1、专题12.38 全等三角形全章复习与巩固（知识讲解）【知识点一】全等三角形的性质(1)：全等三角形的对应边、对应角相等(2)：全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等(3)：全等三角形的周长等、面积等【知识点二】三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS. 【知识点三】全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的
2、三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：直接连接法：如图，连接公共边，构造全等.倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图，由可得，则.在中，即.截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图、. 图 图 图 图【典型例题】类型一、全等三角形的性质1如图，将三角形ABC沿射线BC平移后能与三角形DEF重合（点B、C分别与点E、F对应），如果BF的长为12，点E在边BC上，且2EC4，求边BC长的取值范围【答案】【分析】根据平移得到两个三角形全等，再分别求出当EC2或EC4时BC的值即可得出结论解：将ABC沿射线BC平移
3、后与DEF重合，BCEF，BECF，当EC2时，BECF（122）5，BC5+27，当EC4时，BECF（124）4，BC4+48，7BC8【点拨】本题考查平移变换，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题举一反三：【变式1】如图所示，D，A，E在同一条直线上，BDDE于D，CEDE于E，且ABDCAE，AD2cm，BD4cm，求(1)D E的长； (2) BAC的度数【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到D90，求得DBA+BAD90，根据全等三角形的性质得到DBACAE等量代换即可得到结论(1)解：ABD
4、CAE，AD2cm，BD4cm，AEBD4cm，DEAD+AE6cm(2)BDDE，D90，DBA+BAD90，ABDCAE，DBACAEBAD+CAE90，BAC90【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键【变式2】如图，D、A、E三点在同一条直线上，BDDE于点D，CEDE于点E，且ABDCAE，AC=4(1) 求BAC的度数； (2) 求ABC的面积【答案】(1)90(2)8【分析】(1)根据垂直的定义得到D=90，求得DBA+BAD=90，根据全等三角形的性质得到DBA=CAE，等量代换即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得AC=AB
5、=4，再根据三角形的面积求出答案(1)解：BDDE，D=90，DBA+BAD=90，ABDCAE，DBA=CAEBAD+CAE=90，BAC=90；(2)解：ABDCAE，AC=AB=4，又BAC=90ABC是直角三角形，ABC的面积=442=8【点拨】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得ABC是直角三角形是解决本题的关键类型二、全等三角形的判定2如图，已知，且，三点共线，求证：【分析】根据判定，由全等的性质得到对应角相等，然后通过外角的性质即可得到结论证明：，在和中，【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键举
6、一反三：【变式1】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取点M、N，使得OMON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线(1)求证：OC平分AOB；(2)已知AMC40，MCN30，求AOB的度数；【答案】(1)见分析(2)50【分析】（1）由“SSS”可证OMCONC，可得MOC=NOC，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得MCO=NCO=15，由外角的性质可求解(1)解：在OMC和ONC中，OMCONC（SSS），MOC=NOC，OC平分AOB；(2)解：OMCONC，MCN=30，MC
7、O=NCO=15，AMC=MCO+MOC=40，MOC=AMC-MCO=25，AOB=2MOC=50【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键【变式2】如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，(1) 若，求四边形AECF的面积；(2) 猜想DAB，ECF，DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想【答案】(1)48(2)DABECF2DFC，证明见分析【分析】（1）连接AC，证明ACE ACF，则SACESACF，根据三角形面积公式求得SACF与SACE，根据S四边形AECFSACFSACE求解即可；（2）由A
8、CE ACF可得FCAECA，FACEAC，AFCAEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得DFCBECFCAFACECAEACDABECF可得DABECF2DFC(1)解：连接AC，如图，在ACE 和ACF中ACE ACF（SSS）SACESACF，FACEACCBAB，CDAD，CDCB6SACFSACEAECB8624S四边形AECFSACFSACE242448(2)DABECF2DFC 证明：ACE ACF，FCAECA，FACEAC，AFCAECDFC与AFC互补，BEC与AEC互补，DFCBECDFCFCAFAC，BECECAEAC，DFCBECFCAFACECAEACDABE
9、CFDABECF2DFC【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键3如图，四边形ABCD中，BCCD2AB，ABCD，B90，E是BC的中点，AC与DE相交于点F(1) 求证：ABCECD；(2) 判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由【答案】(1)见分析(2)ACDE，见分析【分析】（1）由E是BC的中点，BC2AB可证明ABEC，由平行线的性质得出BECD180，得出ECD90B，最后由SAS证明ABCECD即可；（2）由全等三角形的性质得出，CEDCAB，再由CABACB90推导CEDACB90，进而得出EFC90，即可得出结论
10、(1)证明：E是BC的中点，BC2EC，BC2AB，ABEC，BECD180，B90，BECD90，在ABC和ECD中，ABCECD（SAS）；(2)ACDE理由如下：ABCECD（SAS），CEDCAB，CABACB90，CEDACB90，EFC90，ACDE【点拨】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键举一反三：【变式1】如图，AE与BC交于点D，AD是ABC的中线，且(1) 求证：(2) 若ABD的面积为5，求ACE的面积【答案】(1)见分析(2)三角形ACE的面积为10【分析】（1）根据定理SAS证即可；（2）因为AD是A
11、BC的中线得，由得即可求解；(1)证明：AD是ABC的中线BD=CD又DE=AD，(2)AD是ABC的中线答：三角形ACE的面积为10【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键【变式2】如图，在ABC和BDE中，为锐角，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N(1) ABE与CBD全等吗？为什么？(2) AE与CD有何特殊的位置关系，并说明理由【答案】(1)全等，见分析(2)AE与CD互相垂直，见分析【分析】(1)利用“SAS”可判断ABECBD；(2)利用ABECBD得到BAE=BCD，再根据三角形内角和得到NMC=ABN=90，即可判
12、断AECD(1)解：ABE与CBD全等；理由如下：，即，在和CBD中， ；(2)解：AE与CD互相垂直；理由如下：，【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键4已知：如图1，BD平分，过点A作直线，延长CD交MN于点E(1) 当时，的度数为_(2) 如图2，当时，求的度数；(3) 设，用含x的代数式表示的度数【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意证明，进而可得，根据，即可求解继而可得，即可求得；（2）根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，进而根据即可求解（3）根据（1）（2）的方法分类讨论即可求解(1)解： BD平分， ，故答案
13、为：，(2)解：由（1）可知，(3)解：设，当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DFEG，交AC于点F(1) 求证：BECG；(2) 判断BECF与EF的大小关系，并证明你的结论【答案】(1)见分析(2)BE+CFEF，见分析【分析】（1）根据题中条件，证得BDECDG（ASA），可证得BECG；（2）先连接AG，再利用全等的性质可得DEDG，再根据DFGE，从而得出FGEF，依据
14、三角形两边之和大于第三边得出BE+CFEF，(1)解：D是BC的中点，BDCD，ABCG，BDCG，在BDE和CDG中，BDECDG，BDCD，DBEDCG，BDECDG（ASA），BECG；(2)BE+CFEF理由：如图，连接FG，BDECDG，DEDG，又FDEG，FD垂直平分EG，EFGF，又CFG中，CG+CFGF，BE+CFEF【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证BDECDG，得出BECG是解题的关键【变式2】在中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称为n倍角三角形，例如，在中，则称为6倍角三角形(1) 在
15、中，则为_倍角三角形；(2) 若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；(3) 如图，点E在DF上，BE交AD于点C，找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形（直接写出结果）【答案】(1)3(2)20或30(3)ABC和DEC，5倍角三角形【分析】（1）根据三角形的内角和求出C，再利用n倍角三角形的定义即可求解（2）设最小内角的度数为x，则最大内角为4x，分两种情况：一是当最小内角为等腰三角形的顶角时，二是当最小内角为等腰三角形的底角时，利用三角形内角和即可求解（3）利用ASA证明BAEDAF，得到AE=AF，求得EAF，进而得到ACB，即可得到ABC为5倍角三角形，同理可得
16、DEC为5倍角三角形(1)解：在中，C=180-A-B=180-30-60=90，为3倍角三角形，故答案为：3(2)设最小内角的度数为x，则最大内角为4x，当最小内角为等腰三角形的顶角时，则底角为4x，得：4x+4x+x=180，解得x=20，当最小内角为等腰三角形的底角时，则顶角为4x，得：4x+x+x=180，解得x=30，最小内角的度数为20或30(3)BAD=EAF，BAE=DAF，在BAE和DAF中，BAEDAF(ASA)，AE=AF，F=75，EAF=180-752=30，BAD=EAF=30，B=25，ACB=180-B-BAD=125，ABC为5倍角三角形，D=25，DCE=A
17、CB=125，CED=180-D-DCE=30，DEC为5倍角三角形，图中的n倍角三角形有ABC和DEC，它们都是5倍角三角形【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和，解题的关键是理解n倍角三角形的定义5如图，、相交于点O，(1)求证：；(2)若ABC=31，求的度数【答案】(1)见分析(2)28【分析】（1）利用斜边直角边定理证明两个三角形全等即可；（2）利用全等三角形的性质证明ABC=BAD=31，再求解 再利用角的和差关系可得答案(1)证明：D=C=90，ABC和BAD都是直角三角形，在RtABC和RtBAD中，RtABCRtBAD（HL）；(2)RtABCRtBAD，AB
18、C=BAD=31，C=90，BAC=59，CAO=CAB-BAD=28【点拨】本题考查的是利用斜边直角边定理证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握“斜边直角边定理”是解本题的关键举一反三：【变式1】如图，已知AD是ABC的边BC上的高，点E为AD上一点，且，(1) 证明(2) 若，求ABC的面积【答案】(1)证明过程见详解(2)24【分析】（1）延长BE交AC于F点，证明RtBDERtADC(HL)即可得证；（2）根据RtBDERtADC(HL)可得BD=AD，即有AD=AE+DE，BC=BD+DC，结合ADBC即可求解(1)延长BE交AC于F点，如图，根据题意有ADBC，BDE=ADC=90
19、，BE=AC，DE=DC，RtBDERtADC(HL)，BD=AD，DBE=DAC，C+DAC=ADC=90，DBE+C=90，BFC=90，BEAC；(2)RtBDERtADC(HL)，BD=AD，AE=4，CD=2，AD=AE+DE=AE+CD=4+2=6，BD=AD=6，BC=BD+CD=6+2=8，ABC的面积为：【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积、直角三角形中两锐角互余等知识，证得RtBDERtADC(HL)是解答本题的关键【变式2】如图，ABC中，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且(1) 求证：RtABERtCBF；(2) 若CAE30，BAC45，求ACF
20、的度数【答案】(1)见分析(2)60【分析】（1）由“HL”可证RtABERtCBF；（2）由题意先求得ACB的度数和BAE的度数，再由RtABERtCBF，即可求得BCF的度数，则由ACF=BCF+ACB即可求得答案(1)证明：ABC90，CBFABE90，在RtABE和RtCBF中， ，RtABERtCBF（HL）；(2)解：ABC90，BAC45，ACB45，又BAECABCAE453015，RtABERtCBF，BCFBAE15，ACFBCF+ACB45+1560【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件类型三、角平分线的性质6已
21、知：如图，在中，点F在CA的延长线上，点G在边AB上，延长FG交BC于点E，过点A作/交BC于点D求证：AD平分 【分析】根据平行线的性质可得CAD=F，BAD=AGF，根据已知及等量代换即可求解证明：ADEF，CAD=F，BAD=AGF，AGFF，CAD=BAD，AD平分BAC【点拨】本题考查了平行线的性质及角平分线的判定，熟练掌握平行线的性质及角平分线的判定是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BDCD，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，求证：ABAC【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明RtBDERtCDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结
22、论证明：AD是ABC的角平分线又DEAB于E，DFAC于FDE=DF，BED=CFD=90又BD=CDRtBEDRtCFD（HL）B=CAB=AC【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明【变式2】如图，在中，是的平分线，于，在上，且(1) 求证：；(2) 若，不用写过程直接给出的值【答案】(1)见分析 (2)1【分析】（1）根据，是的平分线，于，得到DE=DC，结合，证明CDFEDB即可（1）先证明CDAEDA，得到AE=AC=AF+CF=AF+BE，结合AB=AE+BE=AF+BE+BE，代入计算即可解：(1)，是的平分线，于，DE=DC，
23、CDFEDB，(2)，是的平分线，于，DE=DC，CDAEDA，AE=AC=AF+CF=AF+BE，AB=AE+BE=AF+BE+BE，8=6+BE+BE，解得BE=1，故CF=1【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键类型四、三角形的作图7尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知ABC，请根据“SAS”基本事实，求作DEF，使DEFABC【分析】作E=B，ED=BA，EF=BC即可解：DEF即为所求【点拨】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型举一反三：【变式1】尺规
24、作图已知：，和线段a，求作，使，要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母【分析】首先作射线进而截取AB=a，再分别以A，B为端点，作A=，B=2，两条射线交于点C，即可得到所求的ABC解：如图，ABC即为所求【点拨】本题考查了作图-复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键【变式2】已知：线段a，b和，求作：，使，【分析】先作射线CO，然后做出C=，再以C为圆心，分别以a、b的长为半径与C的两端交于B、A，连接AB即为所求解：如图所示，先作射线CO，以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧与的两点分别交于M、N，以的顶点到M的距离为半径，再以C为圆心以的顶点到M的距离为半径画弧与射线CO交于E
25、，再以E为圆心，以MN的长为半径画弧与圆C交于D，作射线CD，再以C为圆心，以a为半径画弧，与射线CD交于点B，以b为半径，以C为圆心，画弧与射线CO交于点A，连接AB，三角形ABC即为所求【点拨】本题主要考查了作三角形，解题的关键在于能够熟练掌握作三角形的方法类型五、全等三角形的应用8（1）如图1，已知中，90，直线经过点直线，直线，垂足分别为点求证：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有请写出三条线段的数量关系，并说明理由【答案】（1）证明见分析；（2），证明见分析【分析】（1）利用已知得出CAE=ABD，进而利用AAS得出则ABDCAE，即可得出DE=BD+CE
26、；（2）根据BDA=AEC=BAC，得出CAE=ABD，在ADB和CEA中，根据AAS证出ADBCEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；解：（1）DE=BD+CE理由如下：BD，CE，BDA=AEC=90又BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS）BD=AE，AD=CE，DE=AD+AE，DE=CE+BD；（2），理由如下：BDA=AEC=BAC，DBA+BAD=BAD+CAE，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，BD+CE=AE+AD=DE；【点拨
27、】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质举一反三：【变式1】如图，为中边上的中线（1）求证：；（2）若，求的取值范围【答案】（1），（2）【分析】（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得；（2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可解：（1）证明：如图延长至，使，连接，为中边上的中线，在和中：，（全等三角形的对应边相等），在中，由三角形的三边关系可得， 即；（2）解：，由（1）可得，【点
28、拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键【变式2】如图，在中，平分，点为延长线上一点，过点作交于点，连接(1) 若，求证：；(2) 若，求的度数【答案】(1)证明见分析 (2)117【分析】（1）由“AAS”可证ADCFDE，可得CDDF；（2）由三角形内角和定理可得AACB78，由角平分线定义和平行线的性质求得EFD78，E39，根据三角形内角和定理可求AFE的度数(1)证明：EFAC，AEFD，ACDE，在ADC和FDE中， ，ADCFDE（AAS），ADDF；(2)解：AACB，ABCECF24，AACB78，CD平分ACB，ACEBCE39，EFAC，AEFD78，ACDE39，ECF24，CFE180ECFE1802439117【点拨】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键
