1、专题11 三角形中正弦定理与余弦定理1.三角形的中线问题2.三角形中的角平分线问题3.三角形边的范围问题4.三角形中角的范围问题5.多个三角形的问题6.三角的实际应用7.三角形中的最值问题8.正余弦的混合及灵活应用9.三角形的判断问题二陷阱警示及演练1.三角形的中线问题（运用向量陷阱）例1在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且。（1）求A的值；（2）若B=30，BC边上的中线AM=，求ABC的面积。【答案】（1）；（2）【解析】（1）， 因为又（2） 【防陷阱措施】解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理
2、，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.练习1.在中， ， ， （）求；（）设的中点为，求中线的长【答案】(1) ;(2) .【解析】（）由知，且 所以 . 由正弦定理及题设得即 所以 （）因为,所以为锐角.所以.因为，所以 所以 在中， 为的中点，所以 由余弦定理及题设得 所以中线练习2 .中，内角的对边分别为,已知边，且.(1)若,求的面积；(2)记边的中点为，求的最大值，并说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】，故 ，由余弦定理可得.（2）由于边的中点为，故 ， ， 由余弦定理知， ，于是，而，
3、 的最大值为（当且仅当时取等号）.练习3. 已知函数（）求函数的单调递增区间及其对称中心；（）在中，角， ， 所对的边分别为， ， 且角满足.若， 边上的中线长为3，求的面积.【答案】（1）单调递增区间： ，对称中心（2）【解析】（1） 所以函数的单调递增区间： 令 ，则对称中心 2.三角形中的角平分线问题陷阱例2. 如图，在中， ， ， ， ， 是的三等分角平分线，分别交于点.（1）求角的大小；（2）求线段的长.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）因为，即，得，又，则，所以.【防陷阱措施】角平分线问题要注意几个方面：（1）利用对称性，（2）利用角平分线定理，（3）利用三角形的面积练习1.
4、在中， 是上的点， 平分， 是面积的2倍(1)求 ；(2)若 ，求和的长【答案】（1）；（2）， .【解析】（1）是面积的2倍由正弦定理可知： （2）由（1）知， ，是面积的2倍 设，由余弦定理得： ，解得.练习2. 已知的内角所对应的边分别为，且满足.（1）判断的形状；（2）若， ， 为角的平分线，求的面积.【答案】(1) 直角三角形;(2) 【解析】（I）由，得, ,. , 故为直角三角形. 练习3. 如图，在中， ，且， .（1）求的面积；（2）已知在线段上，且，求的值.【答案】（1）；（2）.（2）依题意, ， ，即，故3.三角形边的范围问题陷阱例3. 在中，内角的对边分别是，且.（1
5、）求角的大小；（2）点满足，且线段，求的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】（1），由正弦定理得，即，又， （2）在中由余弦定理知： ，即，当且仅当，即， 时取等号，所以的最大值为4故的范围是.【防陷阱措施】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.练习1.已知分别是的内角对的边， .（1）若， 的面积为，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）
6、；（2）.【解析】试题分析：（1）首先根据三角形面积公式， ，求解，再根据余弦定理,求；（2）根据正弦定理 ，用正弦表示表示 ，再根据三角函数恒等变形为，最后根据角的范围求解.试题解析：（1）， 的面积为， ，.由余弦定理得.练习2. 在中，内角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的范围【答案】(1) ;(2) 范围为.【解析】（1）由及正弦定理可得， 则有故，又， ；（2）由正弦定理， ，可得，=， ， ，即的范围为练习3. 在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求边长的取值范围.【答案】(1) ;(2) .（2）， ，由正弦定理，得， ，.练习4. 已知函数.
7、（）求函数的单调递增区间；（）在中，角的对边分别为，若为锐角且， ，求的取值范围.【答案】(1) ,单调增区间（2）（2）， 所以 解得，又，在中， ，等边三角形时等号成立，所以，又因为是三角形所以，所以。4.三角形中角的范围问题陷阱例4.已知分别是内角的对边，且依次成等差数列.（）若,试判断的形状；（）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.【答案】()正三角形；() 【解析】（）由正弦定理及，得三内角成等差数列， ，由余弦定理，得，又为正三角形，（）由（）知， 中由题意，知，所求代数式的取值范围是【防陷阱措施】对于题目中所给的锐角三角形或者钝角三角形，要注意三个角的范围练习1. 在锐角中， .
8、（1）若的面积等于，求；（2）求的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)，由正弦定理得，得.由得，所以由解得.（2）由正弦定理得，.又， .因为为锐角三角形，.练习2. 在中， 分别是角的对边，且.（1）求的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2） （），由得出： ，所以，所以即的取值范围是练习3. 在中， ， ， 分别为内角， ， 的对边，且， ， 成等比数列（1）求角的取值范围；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】（1），所以当且仅当时， ，故练习4. 已知锐角的三个内角的对边分别为，且（1）求角；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；
9、（2）.【解析】（1）由余弦定理，可得，所以，所以，又，所以 （2）由正弦定理， ，所以 ， 因为是锐角三角形，所以得， 所以， ，即练习4. 已知分别是的内角对的边， .（1）若， 的面积为，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）， 的面积为， ，.由余弦定理得.5.多个三角形的问题例5. 如图，在边长为2的正三角形中， 为的中点， 分别在边上.（1）若，求的长；（2）若，问：当取何值时， 的面积最小？并求出面积的最小值【答案】（1）（2）时， 的面积的最小值为【解析】（1）在中， ，由余弦定理得， ，得，解得；（2）设，在中，由正弦定理，得，所以，同理，故，因为
10、，所以当时， 的最大值为1，此时的面积取到最小值即时， 的面积的最小值为【防陷阱措施】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.练习1.如图所示，ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC=.（1）.求cosABC的值；（2）.求BD的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）在ABC中利用
11、正弦定理可求sinC，利用大边对大角可得C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cosABC的值（2）由两角和差公式得到在ABC中， ， 在ABD中， 练习2.的内角的对边分别为，其中，且，延长线段到点，使得.（）求证： 是直角；（）求的值.【答案】(1)详见解析；（2）【解析】证明：（）设，在中，因为，所以，所以.在中， ，即，所以，所以，即，整理得，所以，即.6.三角的实际应用例6. 已知某渔船在渔港O的南偏东60方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了
12、在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20，测得渔政船C的俯角为63.43，且渔政船位于渔船的北偏东60方向上 （）计算渔政船C与渔港O的距离；（）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？（参考数据：sin68.200.93，tan68.202.50，shin63.430.90，tan63.432.00， 3.62， 3.61）【答案】（1）; （2）可在3小时内赶到出事地点【解析】试题分析：(1)由，结合正切的定义可求得得， 海里 再由余弦定理得 (2由) 可在3小时内赶到出事地点试题解析： (2) 可在3小时内赶到出事地
13、点【防陷阱措施】把实际问题转化为解三角形问题，并注意方向角和方位角练习1. 如图， 米，从点发出的光线经水平放置于处的平面镜（大小忽略不计）反射后过点，已知米， 米.（1）求光线的入射角（入射光线与法线的夹角）的大小；（2）求点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长.【答案】（1）（2）点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长分别为米、米【解析】试题分析：（1）先由余弦定理解出，再根据光的反射定律得，解得入射角（2）在中，可得，及，代入数值可得结果.试题解析：解：（）如图，由光的反射定律， ， 在中，根据余弦定理，得因为，所以， 即光线的入射角的大小为. （）据（），在中， ，所以（米），（米），
14、即点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长分别为米、米7.三角形中的最值问题（1）周长的最值例7在中，内角所对的边分别为，已知， .（1）当时，求的面积；（2）求周长的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）由得得，（2）由余弦定理及已知条件可得： .由得，故周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到.【防陷阱措施】解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理的应用，三角形的面积公式和三角形的周长等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理，合理应用是解答的关键练习1.在中，角的对边分别为，且.（1）若，求面积的最大值；（2）若，求的周长.【答
15、案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得，.，（当且仅当，即时取等号）.的最大值为.（2）， ，解得或（舍），的周长为.练习2. 在 中，角所对的边分别为，且.（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.【答案】（1）（2）【解析】(1) 成等差数列，且公差为，又，恒等变形得，解得或，又.（2）面积最值例8. 已知分别为角的对边，它的外接圆的半径为为常数），并且满足等式成立.（1）求；（2）求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，由正弦定理得， ， ，代入得，由余弦定理，（2）由（1）知， ，所以，当且仅当时， 【防陷阱措施】注意
16、几个问题：（1）面积公式的选取；（2）与均值不等式的联系，注意均值不等式求最值的条件。练习1. 已知中，角对边分别是， ，且的外接圆半径为.（1）求角的大小；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得.又，.又，.（2） .当，即时， .练习2. 在中， 分别是角的对边，且.（I）求的大小;（II）若为的中点，且，求面积最大值.【答案】（I）；（II）.试题解析：（I）由，得， ， ， 又 . （II）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得， 二式相加得，整理得 ， ， 所以的面积，当且仅当时“”成立.的面积的最大值为.练习3. 在中，角、的对边分别为、，且满足（1）求角
17、的大小；（2）若，求面积的最大值【答案】（1）（2） （2）取中点，则在中， （注：也可将两边平方）即 ，所以，当且仅当， 时取等号此时，其最大值为8.正余弦的混合及灵活应用例9. 的内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求.【答案】（1）（2）（2）由，得，即，又，得，所以，又.【防陷阱措施】解答时注意正弦定理、余弦定理的选取，一般有平方关系时使用余弦定理。练习1. 的内角的对边分别为，已知（1）求； （2）若，求的面积的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知及正弦定理可得，在中， ，从而，；（2）解法：由（1）知，（当且仅当时等号成立），；解法二：由正弦定理可知
18、，当，即时， 取最大值练习2. 的内角的对边分别为，且（1）证明： 成等比数列；（2）若角的平分线交于点，且，求【答案】（1）见解析；（2）.【解析】.解法一:（1）因为，所以 ，化简可得，由正弦定理得， ，故成等比数列.（2）由题意，得，又因为是角平分线，所以，即，化简得， ，即.由（1）知， ，解得，再由得， （为中边上的高），即，又因为，所以.【注】利用角平分线定理得到同样得分，在中由余弦定理可得， ，在中由余弦定理可得， ，即，求得.解法二：（1）同解法一.解法三：（1）同解法一.（2）同解法二， .在中由余弦定理可得， ，由于，从而可得，在中由余弦定理可得， ，求得，在中由正弦定理可
19、得， ，即.【注】若求得的值后，在中应用正弦定理求得的，请类比得分.解法四：（1）同解法一.（2）同解法一， .在中由余弦定理得， ，在中由余弦定理得， ，因为，所以有，故，整理得， ，即.9.三角形的判断问题例10. （1）在锐角中， ， ，求的值及的取值范围；（2）在中，已知，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形.【解析】（1）设，由正弦定理得，.由锐角得，又，故.（2）由题， ，由正弦定理得，为直角三角形.【防陷阱措施】有关三角形中的最值和取值范围问题，有时从边的角度借助基本不等式去求，有时边转角借助辅助角公式化为三角函数的最值和范围去求，但要根据题意求出角的范围，再求三角函数
20、值的范围，判断三角形形状问题，一般要借助正弦定理和余弦定理进行“边转角”，找出角的大小或关系，判断出三角形形状，或借助正弦定理和余弦定理进行“角转边”，找出边与边的关系，判断出三角形形状.练习1. 已知的外接圆半径，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. （I）求角B和边长b；（II）求面积的最大值及取得最大值时的a、c的值，并判断此时三角形的形状.【答案】（）3；（）等边三角形【解析】试题分析：（）运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到，根据三角函数的诱导公式可得，从而得出，可得，最后由正弦定理可得的长；（）由且，利用余弦定理算出，再根据基本不等式算出，利用三角形的面积公式算出，从而
21、得到当且仅当时， 有最大值，进而得到此时是等边三角形.试题解析：（） ，即 , 又, , ，即 又 4分由正弦定理有： ，于是 （）由余弦定理得, ，即，当且仅当时取“=” ，即求面积的最大值为 联立，解得 又 为等边三角形. 【规律总结】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式、判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 三
22、高考真题演练 1.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，则AB的取值范围是 . 【答案】（，）【考点定位】正余弦定理；数形结合思想【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，则 【答案】【解析】试题分析：因为，且为三角形内角，所以，又因为，所以.考点： 三角函数和差公式，正弦定理
23、.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到3【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，从而，所以，.【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）【名师点晴】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一
24、题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法4.【2015高考天津，理13】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .【答案】【解析】因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角的正弦值，再由三角形面积公式求出，解方程组求出的值，用余弦定理可求边有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的
25、能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.5【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】【解析】依题意，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，所以，所以m.【考点定位】三角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理.【名师点睛】本题是空间四面体问题，不能把四边形看成平面上的四边形. 6【2017课标1，理17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （1）求sinBsinC
26、;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，
27、再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.7.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求。【答案】(1)；(2)。【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出。试题解析：(1)由题设及， ，故。上式两边平方，整理得，解得(舍去)，。（2）由得，故。又，则。由余弦定理及得：所以b=2。【考点】 正弦定理；
28、余弦定理；三角形面积公式。【名师点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎。8.【2017课标3，理17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求ABD的面积.【答案】(1) ；(2) 【解析】解得： (舍去)， .(2)由题设可得 ，所以 .故ABD面积与ACD面积的比值为 .又ABC的面积为 ，所以ABD的
29、面积为 .【考点】 余弦定理解三角形；三角形的面积公式【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.9【2017北京，理15】在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面积.【答案】（）；（）.【解析】试题解析：解：（）在ABC中，因为，所以由正弦定理得.（）因为，所以.由余弦定理得，解得或（舍）.所以ABC的面积.【考点】1
30、.正余弦定理；2.三角形面积；3.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式10.【2017天津，理15】在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求和的值；（）求的值.【答案】 (1) .(2) 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理
31、求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值为，的值为.（）由（）及，得，所以，.故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.11.【2016年高考北京理数】（本小题13分）在ABC中，.（1）求 的大
32、小；（2）求 的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据余弦定理公式求出的值，进而根据的取值范围求的大小；考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想12.【2016高考新课标1卷】 （本小题满分为12分）的内角A,B,C的对边分别为a,b
33、,c,已知 （I）求C；（II）若的面积为,求的周长【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得,故；（II）根据及得再利用余弦定理得 再根据可得的周长为试题解析：（I）由已知及正弦定理得,即故可得,所以（II）由已知,又,所以由已知及余弦定理得,故,从而所以的周长为考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”13.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
34、已知 （）证明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.试题解析：由题意知，化简得，即.因为,所以.从而.由正弦定理得.考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本
35、运算求解能力及复杂式子的变形能力等.9. 14【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）在中，已知.（1）求的长；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）已知两边及夹角求第三边，应用余弦定理，可得的长，（2）利用（1）的结果，则由余弦定理先求出角C的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值.试题解析：（1）由余弦定理知，所以（2）由正弦定理知，所以因为，所以为锐角，则因此【考点定位】余弦定理，二倍角公式【名师点晴】如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
36、以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，本题解是唯一的，注意开方时舍去负根.15.【2016高考江苏卷】（本小题满分14分）在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值. 【答案】（1）(2) 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系求 再利用正弦定理求 (2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求，最后根据两角差余弦公式求，注意开方时正负取舍.试题解析：解（1）因为所以由正弦定理知，所以考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因
37、此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.16【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍()求；()若，求和的长 【答案】()；()【解析】()，因为，所以由正弦定理可得()因为，所以在和中，由余弦定理得，由()知，所以【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得
38、角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中和互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求17.【2015湖南理17】设的内角，的对边分别为，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为，再结合条件从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档
39、题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.18.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍() 求；()若，求和的长 【答案】()；()【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中和互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求
