1、学科网（北京）股份有限公司20232024 学年福州市高三年级第一次质量检测数学试题（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）第卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足 11 iz=，则在复平面内，z 对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合21Ax x=，则 AB=（）A（0，1）B()0,+C()1,+D(),+3已知点()0,2P x在抛物线 C：24yx=上，则 P 到 C 的准线的距离为（）A4 B3 C2 D1 4“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结
2、晶，其划分如图所示小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗他准备在春季的 6 个节气与夏季的 6 个节气中共选出 3 个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出 1 个，则小明选取节气的不同情况的种数是（）A90 B180 C270 D360 5一个正四棱台形油槽可以装煤油3190000cm，其上、下底面边长分别为 60cm 和 40cm，则该油槽的深度为（）A 75 cm4 B25cm C50cm D75cm 6一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红球，2 个黄球，每次从中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（）A 13
3、 B 12 C 23 D 34学科网（北京）股份有限公司7已知1ea=，ln2b=，5ln5c=，则（）Aabc Bbca Cacb Dcab 8若定义在R 上的函数()()sincos0f xxx=+的图象在区间0,上恰有 5 条对称轴，则 的取值范围为（）A 17 21,44 B 17 25,44 C 17 25,44 D 33 41,44二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，
4、81以下关于这组数据判断正确的有（）A极差为 13 B中位数为 82 C平均数为 79 D方差为 124 10已知圆 M：221xy+=，直线 l：()31yk x=+，则（）Al 恒过定点()3,1 B若 l 平分圆周 M，则33k=C当3k=时，l 与圆 M 相切 D当33k时，l 与圆 M 相交 11已知函数()332f xxax=+有两个极值点则（）A()f x 的图象关于点()0,2 对称 B()f x 的极值之和为-4 C a R，使得()f x 有三个零点 D当01a时，()()0f xfy+的左焦点为 F，两条渐近线分别为 1l，2l 点 A 在 1l 上，点 B在 2l 上，
5、且点 A 位于第一象限，原点 O 与 B 关于直线 AF 对称、若2AFb=，则 C 的离心率为_ 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分）已知等比数列 na的前 n 项和为nS，且12nnaS+=+（1）求 na的通项公式；（2）若221lognnba=，求数列 nb的前 n 项和nT 18（本小题满分 12 分）记ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知2b=，6B=（1）若2c=，求 a；（2）求ABC面积的最大值 19（本小题满分 12 分）国际上常采用身体质量指数（Body Mass Index
6、，缩写 BMI）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是()()22kgBMIm=体重 单位:身高单位:为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了 50 名男员工、30 名女员工的身高和体重数据计算得到他们的 BMI值，并根据“中国成人的 BMI 数值标准”简称“指标”整理得到如下结果：指标 人数 性别 偏瘦（BMI18.5）正常（18.5BMI24）偏胖（24BMI（1）当1ex=，1a=时，求切线方程；（2）证明：12eeaaxx 答案一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
7、要求的 1【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性【答案】A【解析】由 11 iz=得11 i1 i2z+=，应选 A 2【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性【答案】C【解析】11Axx=，故()1,AB=+，应选 C 3【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想
8、；考查直观想象、逻辑推理、学科网（北京）股份有限公司数学运算等核心素养，体现基础性【答案】C【解析】抛物线24yx=的准线为1x=，由 PC得01x=，故 P 到准线的距离为 2，应选 C 4【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性【答案】B【解析】根据题意可知，小明可以选取 1 春 2 夏或 2 春 1 夏其中 1 春 2 夏的不同情况有：1266CC90=种；2 春 1 夏的不同情况有：2166CC90=种，所以小明选取节气的不同情况有：9090180+=种应选B 5【
9、考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性【答案】D【解析】设正四棱台的高，即深度为 cmh，依题意，得()22190000604060 403h=+，解得75h=，应选 D 6【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性【答案】C【解析】解法一：记第 i 次摸到红球为事件iA
10、，摸到黄球为事件()1,2iB i=，则()()()()()21211211211123232P BP A P B AP BP B B=+=+=，()()()12121221433P A BP A P B A=，故()()()1212223P A BP A BP B=应选 C 解法二：记第 i 次摸到红球为事件iA，摸到黄球为事件()1,2iB i=由抽签的公平性可知()22142P B=，又()122 214 33P A B=，所以()()()1212223P A BP A BP B=应选 C 7【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证
11、能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】A【解答】解法一：1ln eeea=，ln 2ln 4ln224b=，5ln5ln55c=，令()ln xf xx=，()21 ln xfxx=，当ex 时，()0fx，故()f x 在区间)e,+上单调递减，所以abc 学科网（北京）股份有限公司解法二：因为105101052232255=，所以5ln2ln5，即bc 在同一坐标系中作出函数()2xf x=，()2g xx=的图象，如图所示，由图可知，()()eefg，即e22e，所以e22e2e2e，即11e22e，所以 111ln 2ln e2e
12、e=，即ba（令()ln xf xx=，()21 ln xfxx=，当0ex，故()f x 在区间()0,e 上单调递增，所以1ln eln 2ln2ee2ab=）综上，abc应选 A 8【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性【答案】A【解析】由已知，()2 sin4f xx=+，令42xk+=+，k Z，得()414kx+=，k Z，依题意知，有 5 个整数 k 满足()4104k+，即0414k+，所以0,1,2,3,4k
13、=，则4 4 144 5 1+，故172144，应选 A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性【答案】AC 10【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；学科网（北京）股份有限公司考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性【答案】BC【
14、解析】依题意，l 恒过定点()3,1，选项 A 错误；若 l 平分圆周 M，则 l 经过圆 M 的圆心()0,0，代入直线方程得33k=，选项 B 正确；圆心()0,0O到 l 的距离2311kdk=+，当3k=时，1dr=，l 与圆 M 相切，选项 C 正确；若 l 与圆 M相交，则1d，即()22311kk+，即03k，故选项 D 错误 综上，应选 BC 11【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】ACD【解答】()f x 的图象可由奇函数()3
15、3g xxax=的图象向上平移 2 个单位长度得到，故()f x 的图象关于点()0,2 对称，选项 A 正确 设()f x 的极值点分别为()1212,x xxx，1xa=，2xa=，()f x 在区间(,a 上单调递增，在区间(),aa上单调递减，在区间),a+单调递增由图象可知，当()()120f xf x时，()f x 的图象与 x 轴有 3 个交点，即()f x 有 3 个零点，选项 C 正确当01a，此时()f x 只有一个零点，选项 D 正确 综上，应选 ACD 12【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运
16、算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】BCD【解答】如图，设球 O 与下底面相切于点1O，则1OO 平面 ABCD，连接1O A，则1OAO为直线 OA 与平面 ABCD 所成的角因为球 O 与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径112ROOO A=，所以428S=表，四棱柱的侧面积为()2 42 216 2=，故选项 A 错误，C 正确 学科网（北京）股份有限公司依题意，1BB，BP 均为球 O 的切线，1BD 经过球心 O，所以111B BDPBD=，又1112 2B DBB=，所以11145PBDB BD=，选项 B 正确 对于选项
17、 D，棱1AA 的中点 F，即球 O 与棱1AA 的切点应为交线上的点，故交线应为过 F 的圆截面圆的圆心即为矩形11ABB A 的中心 E，在RtOEF中，2OFR=，112OEBC=，所以截面圆半径2 11rEF=，周长为2，该选项正确 综上，应选 BCD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性【答案】5【解析】由ab得()()12 20+=，解得5=14【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变
18、换等基础知识；考查推理论证能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性【答案】24【解析】依题意，得8=，所以112sincossin 2sin2244=15【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性【答案】x（答案不唯一，()0kx k，所以CB，所以566C，所以CB，所以566C，所以4C=或34C=，学科网（北京）股份有限公司当4C=时，()76412ABC=+=+=，根据正弦定理，得 sinsinabAB=，所以72 sinsin122 2 sin2 2 sinc
19、oscossinsin343434sin 6bAaB=+=+；2 2 sincoscossin313434=+=+；当34C=时，()36412ABC=+=+=，根据正弦定理，得 sinsinabAB=，所以2 sinsin122 2 sin2 2 sincoscossinsin343434sin 6bAaB=2 2 sincoscossin313434=；综上，31a=（2）根据正弦定理，得22 2sinsinsinsin 6acbACB=，所以2 2 sinaA=，2 2 sincC=，即()25132 2sinsin8sinsin8sincossin622aCACAAAAA=+21 co
20、s22sin 24 3sin2sin 24 32sin 22 3 cos22 32AAAAAA=+=+134sin 2cos22 34sin 22 3223AAA+=+=，因为506A，所以42333A，得11eax+构造函数()()lng xxxxa=，所以()lngxax=，所以当0eax，()g x 单调递增；当eax 时，()0gx，则()()()121212eeee2eaaaaaxxxxxx=+，所以()12111ee2ln2eaaaxxxxxa=构造函数()()()12ln2eeeaaaxxxxax+=，学科网（北京）股份有限公司故()x在区间()1e,eaa+上单调递增，所以()()e0ax=，所以()1112ln2e0axxxa，即 所以12ee0aaxx，即12eeaaxx 综上，不等式成立12eeaaxx成立（当且仅当1eax=时取等号）
