1、 学科网（北京）股份有限公司数学试题 第 1 页（共 4 页）江苏省四校联合 2024 届高三新题型适应性考试 数 学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的 A 12倍 B2
2、2倍 C 14倍 D24倍 2已知a，b是两个不共线的单位向量，向量(,)cab=+R，则“0 且0”是“()0cab+”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知等差数列na的前n 项和为nS，41S=，84S=，则17181920aaaa+=A7 B8 C9 D10 4设i 为虚数单位，若复数1i1 ia+为纯虚数，则a=A 1 B1 C0 D2 5甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩
3、排名为 A第一名 B第二名 C第三名 D第四名 6已知 P 为抛物线24xy=上一点，过 P 作圆22(3)1xy+=的两条切线，切点分别为 A，B，则cosAPB的最小值为 A 12 B 23 C 34 D 78 学科网（北京）股份有限公司数学试题 第 2 页（共 4 页）7若全集为U，定义集合 A 与 B 的运算：|ABx xABxAB=且，则()ABB=A A B B CUAB DUBA 8设14a=，112ln(sincos)88b=+，55ln44c=，则 Aabc Bacb Ccba Dbac，则 A3588CC=B3377AC4!=C11C(1)Cmmnnmn=D11AAAmmm
4、nnnm+=10设函数2()2sin3sin|1f xxx=+，则 A()f x 是偶函数 B()f x 在(,0)4上单调递增 C()f x 的最小值为18 D()f x 在,上有4 个零点 11已知圆 M：22(1)16xy+=，点 A 是 M 所在平面内一定点，点 P 是 M 上的动点，若线段 PA 的中垂线交直线 PM 于点Q，则Q 的轨迹可能为 A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12有一组从小到大排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_ 13围棋起源于中国，至今已有4000 多年的历
5、史在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算假设大 小为n 的眼有na 口气，大小为1n+的眼有1na+口气，则na 与1na+满足的关系是 11a=，22a=，*11(2,)nnanann+=N 则na 的通项公式为_ 14若 A，B，C，D 四点均在同一球面上，23BAC=，BCD是边长为2 的等边三角形，则ABC面积的最大值为_，四面体 ABCD 体积取最大值时，球的表面积为_ 学科网（北京）股份有限公司数学试题 第 3 页（共 4 页）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
6、5（13 分）在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PCPD，二面角 ACDP为直二面角（1）证明：PBPD；（2）若 PCPD=，求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值 16（15 分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：每次祈愿获取五星角色的概率00.006p=；若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立设 X 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数（1）求 X 的概率分布；（2）求 X 的数学期望 参考数据：900.
7、9940.582 17（15 分）已知函数()elogexaf xax=，其中1a （1）若ea=，证明 ()0f x ；（2）讨论()f x 的极值点的个数 学科网（北京）股份有限公司数学试题 第 4 页（共 4 页）18（17 分）已知等轴双曲线C 的顶点分别为椭圆：22162xy+=的焦点1F，2F （1）求C 的方程；（2）若Q 为C 上异于顶点的任意一点，直线1QF，2QF 与椭圆 的交点分别为 P，R 与 M，N，求|4|PRMN+的最小值 19（17 分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用设 A，B，C，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称 AC BDBC
8、AD（分式中各项均为有向线段长度，例如 ABBA=）为 A，B，C，D 四点的交比，记为(,;,)A B C D （1）证明：11(,;,)(,;,)D B C AB A C D=；（2）若 1l，2l，3l，4l 为平面上过定点 P 且互异的四条直线，1L，2L 为不过点 P 且互异的两条直线，1L 与 1l，2l，3l，4l 的交点分别为1A，1B，1C，1D，2L 与 1l，2l，3l，4l 的交点分别为2A，2B，2C，2D，证明：11112222(,;,)(,;,)A B C DA B C D=；（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若 EFG与 E F G 的对应边不平行，对应顶
9、点的连线交于同一点，则 EFG与 E F G 对应边的交点在一条直线上 学科网（北京）股份有限公司数学参考答案 第 1 页（共 4 页）江苏省四校联合 2024 届新题型适应性考试 数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D 2A 3C 4B 5B 6C 7A 8D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9AD 10ABC 11ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共
10、 15 分。127.5 13 236 221 1nnnnan+=，1433；203 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15解：（1）在四棱锥 PABCD中，因为二面角 ACDP为直二面角，所以平面 PCD 平面ABCD，因为底面 ABCD 为正方形，所以 BCDC，而 BC 平面 ABCD，DC=平面 PCD 平面 ABCD，所以 BC 平面 PCD，而 PD 平面 PCD，所以 BCPD，又因为 PCPD，BC，PC 平面 PBC，BCPCC=，所以 PD 平面 PBC，又因为 PB 平面 PBC，所以PBPD；（2）分别取CD，AB 中点为
11、O，E，连接OP，OE，因为 PCPD=，所以OPDC，又因为平面 PCD 平面 ABCD，DC=平面 PCD 平面 ABCD，OP 平面 PCD，所以OP 平面 ABCD，以O 为坐标原点，OD，OE，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,0)O，(1,0,0)C，(1,2,0)B，(0,0,1)P，(0,2,0)E，(1,2,0)A，(1,2,1)AP=，(2,0,0)AB=，(1,0,1)PC=，设(,)nx y z=是平面 PAB 的一个法向量，则00n APn AB=，即2020 xyzx+=，不妨取1y=，2z=，则(0,1,2)n
12、=是平面 PAB 的一个法向量 设直线 PC 与平面 PAB 的夹角为，则|10sin|cos,|5|n PCn PCn PC=所以直线 PC 与平面 PAB 所成的角的正弦值为 105 学科网（北京）股份有限公司数学参考答案 第 2 页（共 4 页）16解：（1）将每次祈愿获取五星角色的概率记为0p，X 的所有可能取值为1，2，3，90 从而0(1)P Xp=，00(2)(1)P Xpp=，200(3)(1)P Xpp=，8800(89)(1)P Xpp=，890(90)(1)P Xp=所以 X 的概率分布为 100*890(1),189(),(1),90kppkP Xkkpk=N （2）X
13、 的数学期望()1(1)2(2)3(3)90(90)E XP XP XP XP X=+=+=+=28900000012(1)3(1)90(1)pppppp=+，239000000000(1)()1(1)2(1)3(1)90(1)p E Xppppppp=+，288898900000000000()(1)(1)(1)90(1)89(1)p E Xpppppppppp=+90090(1)p，8990288890000000090(1)90(1)()1(1)(1)(1)89(1)ppE Xpppppp=+8928889000000090(1)1(1)(1)(1)1(1)89(1)ppppppp=+9
14、0288890000001(1)1(1)(1)(1)(1)pppppp=+=，因为00.006p=，所以 9090001(1)1 0.9941 0.582()69.670.0060.006pE Xp=17解：（1）当ea=时，()eelnexf xx=，e()exfxx=，(1)0f=，(1)0f=，当1x 时，()0fx 时，()0fx，()f x 单调递增，从而 ()(1)0f xf=；（2）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+，2elnelnln)ln(xxfxxaaaaxaxa=，设 2()lnexg xxaa=，1a ，显然函数()g x 在(0,)+上单调递增，()g x
15、 与()fx同号，当ea 时，e(0)0g=，所以函数()g x 在(0,1)内有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+上有且仅有一个极值点；当ea=时，由第（1）问知，函数()f x 在(0,)+上有且仅有一个极值点；当1ea，21ln2()el1nagaa=，因为2ln21ln1lnlnln1aaaaa=，所以21lneaa，2)1(0lnga，又2(1)lne0gaa=，所以函数()g x 在2l1(,n1)a 内有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+上有且仅有一个极值点；综上所述，函数()f x 在(0,)+上有且仅有一个极值点 学科网（北京）股份有限公司数学参考答案 第 3
16、 页（共 4 页）18解：（1）椭圆 的2224cab=，故1(2,0)F，2(2,0)F，设等轴双曲线C 的方程为22xyd=，将2F 带入求得4d=，故等轴双曲线C 的方程为224xy=；（2）设直线1QF 的方程为2xmy=，直线2QF 的方程为2xny=+，点 P，R，M，N 的 坐标分别为11(,)x y，22(,)xy，33(,)xy，44(,)xy，联立直线1QF 与椭圆：22236xmyxy=+=，得 22(3)420mymy+=，12243myym+=+，12223y ym=+，从而221212|()()PRxxyy=+2222212122224211()41()4()2 6
17、333mmmyyy ymmmm+=+=+=+，联立直线2QF 与 椭圆：22236xnyxy=+=，得22(3)420nyny+=，34243nyyn+=+，34223y yn=+，从而 222222343434342242|()()1()41()4()33nMNxxyynyyy ynnn=+=+=+2212 63nn+=+，联立直线1QF 与2QF：22xmyxny=+，得224(,)mnQmnmn+，又Q 在双曲线C 上，带入得22224()()4mnmnmn+=，化简得1nm=从而 222211|4|2 6()33mnPRMNmn+=+22422242221014472013732 6(
18、)2 62 6()9768104331310333()95525()5mmmmmmmmmm+=+=+1079 632 6()327681042 3 255=+，当且仅当2297683()9525()5mm=，即5m=时取等，故|4|PRMN+的最小值为 9 62 学科网（北京）股份有限公司数学参考答案 第 4 页（共 4 页）19解：（1）()1(,;,)1DC BABC ADDC BABCACCDCD ABD B C ABC DABC ADBC AD+=1(,;,)BC ACBC CDCD ABBC ACAC CDAC BDBC ADBC ADBC ADB A C D+=；（2）1 1111
19、 111111111111111(,;,)PA CPB DPB CPA DSSACB DA B C DB CA DSS=11111111111111111111111111sinsinsinsin2211sinsinsinsin22PA PCA PCPB PDB PDA PCB PDB PCA PDPB PCB PCPA PDA PD=2222222222222222222222222222sinsin(,;,)sinsinPA CPB DPB CPA DSSA PCB PDA CB DA B C DB PCA PDSSB CA D=；第（2）问图 第（3）问图（3）设 EF 与 E F 交于
20、 X，FG 与 F G 交于Y，EG 与 E G 交于 Z，连接 XY，FF 与 XY交于 L，EE 与 XY 交于 M，GG 与 XY 交于 N，欲证 X，Y，Z 三点共线，只需证 Z 在直线 XY 上考虑线束 XP，XE，XM，XE，由第（2）问知(,;,)(,;,)P F L FP E M E=，再考虑线束 YP，YF，YL，YF，由第（2）问知(,;,)(,;,)P F L FP G N G=，从而得到(,;,)(,;,)P E M EP G N G=，于是由第（2）问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点 Z，从而 MN 过点 Z，故 Z 在直线 XY 上，X，Y，Z 三点共线
