1、主题2021新高考八省市联考及创新好题主题一情境创新之知识综合1.2021八省市新高考适应性考试平面向量与三角函数综合已知单位向量a,b满足ab=0,若向量c=7a+2b,则sin=()A.73B.23C.79D.292.2020福建漳平一中4月月考三角函数与数列综合已知数列an的通项公式是an=f(n6),其中f(x)=sin(x+)(0,|2),f(x)的部分图象如图1-1所示,Sn为数列an的前n项和,则S2 020的值为()A.-1B.-32C.1D.323.逻辑联结词与二项式、正态分布综合已知命题p:(x2-1x)n的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为495.
2、命题q:随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.7,则P(04x.当0,2时,不等式f(sin )+cos 20的解集为()A.(76,116)B.(43,53)C.(3,23)D.(6,56)6.函数与数列综合定义在0,+)上的函数f(x)满足:当0x0恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-3,0)(0,3)B.-3,0)(0,3C.(-,-3)(3,+)D.(-,-33,+)8.抛物线与平面向量综合已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,直线PF与抛物线C交于M,N两点,若PF=4MF,则|MN|=()A.32B.3C.92D.9图 1-29.立体几何与函数
3、综合如图1-2所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为3的正方形,侧棱AA1=t,P为矩形CDD1C1上及内部的动点,M为BC的中点,APD=CPM,三棱锥A1-PCD的体积的最大值记为V(t),则下列关于函数V(t)的结论正确的是()A.V(t)为奇函数B.V(t)在(0,+)上单调递增C.V(2)=3D.V(3)=33210.双曲线与解三角形综合已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点分别为A,B,M是E上一点,且ABM为等腰三角形,其外接圆的半径为3a,则双曲线E的离心率为()A.2B.2+1C.3D.3+111.解三角形与平面向量、基本不等
4、式综合已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a-b,sin C),n=(c-3b,sin A+sin B),m=n(0),则bc+124tan C的最小值为()A.32B.23C.233D.33212.2021八省市新高考适应性考试直线斜率与三角恒等变换综合若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为,.13.数列与双曲线综合已知一族双曲线En:x2-y2=n2019(nN*,n2 019),设直线x=2与En在第一象限内的交点为An,点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+
5、a2 019=.14.数学与化学综合溶液的酸碱度是通过pH来刻画的,已知某溶液的pH等于-lgH+,其中H+表示该溶液中氢离子的浓度,且该溶液中氢离子的浓度为10-6 mol/L,则该溶液的pH为()A.4B.5C.6D.715.2021长春市第一次质量监测数学与物理综合长江流域内某地南北两岸平行,如图1-3所示,已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,设v1和v2所成的角为(0),若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cos 等于()图 1-3A.-215B.-25C.-35D.-4516.数学与物理综合体育锻炼是
6、青少年学习生活中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于图1-4所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为3,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为()图 1-4(参考数据:重力加速度大小取g=10 m/s2,31.732)A.63 kgB.69 kgC.75 kgD.81 kg17.2020山东,4,5分数学与地理综合日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面
7、平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20B.40C.50D.90图 1-518.数学与体育综合台球运动已有五、六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图1-5,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tan 的值为()A.16B.12C.16或32D.3219.2020全国卷,12,5分理数学与通信技术综合0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2an满足ai0,1(i=1,2,),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=
8、1,2,)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2an,C(k)=1mi=1maiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010B.11011C.10001D.1100120.数学与化学综合稠环芳烃类化合物中有不少致癌物质,比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘,它可看作是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳烃类化合物,长期食用会致癌.下面是一组稠环芳烃的结构简式和分子式:名称萘蒽并四苯并n苯结构简式
9、分子式C10H8C14H10C18H12由此推断并十苯的分子式为.答 案主题一情境创新之知识综合1.B解法一由已知知|a|=|b|=1,|c|=|7a+2b|=7a2+2b2+214ab=3,则cos=ac|a|c|=a(7a+2b)|a|c|=73,因为(0,),所以sin=1-(73)2=23.解法二由题可设a=(1,0),b=(0,1),则c=(7,2),cos=ac|a|c|=73,因为(0,),所以sin=1-79=23,故选B.2.B由题图可得T4=712-3=4(T为f(x)的最小正周期),则T=,=2T=2.将(712,-1)代入f(x)=sin(2x+)中,可得76+=2k+
10、32,kZ,则=2k+3,kZ.又|2,所以=3,所以f(x)=sin(2x+3).于是an=f(n6)=sinn+3,则an为周期为6的数列,因为a1=32,a2=0,a3=-32,a4=-32,a5=0,a6=32,所以S2 020=336S6+(a1+a2+a3+a4)=0-32=-32.故选B.3.C对于命题p,(x2-1x)n的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大,即Cn6最大,所以n=12.展开式的通项公式为Tr+1=C12r(x2)12-r(-x-1)r=(-1)rC12rx24-3r,令24-3r=0,得r=8,故展开式中的常数项为(-1)8C128=495,所以p为真命题.对
11、于命题q,根据正态分布的对称性可知P(00,5k2-130,解得265k0,所以函数g(x)在R上为增函数. 因为f(12)=-12,所以g(12)=f(12)-2(12)2+1=0.又f(sin )+cos 20,所以g(sin )=f(sin )-2sin2+1=f(sin )+cos 20=g(12),所以sin 12.因为02,所以60的解集为(6,56).故选D.6.A当0x2时,f(x)=2x-x2=1-(x-1)2,可得f(x)的极大值点a1=1,极大值b1=1,当2x4,即0x-22时,可得f(x)=3f(x-2)=31-(x-3)2,可得a2=3,b2=3,当4x6,即0x-
12、40恒成立,则F1PF2为锐角,即F1PO45(O为坐标原点),即tanF1PO=cb1,所以c2b2.而c2=a2-b2=m2+9-m2=9,所以93或m-3,故选C.图D 1-18.C解法一由题意,知l:x=-1,F(1,0).设P(-1,t),M(xM,yM),N(xN,yN),因为PF=4MF,所以(2,-t)=4(1-xM,-yM),所以2=4(1-xM),-t=-4yM,解得xM=12,t=4yM.因为MN为过抛物线焦点的弦,由焦点弦的常用结论(详见主书P215【规律总结】)可得xMxN=p24=1,所以xN=2,所以xM+xN=52.由抛物线的定义,得|MN|=xM+xN+p=5
13、2+2=92,故选C.解法二设准线l与x轴交于点E,点N在第一象限,如图D 1-1所示,作MMl于点M,NNl于点N,则由抛物线的定义知,|MM|=|MF|,|NN|=|NF|.因为PF=4MF,所以|PF|PM|=43.因为PFEPMM,所以|PF|PM|=|EF|MM|,即43=2|MF|,解得|MF|=32,所以|PF|=6.又PFEPNN,所以|PF|PN|=|EF|NN|,即66+|NF|=2|NF|,解得|NF|=3,所以|MN|=|MF|+|NF|=32+3=92,故选C.9.D由题意知,ADPD,MCPC.因为APD=CPM,所以RtPDARtPCM.又M为BC的中点,所以AD
14、MC=PDPC=2,即PD=2PC,即PD2=4PC2.在平面DCC1D1中,以DC的中点为坐标原点,以DC所在直线为x轴,DC的垂直平分线为y轴,以DC的方向为x轴的正方向,DD1的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,则D(-32,0),C(32,0).设P(x,y)(-32x32,0yt),则(x+32)2+(y)2=4(x-32)2+4(y)2,整理得(y)2=-(x)2+5x-94,易知当x=32时,y取得最大值3.若03,则(SPCD)max=332.又A1 到平面PCD的距离为3,所以V(t)=32t,03.所以V(t)为非奇非偶函数,故A错误;函数V(t)在(0,+)上不是单调
15、函数,故B错误;V(2)=332,故C错误;V(3)=332,故D正确.故选D.10.C解法一不妨设M在第一象限,M(x0,y0),因为ABM是等腰三角形,所以结合图形可知,只能|AB|=|BM|=2a.令MAB=,则AMB=,ABM=-2,MBx=2,在MAB中,由正弦定理可得2asin=23a,所以sin =33,则cos 2=1-2sin2=13,sin 2=1-cos22=223,则x0=a+2acos 2=5a3,y0=2asin 2=42a3,即M(5a3,42a3).又点M在双曲线上,所以259-329a2b2=1,解得b2a2=2,则e2=1+b2a2=3,则e=3,故选C.解
16、法二不妨设M在第一象限,因为ABM是等腰三角形,所以结合图形可知,只能|AB|=|BM|=2a.令MAB=,则AMB=,ABM=-2,MBx=2,由正弦定理可得2asin=23a,所以sin =33,则cos =63,tan =sincos=22,即kMA=22,cos 2=1-2sin2=13,则sin 2=1-cos22=223,tan 2=sin2cos2=22,即kMB=22,根据kMAkMB=2=b2a2,得e2=1+b2a2=3,则e=3,故选C.11.Cm=n(0),mn,(a-b)(sin A+sin B)=sin C(c-3b),由正弦定理得(a-b)(a+b)=c(c-3b
17、),整理得a2=b2+c2-3bc,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32.A(0,2),A=6,又C(0,2),bc=sinBsinC=sin-(6+C)sinC=sin(6+C)sinC=12cosC+32sinCsinC=32+12tanC,bc+124tan C=32+12tanC+124tan C.ABC是锐角三角形,且A=6,0C2,056-C2,解得3C3,bc+124tan C=32+12tanC+124tan C32+212tanC124tanC=233,当且仅当12tanC=124tan C,即tan C=23时等号成立,故bc+124tan C
18、的最小值为233,选C.图D 1-212.13-3如图D 1-2,以A为原点建系,AC的斜率为2,设AB的倾斜角为,则AC的倾斜角为+4,则tan(+4)=2.kAB=tan =tan(+4-4)=tan(+4)-tan41+tan(+4)tan4=13,则kAD=-1kAB=-3.所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为13和-3.13.5052设An(x0,y0),可得x02-y02=n2019.双曲线En:x2-y2=n2019(nN*,n2 019)的渐近线方程为x-y=0,x+y=0.已知点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,不妨设Bn在第一象限内,可得|AnBn|=|x
19、0-y0|2,|AnCn|=|x0+y0|2,易知双曲线En的两条渐近线互相垂直,可得AnBnAnCn,则AnBnCn的面积an=12|AnBn|AnCn|=12|x0-y0|2|x0+y0|2=x02-y024=n8076,则a1+a2+a3+a2 019=18076122 0192 020=5052.14.C由题意可得,该溶液的pH为-lg10-6=6.故选C.15.B设游船的实际速度为v,v1与河流南岸上游的夹角为,v1=AD,v2=AC.以AD,AC为邻边作平行四边形如图D 1-3所示,要使得游船正好航行到B处,则|v1|cos =|v2|,即cos =|v2|v1|=25.又=-,所
20、以cos =cos(-)=-cos =-25,故选B.16.B作出示意图,如图D 1-4所示,设图中重力为G,两只胳膊的拉力分别为F1,F2,F1与F2的合力为F,则|G|=|F|.由余弦定理得|F|2=4002+4002-2400400cos 23=34002 (N2),解得|F|=4003 N.所以|G|=4003 N.所以该学生的体重约为4001.7321069(kg).故选B.图D 1-517.B过球心O,点A以及晷针的轴截面如图D 1-5所示,其中CD为晷面,GF为晷针所在直线,EF为点A处的水平面,GFCD,CDOB,AOB=40,OAE=OAF=90,所以GFA=CAO=AOB=
21、40.故选B.18.C由题意知,可分为两种,且仅有两种情况.第一种情况,球碰撞CD与AB边内沿后进入角落C的球袋中,如图D 1-6所示.根据台球碰撞障碍物后也遵从反射定律知,AE=EF=FC,于是根据图形的对称性知E,F分别为CD与AB的三等分点,则DE=13DC=23AD,所以tan =tanAED=ADDE=32.第二种情况,球碰撞BC与AD边内沿后进入角落C的球袋中,如图D 1-7所示.同理,由第一种情况的解法知M,N分别为BC,AD的三等分点,所以BM=13BC=1312AB=16AB,所以tan =BMAB=16.综上可知,选C.图D 1-6图D 1-719.C对于A,因为C(1)=
22、11+10+01+10+015=15,C(2)=10+11+00+11+015=25,不满足C(k)15,故A不正确;对于B,因为C(1)=11+10+01+11+115=35,不满足C(k)15,故B不正确;对于C,因为C(1)=10+00+00+01+115=15,C(2)=10+00+01+01+105=0,C(3)=10+01+01+00+105=0,C(4)=11+01+00+00+105=15,满足C(k)15,故C正确;对于D,因为C(1)=11+10+00+01+115=25,不满足C(k)15,故D不正确.综上所述,故选C.20.C42H24因为表格中所给的稠环芳烃的分子式中C的下标分别是10,14,18,H的下标分别是8,10,12,所以表格中所给的稠环芳烃的分子式中C的下标构成等差数列,设为am,则首项a1=10,公差为4,所以其通项公式为am=10+(m-1)4=4m+6,表格中所给的稠环芳烃的分子式中H的下标构成等差数列,设为bm,首项b1=8,公差为2,所以其通项公式为bm=8+(m-1)2=2m+6.易知m=n-1,所以并n苯的分子式为C4n+2H2n+4(n4,nN*),所以并十苯的分子式为C42H24.
