1、专题一 复数讲义知识梳理.复数1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.3复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则
2、加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)题型一.复数的有关概念1若z（3i）（a+2i）（aR）为纯虚数，则z（）A163iB6iC203iD202已知i是虚数单位，若z（1+3i）i，则z的虚部为（）A110B110Ci10Di103已知复数z=2i1+i（i虚数单位），则zz=（）A2B2C1D124若aii=b+2i，其中a，bR，i是虚数单位，则a+b的值（）A3B1C1D35设复数z满足z=i11+i，则|z|（）A1B2C3D26设复
3、数z满足1+z1z=i，则|z|（）A1B2C3D27若复数z满足z（1i）2i，则下列说法正确的是（）Az的虚部为iBz为实数C|z|=2Dz+z=2i8若复数Z的实部为1，且|Z|2，则复数Z的虚部是（）A3B3C3iD3i题型二.复数的几何意义1已知i是虚数单位，则复数(1i)21+i在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设i是虚数单位，z的复数z的共轭复数，z1+2i，则复数z+iz在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a（）A0B1C1D24已知复数z3+4i3
4、，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于第 象限5在复平面内，O是坐标原点，向量OA对应的复数是2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量OB对应的复数的模为 6已知i为虚数单位，且复数z满足z2i=11i，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（）A132B262C102D52题型三.复数的指数幂运算1若复数z=2i1+i7（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知a为实数，若复数z（a21）+（a+1）i为纯虚数，则a+i20161+i的值为（）A1B0C1+iD1i3已知复数z=(1+i)3(1i)2（其中i为虚数单位），则
5、z的虚部为（）A1B1CiDi4已知复数z满足zi20201+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A1B1CiDi5设i是虚数单位，则复数z（1+i1i）2013（）A1B1CiDi6已知复数z1+i，则z+2z2+z=（）A1B1CiDi7若Z1+i，则|Z2Z|（）A0B1C2D28当z=1i2时，z100+z50+1的值等于 题型四.待定系数在复数中的应用最值问题1若复数z满足3z+z=4+2i，则z（）A1+iB1iC1iD1+i2设复数z满足z23+4i（i是虚数单位），则z的模为（）A25B5C5D2+i3设复数z满足|z1|1，|z2|2，z1+z21+3i，则|
6、z1z2| 4已知zC，且|z|1，则|z22i|（i为虚数单位）的最小值是（）A221B22+1C2D225设复数z1，z2满足|z11|1，|z2+3i|2，则|z1z2|的最大值为（）A3+23B210C3+10D66已知复数zx+yi（x，yR）满足条件|z4i|z+2|，则2x+4y的最小值是 专题一 复数讲义知识梳理.复数1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi
7、共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.3复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)题型一.复数的有关概念1若z（3i）（a+2i）（aR）为纯虚数，则z（）A163iB6iC203iD2
8、0【解答】解：z（3i）（a+2i）3a+2+（6a）i，z（3i）（a+2i）（aR）为纯虚数，3a+20，且6a0，得a=23，此时z=203i，故选：C2已知i是虚数单位，若z（1+3i）i，则z的虚部为（）A110B110Ci10Di10【解答】解：由z（1+3i）i，得z=i1+3i=i(13i)(1+3i)(13i)=3+i10=310+i10，z的虚部为110故选：A3已知复数z=2i1+i（i虚数单位），则zz=（）A2B2C1D12【解答】解：由题意知|z|=|2i|1+i|=|2|2=2，利用性质zz=|z|2，得zz=2，故选：B4若aii=b+2i，其中a，bR，i是虚
9、数单位，则a+b的值（）A3B1C1D3【解答】解：aii=ai1b+2i，其中a、bR，i是虚数单位，a2，b1a+b3故选：A5设复数z满足z=i11+i，则|z|（）A1B2C3D2【解答】解：z=i11+i=(1i)22=i，故|z|1，故选：A6设复数z满足1+z1z=i，则|z|（）A1B2C3D2【解答】解：复数z满足1+z1z=i，1+zizi，z（1+i）i1，z=i1i+1=i，|z|1，故选：A7若复数z满足z（1i）2i，则下列说法正确的是（）Az的虚部为iBz为实数C|z|=2Dz+z=2i【解答】解：因为z（1i）2i，所以z=2i1i=2i(1+i)(1i)(1+
10、i)=2+2i2=1+i，则|z|=2；由于z的虚部是1，则A，B错，z+z=2，则D错故选：C8若复数Z的实部为1，且|Z|2，则复数Z的虚部是（）A3B3C3iD3i【解答】解：复数Z的实部为1，设Z1+bi|Z|2，可得1+b2=2，解得b=3复数Z的虚部是3故选：B题型二.复数的几何意义1已知i是虚数单位，则复数(1i)21+i在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：由(1i)21+i=2i(1i)(1+i)(1i)=1i，则复数(1i)21+i在复平面内对应的点的坐标为：（1，1），位于第三象限故选：C2设i是虚数单位，z的复数z的共轭复数，z1+
11、2i，则复数z+iz在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z1+2i，z+iz=1+2i+i（12i）1+2i+i+23+3i复数z+iz在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限故选：A3设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a（）A0B1C1D2【解答】解：复数（1+i）（a+i）（a1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴上，a+10，即a1故选：B4已知复数z3+4i3，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于第一象限【解答】解：z3+4i334i，z=3+4i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（3，4），
12、位于第一象限故答案为：一5在复平面内，O是坐标原点，向量OA对应的复数是2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量OB对应的复数的模为5【解答】解：向量OA对应的复数是2+i，A（2，1），又点A关于实轴的对称点为点B，B（2，1）向量OB对应的复数为2i，该复数的模为|2i|=5故答案为：56已知i为虚数单位，且复数z满足z2i=11i，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（）A132B262C102D52【解答】解：由z2i=11i，得z2i+11i=2i+1+i(1i)(1+i)=12+52i，复数z在复平面内的点的坐标为（12，52），到原点的距离为14+254=262故选：B题型三
13、.复数的指数幂运算1若复数z=2i1+i7（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z=2i1+i7=2i1i=2i(1+i)(1i)(1+i)=1+i，z=1i，复数z在复平面对应的点的坐标是（1，1）；它对应的点在第三象限，故选：C2已知a为实数，若复数z（a21）+（a+1）i为纯虚数，则a+i20161+i的值为（）A1B0C1+iD1i【解答】解：复数z（a21）+（a+1）i为纯虚数，可得a1，a+i20161+i=1+11+i=2(1i)(1+i)(1i)=1i故选：D3已知复数z=(1+i)3(1i)2（其中
14、i为虚数单位），则z的虚部为（）A1B1CiDi【解答】解：z=(1+i)3(1i)2=(1+i)2i2i=1i，则z的虚部为1，故选：A4已知复数z满足zi20201+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A1B1CiDi【解答】解：i41，i2020i45051，i2019i4504+3i，则zi20201+i2019化为z1i，z的虚部为1故选：A5设i是虚数单位，则复数z（1+i1i）2013（）A1B1CiDi【解答】解：1+i1i=(1+i)2(1+i)(1i)=2i2=i，z（1+i1i）2013i2013（i2）1006ii故选：D6已知复数z1+i，则z+2z2
15、+z=（）A1B1CiDi【解答】解：z1+i，z+2z2+z=1+i+2(1+i)21+i=1+i1i=(1+i)(1+i)(1i)(1+i)=1故选：A7若Z1+i，则|Z2Z|（）A0B1C2D2【解答】解：Z1+i，Z2Z（1+i）2（1+i）1+2i+i21ii2+i1+i，|Z2Z|=(1)2+12=2故选：C8当z=1i2时，z100+z50+1的值等于i【解答】解：z=1i2=2222iz2=1222222i+（22i）2i，可得z41根据复数乘方的含义，可得z100（z4）251，z50（z4）12z2iz100+z50+11i+1i故答案为：i题型四.待定系数在复数中的应用
16、最值问题1若复数z满足3z+z=4+2i，则z（）A1+iB1iC1iD1+i【解答】解：设za+bi（a，bR），则3z+z=3（a+bi）+abi4a+2bi4+2i，4a=42b=2，即a1，b1z1+i故选：D2设复数z满足z23+4i（i是虚数单位），则z的模为（）A25B5C5D2+i【解答】解：法一、设za+bi（a，bR），由z23+4i，得（a+bi）2a2b2+2abi3+4i，a2b2=32ab=4，解得a=2b=1或a=2b=1|z|=a2+b2=5故选：C法二、由z23+4i，得|z2|=|z|2=32+42=5，则|z|=5故选：C3设复数z满足|z1|1，|z2|
17、2，z1+z21+3i，则|z1z2|6【解答】解：设z1a+bi，z2c+di，（a，b，c，d为实数），因为复数z满足|z1|=1，|z2|=2，z1+z2=1+3i，所以a+c=1b+d=3且a2+b21，c2+d24，所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd4，即2ac+2bd1，则|z1z2|=(ac)2+(bd)2=a2+b2+c2+d22(ac+bd)=5+1=6故答案为：64已知zC，且|z|1，则|z22i|（i为虚数单位）的最小值是（）A221B22+1C2D22【解答】解：|z|1且zC，作图如图：|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，
18、|z22i|的最小值为：|OP|1221故选：A5设复数z1，z2满足|z11|1，|z2+3i|2，则|z1z2|的最大值为（）A3+23B210C3+10D6【解答】解：因为|z11|1，|z2+3i|2，所以z1，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z2对应的点在以B（0，3）为圆心，以2为半径的圆上，则|z1z2|的几何意义是两圆上点的距离，则则|z1z2|的最大值为AB+1+23+12+(3)2=3+10故选：C6已知复数zx+yi（x，yR）满足条件|z4i|z+2|，则2x+4y的最小值是42【解答】解：复数zx+yi（x，yR）满足条件|z4i|z+2|，|x+yi4i|x+yi+2|，|x+（y4）i|x+2+yi|，x2+(y4)2=(x+2)2+y2，化为x+2y3则2x+4y22x4y=22x+2y=42，因此2x+4y的最小值是42故答案为：42
