1、3反_证_法 1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”该广告词实际说明了什么？提示：说的是“不拥有的人们不幸福”2已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证：a，b，c不可能都是奇数问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能问题2：a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件a2b2c2吗？提示：a，b，c都是奇数此时不满足条件a2b2c2.1反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛
2、盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法2反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论1反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的目的2可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论 用反证法证明否(肯)定式命题例1已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列思路点拨此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、
3、等比中项精解详析假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20，即，从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列一点通(1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明(2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题1已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数证明：假设a不是偶数，则a为奇数设a2m1(m为整数)，则a24m24m1.4(m2m)是偶数，4m24m1为奇数，即a2为
4、奇数，与已知矛盾a一定是偶数2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线证明：假设直线BM与A1N共面则A1D1平面A1BND1，且平面A1BND1平面ABCDBN，由正方体特征知A1D1平面ABCD，故A1D1BN，又A1D1BC，所以BNBC.这与BNBCB矛盾，故假设不成立所以直线BM与直线A1N是两条异面直线.用反证法证明唯一性命题例2求证函数f(x)2x1有且只有一个零点思路点拨一般先证存在性，再用反证法证唯一性精解详析(1)存在性：因为210，所以为函数f(x)2x1的零点所以函数f(x)2x1至
5、少存在一个零点(2)唯一性：假设函数f(x)2x1除外还有零点x0，则ff(x0)0.即212x01x0，这与x0矛盾故假设不成立，即函数f(x)2x1除外没有零点综上所述，函数f(x)2x1有且只有一个零点一点通(1)结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了(2)“有且只有”的含义有两层存在性：本题中只需找到函数f(x)2x1的一个零点即可唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性3过平面上一点A，作直线a，求证：a是唯一的证明：假设a不是唯一的，则过点A至少还有一条直线
6、b满足b.a，b是相交直线，a，b可以确定一个平面.设和相交于过点A的直线c.a，b，ac，bc，又abA，c.这与c矛盾故过点A垂直于平面的直线有且只有一条，即a是唯一的4用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行证明：假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行.用反证法证明“至多”或“至少”类命题例3已知a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a，b，c中至少有一个大于0.精解详析假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0.所以abc0.
7、而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0.这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.一点通(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个5已知x，y0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.证明：假设，都不小于2.即2，2.x0，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2，这与已知xy2矛盾，中至少有一个小于2.6求证一元二次方程ax2bxc
8、0(a0)最多有两个不相等的实根证明：“最多有两个”的反设是“至少有三个”，假设方程有三个不相等的实根x1，x2，x3.则由得：a(x1x2)b0，由得：a(x1x3)b0，得：a(x2x3)0，因为a0，所以x2x30得x2x3.这与假设x1x2x3矛盾，所以原方程最多只有两个不相等的实根用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾
9、，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的 1三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？()A三人行，必无我师B三人行，均为我师C三人行，未尝有我师D三人行，至多一人为我师解析：“必有”意思为“一定有”，其否定应该是“不一定有”，故选C.答案：C2(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案：A3若
10、a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与a0，y0，z0，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2解析：假设a，b，c都小于2，则abc180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：7如果非零实数a，b，c两两不相等，且2bac，证明：不成立证明：假设成立，则，故b2ac，又b，所以2ac，即(ac)20，ac.这与a，b，c两两不相等矛盾因此不
11、成立8已知函数f(x)ax(a1)(1)求证：函数f(x)在(1，)上为增函数(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根证明：(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x11，故yax为增函数， 0.又x110，x210，0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，即f(x2)f(x1)，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)法一：假设存在x01，当x00时，01.01，即x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)0没有负数根法二：假设存在x00(x01)满足f(x0)0，若1x00，则2，而01，f(x0)1，与f(x0)0矛盾若x00,0ax00，与f(x0)0矛盾，故方程f(x)0没有负数根
