1、8.7空间向量及其应用【考试要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理【知识梳理】1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)
2、共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1
3、b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角余弦值cosa，b(a0，b0)cosa，b4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2(R)l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为m，llnmnm0lnmnm(R)平面，的法向量分别为n，mnmnm(R)nmnm0【
4、常用结论】1在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点2在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间中任意一点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行，则a.()(3)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)()(4)若ab0，则a，b是钝角()【教材题改编】1若a，b，c为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是()Aa，ab，abBb，ab，abCc，ab，abDab，ab，a2
5、b答案C解析ab(，R)与a，b共面A，B，D不正确2.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc答案A解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，()c(ba)abc.3设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m_.答案10解析l1l2，ab，ab64m0，m10.题型一空间向量的线性运算例1(1)如图，四棱锥POABC的底面是矩形，设a，b，c，E是棱PC上一点，且PE2EC，则等于()Aabc BabcCabc Dabc答案B解析由已知
6、()()()()abc.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且xy，则实数xy的值为()A B C. D.答案D解析xy，故x，y1，所以xy.【备选】如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)P是C1D1的中点，acacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，a(acb)abc.又ca.abc.思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边
7、形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来跟踪训练1(1)(2022宁波模拟)如图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且2，若记a，b，c，则等于()A.abc B.abcC.abc D.abc答案A解析()()abc.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若xyz，则xyz等于()A. B1 C. D2答案B解析()()()，则x1，y，z，则xyz1.题型二空间向量基本定理及其应用例2已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断
8、点M是否在平面ABC内解(1)由题知3，所以()()，即，所以，共面(2)方法一由(1)知，共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内方法二因为()，又因为1，所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内【备选】如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)判断向量是否与向量，共面解因为k，k，所以kkk()k()kkk()(1k)k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面思维升华证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)对空间任一点O，xyz(xyz1)；(4)(或或)跟踪
9、训练2(1)(2022武汉质检)下列说法中正确的有_(填序号)|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若，共线，则ABCD；A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面；若P，A，B，C为空间中四点，且有(，不共线)，则1是A，B，C三点共线的充要条件答案解析由|a|b|ab|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|b|ab|，所以不正确；若，共线，则ABCD或A，B，C，D四点共线，所以不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为1，可得P，A，B，C四点共面，故正确；若P，A，B，C为空间中四点，且有(，
10、不共线)，当1时，即1，可得()，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即1是A，B，C三点共线的充要条件，所以正确(2)已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_(填“属于”或“不属于”)平面ABC.答案属于解析()，1，M，A，B，C四点共面即点M平面ABC.题型三空间向量数量积及其应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1).(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，(a)a2ac.(2)()bc，ba，
11、cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.【备选】已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为()A. B. C. D.答案B解析设正方体内切球的球心为O，则OMON1，2，MN为球O的直径，0，1，21，又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，最大，最大值为；当P为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为1，21，即的取值范围为.思维升华由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确跟踪训练3如图所示，在四棱柱
12、ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值(1)解记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|，即AC1的长为.(2)证明abc，ba，(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abac0.，AC1BD.(3)解bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.题型四向量法证明平行、垂直例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABC
13、D，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点证明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.证明依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.(2)因为ABAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，所以(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，而(0,1,1)(1,0,0)0，所以BEAB，又BE平面PAD，
14、所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的法向量(1,0,0)，(0,2，2)，(2,0,0)，设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令y1，可得n(0,1,1)为平面PCD的一个法向量且n(0,1,1)(1,0,0)0，所以n.所以平面PAD平面PCD.【备选】如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点(1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1.证明因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC.因为AA1平面ABC，AA1BB1，所以以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在
15、直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为AB3，BE，所以AE2，所以E(0,0,0)，C(，0,0)，A(0，2,0)，B(，0,0)，B1(，0,2)A1(0,2，)，则F.(1)，(，2,0)，(0，0，)设平面AA1B1B的一个法向量为n(x，y，z)，则所以取所以n(2，0)因为n(2)100，所以n.又EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)因为EC平面AEA1，所以(，0,0)为平面AEA1的一个法向量又EA平面BCB1，所以(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量因为0，所以，故平面AEA1平面BCB1.思维升华(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关
16、键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理跟踪训练4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，设E，F分别为PC，BD的中点求证：(1)EF平面PAD；(2)平面PAB平面PDC.证明(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PAPD，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB.
17、又四边形ABCD是正方形，所以OFAD.因为PAPDAD，所以PAPD，OPOA.如图，以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为，因为，0.且EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因为，(0，a,0)，所以(0，a,0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.课时精练1已知a(2,1，3)，b(0，3,2)，c(2,1,2)，则a(bc)等于()A18 B18 C3 D3答案
18、B解析因为bc(2，2,4)，所以a(bc)421218.2.如图，在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，则下列表示正确的是()A.B.CD.答案D解析().3已知空间向量a(1,0,1)，b(1,1，n)，且ab3，则向量a与b的夹角为()A. B. C. D.答案A解析由题意，ab10n3，解得n2，又|a|，|b|，所以cosa，b，又a，b0，所以a与b的夹角为.4直线l的一个方向向量为(2,1,1)，平面的一个法向量为(4,2,2)，则()AlBlCl或lDl与的位置关系不能判断答案B解析直线l的一个方向向量为(2,1,1)，平面的一个法
19、向量为(4,2,2)，显然它们共线，所以l.5已知空间三点A(1,0,3)，B(1,1,4)，C(2，1,3)，若，且|，则点P的坐标为()A(4，2,2)或(2，2,4) B(2,2,4)或(4，2,2)C(4,2，2)或(2,2,4) D(2，2,4)或(4,2，2)答案B解析因为B(1,1,4)，C(2，1,3)，所以(3，2，1)，因为，所以可设(3，2，)，因为|，解得1，所以(3，2，1)或(3,2,1)，设点P(x，y，z)，则(x1，y，z3)，所以或解得或所以点P的坐标为(4，2,2)或(2,2,4)6已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(1,3,1)，则下列
20、结论正确的是()A.与是共线向量B与共线的单位向量是(1,1,0)C.与夹角的余弦值是D平面ABC的一个法向量是(1，2,5)答案C解析对于A，(2,1,0)，(1,2,1)，不存在实数，使得，所以与不是共线向量，所以A错误；对于B，因为(2,1,0)，所以与共线的单位向量为或，所以B错误；对于C，向量(2,1,0)，(3,1,1)，所以cos，所以C正确；对于D，设平面ABC的法向量是n(x，y，z)，因为(2,1,0)，(1,2,1)，所以即令x1，则n(1，2,5)，所以D错误7已知a(x,1,1)，b(2,2，y)，ab0，则2xy_.答案2解析因为a(x,1,1)，b(2,2，y)，
21、ab0，所以2x2y0,2xy2.8.如图所示，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)答案abc解析()()abc.9.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点(1)求的长；(2)求cos，的值；(3)求证：A1BC1M.(1)解以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图B(0,1,0)，N(1,0,1)，(1，1,1)，|.(2)解A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0
22、,1,2)，3，|，|.cos，.(3)证明C1(0,0,2)，M，(1,1，2)，00.，A1BC1M.10.如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB.(1)证明如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.，(0，a,0)因为0，所以，即EFCD.(2)解设G(x,0，z)，则，(a,0,0)，(0，a，a
23、)，若使GF平面PCB，则需0，且0，由(a,0,0)a0，得x，由(0，a，a)a0，得z0.所以G点坐标为，即G为AD的中点时，GF平面PCB.11下面四个结论正确的是()A任何三个不共线的向量都构成空间向量的一个基底B若空间四个点P，A，B，C，则A，B，C三点共线C已知向量a(1,1，x)，b(3，x,9)，若x，则a，b为钝角D任意向量a，b，c满足(ab)ca(bc)答案B解析任何三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底，故A错误；，即3，A，B，C三点共线，故B正确；当x3时，两个向量共线，夹角为，故C错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误12(2022重庆市第七中学
24、月考)给出下列命题，其中为真命题的是()A已知n为平面的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若nm，则lB已知n为平面的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若n，m，则l与所成角为C若两个不同的平面，的法向量分别为u，v，且u(1,2，2)，v(2，4,4)，则D已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得pxaybzc答案C解析对于A，由题意可得l或l，故A错误；对于B，由图象可得，CAD，则DAB，所以ADB，根据线面角的定义可得，l与所成角为，故B错误；对于C，因为uv(2，4,4)(1,2，2)，所以uv，故，故C正确；对于D，当空间的三个向量
25、a，b，c不共面时，对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得pxaybzc，故D错误13(2022杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cosEAF_；EF_.答案解析如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为1，则E，F，cos，cosEAF，EF|.14.如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，2，AC1与平面EFG交于点M，则_.答案解析由题图知，设(01)，由已知23，所以23，因为M，E，F，G四点共面，所
26、以231，解得.15已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是_答案解析因为点Q在直线OP上，所以设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062.即当时，取得最小值，此时.16.(2022桂林模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由(1)证明设B
27、D与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，所以A1O2AAAO22AA1AOcos 603，所以AO2A1O2AA，所以A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，所以A1O平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，所以，即BDAA1.(2)解假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有P(0,1，)，(，1，)设平面DA1C1的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则又(0,2,0)，(，0，)，则取n1(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，所以n1，即n10，解得1，即点P在C1C的延长线上，且|.
