：是等腰直角三角形，取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，的最小值是故选：A【点拨】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助
16、线，把的最小值转化为求的最小值13B【分析】可过C作于E，因为，则可得，可过C作于E，依据题意可得，进而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得解：如图，可过C作于E，可过C作于E，且，且，且，故选：B【点拨】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质进行解题是关键14C【分析】根据ABC是等边三角形，得出ABC=60，根据BQCBPA，得出CBQ=ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，BPA=BQC，求出PBQ=60，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据BPQ是等边三角形，PCQ是直角三角形即可判断D；求出APC=150-QPC
17、，和PC2QC，可得QPC30，即可判断C解：ABC是等边三角形，ABC=60，BQCBPA，CBQ=ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，BPA=BQC，PBQ=PBC+CBQ=PBC+ABP=ABC=60，所以A正确，不符合题意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，PQ2+QC2=PC2，PQC=90，所以B正确，不符合题意；PB=QB=4，PBQ=60，BPQ是等边三角形，BPQ=60，APB=BQC=BQP+PQC=60+90=150，所以D正确，不符合题意；APC=360-150-60-QPC=150-QPC，PC=5，QC=PA=3,PC2QC，
18、PQC=90，QPC30，APC120所以C不正确，符合题意故选：C【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识15A【分析】根据ABC是等边三角形，得出ABC=60，根据BQCBPA，得出CBQ=ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，BPA=BQC，求出PBQ=60，即可判断；根据勾股定理的逆定理即可判断得出；根据BPQ是等边三角形，PCQ是直角三角形即可判断；求出APC=150-QPC，和PC2QC，可得QPC30，即可判断解：ABC是等边三角形，ABC=60，BQCBPA，CBQ=ABP，PB=QB=4，PA=
19、QC=3，BPA=BQC，PBQ=PBC+CBQ=PBC+ABP=ABC=60，BPQ是等边三角形，所以正确；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，PQ2+QC2=PC2，PQC=90，PCQ是直角三角形，所以正确；BPQ是等边三角形，PQB=BPQ=60，APB=BQC=BQP+PQC=60+90=150，所以正确；APC=360-150-60-QPC=150-QPC，PQC=90，PC2QC，QPC30，APC120所以错误所以正确的有故选：A【点拨】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识16，证明见
20、详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和先由，得，结合，则证明，故，结合三角形内角和以及对顶角相等，即可作答解：，即故17（1）见分析；（2）4【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键（1）由可得，根据平分得，根据，得，即可得是等边三角形；（2）可得，则，由（1）知是等边三角形，得，由此可得的长解：（1）证明：，平分，是等边三角形；（2）解：，由（1）知是等边三角形，18（1）是直角三角形，理由见分析；（2）见分析【分析】（1）根据在中，是高得到，再利用等角的余角相等得到即可解答；（2
21、）根据角平分线的定义得到，再利用等角的余角相等即可解答（1）解：是直角三角形理由如下：在中，是高，即，是直角三角形（2）证明：是的角平分线，是高，由（1）知，【点拨】本题考查了等角的余角相等，角平分线的定义，对顶角相等，直角三角形的判定，掌握等角的余角相等是解题的关键19（1）见分析；（2）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理（1）利用可证得，从而证得；（2）根据（1）的结论结合勾股定理的逆定理可证得为直角三角形，从而可求得答案解：（1）证明：、都是等边三角形，在和中，；（2）解：是等边三角形，而，为直角三角形，且，20（1），证明见分析；（2）；（3
22、）5或或【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论；（2）根据得到，根据勾股定理求出，即可进求出的周长；（3）分点为直角顶点、点为直角顶点、当为直角顶点三种情况分类讨论，画出图形，添加辅助线，由等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理可得出答案（1）解：证明：，在和中，即，；（2）解：，在中，的周长为故答案为：；（3）解：的长为5或或如图1，当点为直角顶点，过点作于点，；如图2，当点为直角顶点，过点作于点，同理可得，；如图2，当为直角顶点，过点作的垂线，过点作的垂线，垂足分别为，同理可得出，综上所述，的长为5或或【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判
23、定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，第（3）步要注意分类讨论21（1），理由见分析；（2），理由见分析；（3），理由见分析【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质等知识；（1）延长，交于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（2）延长，交于点，由（1）可知，由全等三角形的性质得出结论（3）同（1）可知，得出，则可得出结论正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键（1）解：（1）理由：延长，交于点，平分，又，；（2），理由：延长，交于点，由（1）可知，；（3）
24、如图，理由：同（1）可知，22直角三角形【分析】根据勾股定理逆定理判断即可解：因为，所以边长为6，8，10的三角形是直角三角形故答案为：直角三角形【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键23【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，则解：，故答案为：243000【分析】根据勾股定理的逆定理得出这块空地是直角边为和的直角三角形，求出这块空地的面积，然后再计算需要的费用即可解：，这块空地是直角边为和的直角三角形，这块空地的面积为，绿化这块空地需要的费用为元，故答案为：3000【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长
25、a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形25/45度【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可解：连接，是等腰直角三角形，故答案为：【点拨】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是得出是等腰直角三角形26/30度【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，延长交地面于E，由余角的性质可得答案解：是等腰直角三角形，为斜边，延长交地面于E，则与地面垂直，地面，故答案为：【点拨】此题考查的是等腰直角三角形，正确作出辅助线是解决此题的关键27/15度【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可解：设较小的锐角是x度，则另一角是度则，解得：故答案为：【点拨】本题主要考查了
26、直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握直角三角形的两锐角互余是解答本题的关键28或【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形全等的判定方法可知，分两种情况：当运动到时，当运动到与重合时，分别进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键解：，根据三角形全等的判定方法可知，当运动到时，此时，当运动到与重合时，此时，综上所述，或时，和全等，故答案为：或29或【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值.解：设点B的横坐标为t，根据题意得，即.所以3-t=12或3-t=-12t=-9或t=15.故答案为或.【点拨】本题考查了两点间的距离公
27、式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB3045【分析】连接，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据平行线的性质得出，根据即可求出结果解：连接，如图所示：，为等腰直角三角形，故答案为：45【点拨】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明为等腰直角三角形3190/90度【分析】由C=90可知为直角三角形，通过勾股定理求得BD；再通过计算得，证明为直角三角形，从而得到答案解：C=90为直角三角形BC=3，CD=4 AB=12，AD=13 为直角三角形， 故答案为：90【点拨】本题考查了三角形勾股定理
28、和勾股定理的逆定理，求解的关键是熟练掌握三角形勾股定理和勾股定理的逆定理的性质32或或2【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识分三种情况讨论：当时，过点D作于点G，根据等腰梯形的性质，易证四边形是矩形，进而证明，得到，的长，由勾股定理求得，然后证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长；当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而得到，再利用，即可求出得长；当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而利用勾股定理，得出的长，再利用三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，得
29、到，最后由勾股定理即可求出的长解：如图1，当时，过点D作于点G，等腰梯形中，四边形是矩形，在和中，在中，是等腰直角三角形，在中，；如图2，当时，等腰梯形中，；如图3，当时，等腰梯形中，在中，是等腰直角三角形，在中，；综上所述，CF的长为或或2故答案为：或或233【分析】如图，过点作，交的延长线于点，证明，由，推出，推出，即可得出答案解：如图，过点作，交的延长线于点，在等腰中，在和中，是的中点，在和中，即故答案为：【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角
30、形解决问题34【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接，根据点是的中点得，根据四边形是长方形得，根据将沿翻折得到得，利用证明，得，设，则，在中，根据勾股定理得，进行计算即可得解：如图所示，连接，点是的中点，四边形是长方形，将沿翻折得到，在和中，设，则，在中，根据勾股定理得，解得，故答案为：353【分析】过点作于，证，得，再证，同理，得6，进而得到的长解：过点作于，如图所示：在和中，又，在和中，同理：，解得：；故答案为：3【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等36【分析】证明，可得，证明，可得，即可求解解：如图，过点作于，在和中，为的中点，在和中，故答案为：【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，中点的定义证明三角形全等是解题的关键
