1、1/34学科网（北京）股份有限公司第 24 讲数列求和的常见方法【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等 数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位.数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一.此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧.方法一公式法万能模板内容使用场景等差，等比以及相关给定公式的数列解题模板第一步结合所求 结论，寻找
2、已知与未知的关系；第二步根据已知条件列方程求出未知量；第三步利用前 n 项和公式求和结果例 1.设 na为等差数列，nS 为数列 na的前 n 项和，已知77 S，7515 S，nT 为数列 nSn的前 n项和，求nT【变式演练 1】【四川省名校联盟高考模拟信息卷】已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Snann(nN*)（1）求证：数列12na为等比数列；（2）求数列an1的前 n 项和 Tn.【答案】（1）证明见解析；（2）111432nnnT.【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnS naSSn 求得关于na 的递推关系式，利用配凑法证得数列12na为等比数列.（2）先求得
3、数列1na 的通项公式，利用分组求和法求得nT.【详解】（1）2Snann，2/34学科网（北京）股份有限公司当 n1 时，2a1a11，解得113a.当 n2 时，2Sn1an1n1，两式相减，得 2ananan11，即11133nnaa.1111232nnaa，又111026a ，数列12na为等比数列（2）由 2S1a11，得113a.由（1）知，数列12na是以16为首项，13为公比的等比数列11111126323nnna ，111232nna，1111232nna ，111631111243213nnnnnT.方法二分组求和法万能模板内容使用场景可分解为几个可以直接求和的数列解题模板
4、第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.3/34学科网（北京）股份有限公司例 2.已知数列an是 321,6221,9231,12241，写出数列an的通项公式并求其前 n 项Sn.【变式演练 2】【江苏省徐州市沛县高三上学期第一次学情调研】已知数列 na的前 n 项和为nS，满足11()nnaSnN，12a，（1）求证：数列1nS 为等比数列；（2）记nnbnS，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）证
5、明见解析；（2）(1)(1)212nn nn.【解析】【分析】（1）由11nnnaSS得nS 的递推式，然后可证数列1nS 为等比数列；（2）由（1）求得nS，得出nb，用错位相减法求出数列的和nT.【详解】解：（1）由11121nnnnaSSS ，由12a，故11 1S ，进而：1122211nnnnSSSS，故数列1nS 是首项为 1，公比为 2 的等比数列.（2）由（1）知：111221nnnnSS ，故12nnnbnSnn，分别记数列12nn，n 的前 n 项和为nA，nB，则01211 22 23 22 nnAn ，12121 22 2(1)22nnnAnn ，相减得：2112222
6、(1)21nnnnAnn ，所以(1)21nnAn，(1)1232nn nBn ，故(1)(1)212nnnnn nTABn.方法三裂项相消法4/34学科网（北京）股份有限公司万能模板内容使用场景通项公式可以裂项为两项之差的形式解题模板第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；第三步消项求和：即把握消项的规律，准确求和.例 3.已知数列 na:12,1233,123444,123910101010,若11nnnbaa，那么数列 nb的前n 项和nS 为（）A1nn B 41nn C.31nn D 51nn【答案】B【
7、变式演练 3】【广西钦州市、崇左市高三上学期第一次教学质量检测】已知数列 na的前 n 项和为nS，且216a，134nnSa.（1）求数列 na的通项公式；（2）若2lognnba，求数列11nnb b 的前 2020 项和2020T.【答案】（1）4nna；（2）5052021.【解析】【分析】（1）由递推关系可判断 na为等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出；（2）求出nb，再利用裂项相消法即可求出.【详解】（1）由题知，216a，211443aaS，134nnSa，11433nnSa，当2n 时，11433nnSa，两式相减可得11133nnnaaa，即14nnaa.因为214aa
8、，数列 na为等比数列，首项为 4，公比为 4，5/34学科网（北京）股份有限公司所以通项公式为4nna.（2）22loglog 42nnnban，1111 1122(1)41nnb bnnnn，111111111142231414(1)nnTnnnn，20205052021T.【变式演练 4】设数列 na满足113,34nnaaan，若21485nnnnnba a，且数列 nb的前n 项和为nS，则nS （）A2169nnB 42369nnC1169nnD2169nn【答案】D【分析】先根据na 的递推关系求出na 的通项公式，代入nb 的表达式中，求出nb 的通项，即可求解nb 的前 n
9、项和nS【详解】由134nnaan 可得12113(21)nnanan,13a,1(2 1 1)0a ,则可得数列(21)nan为常数列 0，即(21)0nan,21nan2485(21)(23)221111(21)(23)(21)(23)(21)(23)2123nnnnnbnnnnnnnn ,111111112()(1)3557212332369nSnnnnnnn.故选:D方法四错位相减法万能模板内容使用场景等差数列和等比数列乘积的形式解题模板第一步巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步确定等差、等比数列的通项公式；第三步构差式：即写出nS 的表达式，然后两边同时乘
10、以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；6/34学科网（北京）股份有限公司第四步求和：根据差式的特征准确求和.例 4.已 知 数 列 na满 足11a，122nnnaaa.记2nnnCa，则 数 列 nC的 前 n 项 和12.nCCC_【答案】2nn【变式演练 5】【广西南宁市普通高中高三 10 月摸底测试】设数列 na满足11a，12(23)nnaan.（1）计算2a，3a.猜想 na的通项公式并利用数学归纳法加以证明；（2）记2nnnba，求数列 nb的前 n 项和nS.【答案】（1）23a，35a，21nan；证明见解析；（2）1(23)26nnSn.【解析】【分析】（1）代入2,
11、3nn即可计算23,a a，可猜想 na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，假设nk时，21kak 成立，证明1nk 也成立即可；（2）求出nb，利用错位相减法可求出.【详解】（1）由题意可得21212 13aa ，32216 15aa ，由数列 na的前三项可猜想数列 na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，即21nan，证明如下：当1n 时，12 1 1 1a 成立；假设 nk时，21kak 成立.那么1nk 时，12(23)2(21)(23)212(1)1kkaakkkkk 也成立.则对任意的*nN，都有21nan 成立；（2）因为(21)2nnbn.231 23 25 2(21
12、)2nnSn ，234121 23 25 2(21)2nnSn ，-得：234122 22 22 22 2(21)2nnnSn 7/34学科网（北京）股份有限公司21112 21 22(21)26(23)21 2nnnnn .1(23)26nnSn.方法五倒序相加法万能模板内容使用场景首项与末项相加为定值解题模板第一步列出前 n 项和；第二步按倒序列出前 n 项和；第三步两式相加；第四步得出结果.例 5.【湖北省武汉市三校联合体高三期中】已知函数 113sin22f xxx，则122018201920192019fff（）A2018B2019C4036D4038【答案】A【解析】【分析】根据函
13、数解析式可验证出 12f xfx，采用倒序相加法可求得结果.【详解】11113sin 22fxxx Q，12f xfx，令122018201920192019Sfff，则201712019201922018019Sfff，两式相加得：222018S，2018S.故选：A.【变式演练 6】【江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知 11221xxf xee，数列 na8/34学科网（北京）股份有限公司满足 12101nnafffffnnn，则2017a _【答案】2018【解析】因为 111122221112xxxxf xfxeeee 12101nnafffffnnn，111.0nna
14、ffffnn相加得221nan所以1nan，20172018a故答案为 2018方法六并项求和法万能模板内容使用场景可几项进行结合的数列解题模板第一步按给定数列的特点进行分类讨论；第二步将通项加和进行分析；第三步加和后的数列作为新数列求和；第四步得出结果.例 6.【贵州省遵义市高三上学期第一次联考】已知数列 na满足1121nnnaan ，则数列 na的前 32 项之和为_.【答案】528【解析】【分析】分n 为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和.【详解】当n 为奇数时，121nnaan ，2121nnaan，两式相减得22nnaa，当n 为偶数时，121nnaan ，2121nn
15、aan，两式相加得24nnaan，所以 32135312432.Saaaaaaa2302 84 26.3016485282 .故答案为：5289/34学科网（北京）股份有限公司【变式演练 7】【陕西省西安市高新一中高三上学期期末】已知数列 na满足1cos(1)3nnaann，则数列 na的前 40 项和为_.【答案】1260【解析】【分析】21222121cos(21)6+36cos2636nnnnnaannaaannnn ，22113nnaa，相邻两个奇数项之和为 3，2221 cos(22)6+3nnaann2+122cos(21)6366+3+12n+3nnnaannnan，22212
16、3nnaan，分组并项求和，可得结果.【详解】研究奇数项有：133,aa573aa，相邻两个奇数项之和为 3；研究偶数项有：2415,aa6839aa，相邻两个偶数项之和构成等差数列；所以前 40 项的和为10 93 10 15 102412602.故答案为:1260.【反馈练习】1【安徽省皖江名校联盟高三下学期 5 月联考】数列nF：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列nF的前n 项和为nS，则下列结论中正确的是（）A20202
17、0221SFB202020221SFC202020211SFD202020211SF【答案】B【解析】【分析】由题意利用叠加法即可求解.【详解】10/34学科网（北京）股份有限公司因为321432543202220212020FFFFFFFFFFFF，将上述各式两边相加得，202222020FFS，所以202020221SF.故选：B2【河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研】著名的斐波那契数列 na：1，1，2，3，5，8，满足121aa，21nnnaaa，*Nn，若2020211nnkaa，则 k ()A2020B4038C4039D4040【答
18、案】D【解析】【分析】计算134aaa，代入等式，根据21nnnaaa化简得到答案.【详解】11a，32a，43a，故134aaa，202021134039457403967403940401.nnaaaaaaaaaaaa，故4040k.故选：D.3已知数列 na中，*111,lnnannaaeanN，（2.71828e 是自然对数的底数）记数列 na的前 n 项和为nS，则（）A202101SB202112SC202123SD202134S【答案】B【分析】设 xfxex,求出其单调区间，从而得出 01f xf，进而 1nannf aea，所以可得10na ，又11lnnnnaaannnae
19、aaee，根据裂项求和的方法，可得答案.【详解】设 xfxex，则 1xfxe11/34学科网（北京）股份有限公司 0fx，得0 x，0fx，得0 x，所以函数 f x 在0,上单调递增，在,0上单调递减.所以 01f xf，则1nannf aea由1lnnannaea，所以10na 又11,1naS又11lnnnnaaannnaeaaee，所以 32021202212212320212021aaaaaaSaaaaeeeeeeLL20222022112aaaeeeee 所以202112S故选：B4【湖南省长沙市长郡中学高考模拟】已知函数 331xxfx，xR，正项等比数列 na满足501a，则
20、1299f lnaf lnaf lna等于_【答案】992【解析】试题分析：因为3()31xxf x，所以33()()13131xxxxf xfx因为数列 na是等比数列，所以21992984951501a aa aa aa，即1992984951lnlnlnlnlnln0aaaaaa设9912399(ln)(ln)(ln)(ln)Sfafafafa，又99999897(ln)(ln)(ln)Sfafafa1(ln)fa，+，得99299S，所以99992S考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和【知识点睛】如果一个数列 na，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，
21、为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的5【湖南省衡阳市高三下学期三模】已知数列 na的首项11a ，函数 321cos 2nnnf xxaax为奇函数，记nS 为数列 na的前 n 项和，则2020S的值为_.【答案】1010【解析】12/34学科网（北京）股份有限公司【分析】由奇函数的定义可得1cos 2annaa，依次求出数列的前几项，可得周期为 4，进而可得结果.【详解】因为 fx 是奇函数，fxfx，所以1cos02nnnaa，1cos 2annaa，11a，21cos12aa，3
22、22cos02aa，433cos02aa，如此继续，得4nnaa，周期为 420201234505505 21010Saaaa.故答案为：10106函数2yx=在点2(,)n n()nN 处的切线记为 nl，直线 nl，1nl 及 x 轴围成的三角形的面积记为nS，则1231111nSSSS_.【答案】41nn【分析】求出 y代入 x n得函数在点2(,)n n()nN 处的切线的斜率为 k，由点斜式方程可得nl 的方程及1nl 的方程，求出他们与 x 轴的交点坐标和两条直线的交点坐标，由面积公式可得114nSn n，再利用裂项相消求和可得答案.【详解】因为2yx，所以在点2(,)n n()n
23、N 处的切线的斜率为2kn，所以切线方程为()22ynn xn-=-，即 nl 的方程为22ynxn，令0y，得2nx，所以1nl ：()()2211ynxn=+-+，令0y，得12nx，由222112ynxnynxn得2212nxynn，13/34学科网（北京）股份有限公司直线 nl，1nl 的交点坐标为221,2nnn骣+琪+琪桫，所以直线 nl，1nl 及 x 轴围成的三角形的面积为211112224nnnn nSnn，所以1411411nn nnSn，则123111111111412231nSSSSnn1231111144 111nnSSSSnn.故答案为：41nn .7【天津市和平区
24、高三上学期期中】已知数列 na的前 n 项和22nnnS，数列 nb满足：122bb，112nnnbbnN.（）求数列 na，nb的通项公式；（）求*21121 niiiiabnNb【答案】（）nan；12222nnnnbn，为奇数；，为偶数（）121 22nnnn【解析】【分析】（）直接根据前 n 项和与通项的关系求出数列 na的通项公式，再根据递推关系式求出数列 nb的通项公式；（）先根据212122iiiiiiabib，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果【详解】解：（）当2n 时，221(1)122nnnnnnnaSSn，当1n 时，111aS，适合上式，所以：nan；14/34学
25、科网（北京）股份有限公司122bb，112nnnbbnN，122nn nb bn，112,2nnbbn，数列 nb的奇数项和偶数项都是首项为 2，公比为 2 的等比数列，12222nnnnbn，为奇数；，为偶数（）由（）可得，iai，且21 122122iiib ，22222iiib，212122iiiiiiabib，设2311231,0,1nnMxxxnxn xx ，23411231nnxMxxxnxn x ，得2311111nnnnxxx Mxxxxn xn xx ，1211nxnxnxMx，1121221 221 22(1 2)nnininnin，12111122222122(1)2nn
26、ininnin，12112121 22nniiniinabnb8【山东省枣庄市滕州一中高三 10 月月考】已知函数 21f xx，g xx，Rx，数列 na，nb满足11a，1nng bf b，nnaf b，*nN.（1）求证：数列1nb 是等比数列；（2）设21nncna，求数列 nc的前 n 项和nT.15/34学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析；（2）122326nnTnn.【解析】【分析】本题第（1）题根据题意将1()()nng bf b代入函数表达式可得121nnbb ，然后进行转化可得112(1)nnbb ，即可证明结论；第（2）题先将()nnaf b代入函数表达式
27、，再根据11a 可计算出10b，从而可得数列1nb 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，由此可计算出数列1nb 的通项公式，进一步推出数列 na的通项公式，以及数列 nc的通项公式，然后根据通项公式的特点构造数列数列nd：令(21)2nndn，则(21)nncdn，先运用错位相减法计算出数列nd的前 n 项和，再运用分组求和计算出数列 nc的前n 项和nT【详解】（1）证明：依题意，由1()()nng bf b代入函数表达式，可得：121nnbb ，两边同时加 1，可得：1121 12(1)nnnbbb ，数列1nb 是以 2 为公比的等比数列（2）解：由题意，可知：()21nnnaf b
28、b，11211ab，解得10b，111b ，数列1nb 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即111 1 22nnnb，121nnb，*nN，1212(21)121nnnnab ，(21)(21)(21)(21)2(21)nnnncnannn，构造数列nd：令(21)2nndn，则(21)nncdn，设数列nd的前 n 项和为nS，则123121 23 25 2(21)2nnnSdddn，23121 23 2(21)2nnSn，两式相减，可得：16/34学科网（北京）股份有限公司12311 22 22 22 2(21)2nnnSn34112222(21)2nnn321222(21)212n
29、nn1(32)26nn1(23)26nnSn，12nnTccc12(1)(3)(21)ndddn12()13(21)ndddn(121)2nnnS12(23)26nnn【点睛】本题主要考查数列求通项公式，数列求和的问题，以及函数与数列综合考查了转化与化归思想，整体思想，构造法，等差数列和等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力属于中档题9【安徽省马鞍山市高三数学（理科）二模】已知数列 na、nb、nc中，11a，1121nnnaa，1nnbna，11nnnca b（1）求证：数列 nb是等比数列，并求数列 na，nb的通项公式；（2）求数列 nc的前n 项和nS【答案】（1）证明见解
30、析，12nnan，2nnb；（2）222nnnS【解析】【分析】（1）先令1n，由题设条件求得12b，再由1121nnnaa，1nnbna得到12nnbb，从而证明数列 nb是等比数列，求出na 与nb；（2）由（1）求出的结果求出nc，再利用错位相减法求出nS【详解】解：（1）证明：11a，1nnbna，12b，1nnbna，1121nnnaa，11121122()2nnnnnbnnnbaaa，17/34学科网（北京）股份有限公司数列 nb是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，12nnnbna，12nnan；（2）解：由（1）知112nnnnnca b，2112()222nnnS，21
31、111()2222nnnnnS，由 得23111111()111111122()()()1()1(1)()12222222222212nnnnnnnnnnnnS ，222nnnS10【广西南宁三中高三数学（理科）考试四】已知数列 na为等比数列，24a，其中2a，32a，4a 成等差数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设22log1nnba，求数列11nnbb 的前 n 项和nT.【答案】（1）*2nnanN；（2）21nnTn.【解析】【分析】（1）由条件可得 32422aaa，然后解出2q=即可；（2）22log121nnban ，111111(21)(21)2 2121nnbbnn
32、nn，然后可算出答案.【详解】（1）设数列 na的公比为q，因为24a，所以34aq.因为32a 是2a 和4a 的等差中项，所以 32422aaa，即22(42)44qq，化简得220qq.因为公比0q，所以2q=.18/34学科网（北京）股份有限公司所以22*24 22nnnnaa qnN.（2）因为2nna，所以22log121nnban .所以111111(21)(21)2 2121nnbbnnnn，则11111111111123352321212122121nnTnnnnnn.11【天津市滨海七校高三下学期毕业班联考】已知数列 na的前n 项和为nS，2*nSnnN，数列 nb为等比
33、数列，且21a ，41a 分别为数列 nb第二项和第三项.（1）求数列 na与数列 nb的通项公式；（2）若数列11nnnnnca ba a，求数列 nc的前 n 项和nT.【答案】（1）*21nannN;2nnb，*nN（2）21nn【解析】【分析】（1）由数列的通项na 和nS 的关系，求得数列 na的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列 nb的首项和公比，即可求得数列 nb的通项公式，得到答案.（2）由（1）可得121 22121nncnnn，利用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列 nc的前 n 项和，得到答案.【详解】（1）由题意，数列 na的前n 项和
34、为2nSn，当1n 时，11a 当2n 时121nnnaSSn，当1n 时也满足上式所以数列 na的通项公式为*21nannN.设数列 nb的首项为1b，公比为q，则22124311418abb qabb q ，12b，2q=，2nnb，*nN.19/34学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可得11nnnnnca ba a，所以121 22121nncnnn设 21 2nn 前 n 项和为成nA，12121nn前 n 项和为nB，231 23 25 221 2nnAn 234121 23 25 2212nnAn 23122 22 22 2212nnnAn 1182 2221 212nnn
35、16322nn 16232nnAn，*nN 111121 212 2121nnnn111111123352121nBnn11122121nnn1623221nnnTnn12【山东省临沂市第十九中学高三上学期质量调研考】已知公差不为零的等差数列an中，a37，又 a2，a4，a9 成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设 bn11nna a，求数列bn的前 n 项和 Sn【答案】（1）32nan；（2）31nn.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项和公差，即可求出通项公式；（2）用裂项相消法即可求出.【详解】（1）公差 d 不为零的等差数列an中，a37，又 a2，a4，a9
36、成等比数列，可得2142927,adaa a+=，即211138adadad，解得11,3ad，则1(1)1 3(1)32naandnn=+-=+-=-；20/34学科网（北京）股份有限公司（2）111111(32)(31)3 3231nnnba annnn，可得前 n 项和11111111113447323133131nnSnnnn.13【云南省曲靖市第一中学高三上学期高考复习质量监测】已知数列 na的前n 项和为nS，且233nnSa.（1）求数列 na的通项公式；（2）设32log(1)nnnban，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）3nna；（2）223,21,.2nnnn
37、Tnnn 为偶数为奇数.【解析】【分析】（1）由12nnnaSSn,可得数列 na是等比数列，求出通项公式即可；（2）由（1）得到nb，按n 为偶数和 n 为奇数分类，利用等差数列的求和公式和并向求和法得出数列 nb的前n 项和nT【详解】（1）当1n 时，1112233Saa，所以13a；当2n 时，因为 233nnSa，所以11233nnSa，两式作差得13nnaa，即13nnaa，因为13a，所以数列 na是首项为 3，公比为 3 的等比数列，故3nna.（2）32log 3(1)2(1)nnnnbnnn ，当n 为偶数时，前 n 项和2(1)32(1)2(3)(1)22nnnnnTnn
38、 ；当n 为奇数时，前 n 项和2(1)112222nnnnnTnn，21/34学科网（北京）股份有限公司则223,21,.2 为偶数为奇数nnnnTnnn14【福建省泉州市高三毕业班质量检测】已知 na为等差数列，nb为单调递增的等比数列，111ab，246aa，3 312a b.（1）求 na与 nb的通项公式；（2）求数列nnab的前 n 项和nS【答案】（1）nan，12nnb；（2）1212nnn nS.【解析】【分析】（1）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为q，根据题意求得 d 和q的值，进而可求得数列 na与 nb的通项公式；（2）求得数列nnab的通项公式，然
39、后利用分组求和法可求得nS.【详解】（1）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为q，由246aa，可得1246ad，又11a，所以1d.所以11naandn.由3 312a b，可得34b，又11b ，所以2314bqb，又因为数列 nb为单调递增的等比数列，则0q，故2q=，所以1112nnnbb q-=；（2）由（1）可知12nnnabn，数列 na的前 n 项和为1122n nn，数列 nb的前n 项和为1121222112nnn，故1212nnn nS.【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的求解，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于基础题.22/34学科网（北
40、京）股份有限公司15【重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考】已知等比数列 na的前 n 项和为nS，22743a aa，且 3，4S，39a 成等差数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设111nnnban n，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）3nna；（2）33141nnnTn.【解析】【分析】（1）设等比数列 na的公比为q，由等比数列的通项公式可得6231113a q a qa q，进而可得3q，再由等差数列的性质、等比数列的知识列方程可得13a，即可得解；（2）由1131nnbnn，结合等比数列前 n 项和公式、裂项相消法及分组求和法即可得解.【详解】（1）设等比数列
41、na的公比为q，因为22743a aa，所以6231113a q a qa q，因为10a，所以3q，又 3，4S，39a 成等差数列，所以43293Sa即412121 39331 3aa，解得13a，所以113nnnaa q；（2）由题意11113311nnnnbn nnn ，所以12121111133312231nnnTbbbnn 3 133311113141nnnnn .16【福建省福州第一中学高三下学期开学质检】已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且11a，345SSS.23/34学科网（北京）股份有限公司（1）求数列 na的通项公式；（2）令11(1)nnnnba a，求数列 n
42、b的前 2n 项和2nT.【答案】（）21nan（）284nn【解析】试题分析:（）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析:（）设等差数列 na的公差为 d，由345SSS可得1235aaaa，即253aa，所以3(1)14dd，解得2d 1(1)221nann （）由（）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)nnnbnnn .22222122(4 11)(4 21)(4 31)(4
43、 41)(1)4(2)1nnTn 2222224 1234(21)(2)nn22(21)4(1234212)4842nnnnnn 17已知数列 na的前 n 项和为21122nn，数列 nb满足12b，1430nn nnba bn，*nN.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）若1(1)nnancb，数列 nc的前 n 项和为nT，求证：265nT.【答案】（1）nan，13 41nnb ；（2）证明见解析.【分析】（1）根据 na的前 n 项和即可求出 na通项公式，进而可判断1nb 是以 3 为首项，4 为公比的等比数列，即可求出 nb的通项公式；（2）可得113 41(1)nnnc
44、，求和然后放缩利用等比数列求和公式即可证明.【详解】（1）数列 na的前 n 项和为21122nn，221111(1)(1)(2)2222nannnnn n.当1n 时，11a 符合，故nan，24/34学科网（北京）股份有限公司1143430nn nnnnba bnnbnbn，143nnbb，1141nnbb ，12b 1nb 是以 3 为首项，4 为公比的等比数列，113 4nnb ，13 41nnb .（2）证明：1(1)nnancb，113 41(1)nnnc ，212321321242nnnnTcccccccccc，022213211111113 423 423 423 43 43
45、4nn022213213331113 43 43 43 43 43 4nn1111115215261616111344516455111616nnn.18已知正项数列*nanN及其前 n 项和nS 满足：241nnSa（1）求数列 na的通项公式；（2）令*12nnnbnNaa，数列 nb的前 n 项和为nT 若不等式1nnMTa 对任意*nN都成立，求 M 的取值范围【答案】（1）21nan；（2）2 33M.【分析】(1)根据nS 与na 的关系由241nnSa求出数列 na的通项公式；(2)由(1)2(21)(21)nbnn，利用裂项相消法求数列 nb的前 n 项和nT，再由1nnMTa
46、 对任意*nN都成立求 M 的范围.【详解】解：（1）241nnSa，则21141Sa得11a 当2n 时，22114411nnnnSSaa，得1120nnnnaaaa又 na是正项数列，所以12nnaa，所以 na为等差数列，所以21nan25/34学科网（北京）股份有限公司（2）12211(21)(21)2121nnnbaannnn所以11111121133521212121nnTnnnn 故要使1nnMTa 对任意*nN都成立，只需221nMn对任意*nN都成立即可又*222222121111nnNnnnn，所以，当 11n ，即1n 时，min22 3321nn所以2 33M 19已知
47、数列 na的前 n 项和为nS，满足21nnSa（1）求数列 na的通项公式；（2）记21nnnba，求数列 nb的前 n 项和nT【答案】（1）12nna；（2）12362nnnT.【分析】（1）令1n 可求得1a 的值，令2n，由21nnSa 可得出1121nnSa，两式作差推导出数列 na为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 na的通项公式；（2）求得1212nnnb，利用错位相减法可求得nT.【详解】（1）当1n 时，11121aSa，解得11a ，当2n 时，由21nnSa 可得出1121nnSa，上述两式作差可得122nnnaaa，所以，12nnaa，所以 na是以11a
48、 为首项，公比2q=的等比数列，所以111 22nnna；（2）121212nnnnnba，12135211222nnnT ，123111352321222222nnnnnT，26/34学科网（北京）股份有限公司上式 下式可得112311112222212123211312222222212nnnnnnnnnT ，因此，12362nnnT.20已知数列 na的前 n 项和(1)2nn nS，令3lognanb ，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，0.90，83log1.（1）求na；（2）求100b；（3）求数列 nb的前*31mmN项之和.【答案】（1）nan；（2）1004b；（3）2
49、3332mm.【分析】（1）根据na 与nS 的关系即可求出数列 na的通项公式；（2）由（1）求得数列 nb的通项，再根据定义即可求得答案；（3）当1*331,mmnmN 时，1nbm，且在数列 nb中有11332 3mmm个1m ，设121 3mmcm，数列 mc的前 m 项的和为mS，求数列 nb的前*31mmN项之和即为求数列 mc的前 m 项的和mS，利用错位相减法即可求得答案.【详解】解：（1）当1n 时，111aS，当2n 时，1(1)(1)22nnnn nn naSSn，当1n 时，等式也成立，所以nan；（2）33loglognnban，则1003log 100b，因为34l
50、og 1005，所以1004b；（3）当1*331,mmnmN 时，1nbm，且在数列 nb中有11332 3mmm个1m ，设121 3mmcm，数列 mc的前 m 项的和为mS，则23102 1 32 2 32 3 321 3mmSm ，2341302 1 32 2 32 3 322 321 3mmmSmm ，27/34学科网（北京）股份有限公司-得：23122 32 32 32 321 3mmmSm 131 3221 3323 31 3mmmmm ，所以23332mmmS，所以数列 nb的前*31mmN项之和为 23332mm.21已知数列 na，nb满足1124ab，且 na是公差为
51、1 的等差数列，nnab是公比为 2 的等比数列（1）求 na，nb的通项公式；（2）求 nb的前 n 项和nT【答案】（1）3,nannN，23nnbn，nN；（2）2172222nnn.【分析】（1）根据等差等比数列的基本量的计算即可得解；（2）根据分组求和法进行求和即可.【详解】（1）根据题意可得4(1)13nann，所以3,nannN，由1124ab，所以12b ，所以12 22nnnnab，所以23nnbn，nN，（2）根据分组求和可得：212(1 2)(7)7221 2222nnnnnnnT.22已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足*2 413nnSnN，设2lognnba（
52、1）分别求 na和 nb的通项公式；（2）求数列 413nnbb的前n 项和nT【答案】（1）21*2,21nnnanNbnnN；（2）1nn 【分析】28/34学科网（北京）股份有限公司由2 413nnS 取 n 用 n-1 替换，与原式相减可得212(2)nnan，由2 413nnS 取 n=1 可得1a，由此可得数列na的通项公式，再由关系2lognnba，求nb；(2)由（1）知 44132(22)nnbbnn，利用裂项相消法求数列 413nnbb的前 n 项和.【详解】（1）由2 413nnS 知，当2n 时，112 413nnS 两式相减，得1211224141233nnnnnna
53、SS即212(2)nnan当1n 时，112(41)23aS故1n 时也适合上式21*2 nnanN2log21nnban综上：21*2,21nnnanNbnnN（2）由（1）知 4411132(22)1nnbbnnnn111111111122334111nnTnnnn 23已知各项均为正数的数列 na满足12a，2211230nnnnaa aa（1）求 na的通项公式；（2）若23nna bn求数列 nb的前 n 项和【答案】（1）12 3nna；（2）32344 3nn.【分析】（1）由2211230nnnnaa aa，可得130nnaa，从而证明数列 na是等比数列，即可求出答案；（2）
54、求出233nnnnnba，利用错位相减求和法即可得解.【详解】解：（1）因为2211230nnnnaa aa，所以11(3)()0nnnnaaaa，29/34学科网（北京）股份有限公司又0na，所以130nnaa，即13nnaa，所以 na是首项为 2，公比为 3 的等比数列，所以111 32 3nnnaa，即 na的通项公式为12 3nna（2）由（1）知12 3nna，所以233nnnnnba，令211213333nnnnnT，231112133333nnnnnT，-得2311111121111113311333333323313nnnnnnnnnnT所以323443nnnT，即数列 nb
55、的前 n 项和为 32344 3nn 24已知数列 na中，122,3aa，其前 n 项和nS 满足*1112,nnnnSSSSnnN.（1）求证：数列 na为等差数列，并求 na的通项公式；（2）设3nnnba，求数列 nb的前 n 项和nT.【来源】江西省赣州市南康区第三中学高三数学（理）期中考试模拟试题【答案】（1）证明见解析，1nan；（2）333T()3244nnn.【分析】（1）根据题干所给的条件得到11nnaa （2n，*nN），且211aa，可得到数列为等差数列，进而得到通项；（2）利用错位相减求和即可.【详解】（1）由已知，111nnnnSSSS（2n，*nN），即11nna
56、a （2n，*nN），且211aa.数列 na是以12a 为首项，公差为 1 的等差数列.1nan.（2）由（1）知1 3nnbn它的前 n 项和为nT1231T2 33 34 331 3nnnnn ，23413T2 33 34 331 3nnnnn ，12341:2T2 333331 3nnnn30/34学科网（北京）股份有限公司 13 1 33331 3331 322nnnnn 333T3244nnn.25已知正项数列 na的前 n 项和为nS，且241nnSa.（1）求数列 na的通项公式；（2）在11nnnba a；3nnnba；141nnbS这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并
57、求解.若_，求 nb的前 n 项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【来源】山东省（新高考）高三模拟冲关押题卷（二）数学试题【答案】（1）21nan；（2）答案见解析.【分析】（1）由数列,nna S 的关系运算化简可得12nnaa，再由等差数列的知识即可得解；（2）选条件：由裂项相消法运算求解即可；选条件：由错位相减法运算求解即可；选条件：由等差数列的求和公式可得2nSn，再由裂项相消法即可得解.【详解】（1）因为241nnSa，所以当1n 时，2111441aSa，解得11a ；当2n 时，21141nnSa，又241nnSa，所以两式相减得221411nnnaaa，可
58、得1120nnnnaaaa，因为0na，所以12nnaa，所以数列 na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以21nan；（2）若选条件：11111121 212 2121nnnba annnn则111111111111233557212122121nnTnnnn；若选条件：3321nnnnban，则231 33 35 3213nnTn ，31/34学科网（北京）股份有限公司上式两边同时乘 3 可得234131 33 35 3213nnTn 两式相减得23123233()3213nnnTn 11121362239 1 3321 3nnnnn ，可得11 33nnTn；若选条件：由21nan
59、 可得21 212nnnSn，所以211=4121 21nbnnn1112 2121nn，故1111111112335572121nTnn 11122121nnn.26已知数列 na的前n 项和为nS，且11a ，121nnaS ，nN，在公差不为 0 的等差数列 nb中24b 且1b，2b，4b 成等比数列（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）记nnnbca，求 nc的前n 项和nT【答案】（1）13 nna，2nbn；（2）991(3)()223nnTn.【分析】（1）根据前 n 项和和第 n 的关系，结合等比数列和等差数列的通项公式进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详
60、解】（1）由121nnaS ，可得：21121213aSa ，当2,nnN 时，由121nnaS ，可得121nnaS ，两个等式相减，得：1123nnnnnaaaaa，说明数列 na从第 2 起，是公比为 3 的等比数列，因此有213 33nnna，11a 也适合，所以数列 na的通项公式为：13 nna，设等差数列 nb的公差为0d，因为1b，2b，4b 成等比数列，24b ，所以22214222()(2)16(4)(42)bb bbbd bddd，因为0d，所以2d，所以2(2)4(2)22nbbndnn，即13 nna，2nbn；（2）0121111121()2()3()()3333n
61、nTn，32/34学科网（北京）股份有限公司1231111121()2()3()()33333nnTn，两个等式相减得：123121111121()()()()()333333nnnTn，12311111111()()()()()333333nnnTn 11()113()13313nnnTn991(3)().223nnTn27已知公比1q 的等比数列 na和等差数列 nb满足：12a，11b ，其中24ab，且2a 是2b 和8b 的等比中项（1）求数列 na与 nb的通项公式；（2）记数列nna b的前 n 项和为nT，若当*Nn时，等式10nnT恒成立，求实数 的取值范围【答案】（1）2n
62、na，nbn；（2）210.【分析】（1）根据已知条件可得出关于 d 方程，解出 d 的值，可求得q的值，即可得出数列 na与 nb的通项公式；（2）求得2nnna bn，利用错位相减法可求得nT，分析可知数列 nT为单调递增数列，对 n 分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数 的取值范围.【详解】（1）设等差数列 nb的公差为 d，因为12a，11b ，24ab，且2a 是2b 和8b 的等比中项，所以213117ddd，整理可得20dd，解得0d 或1d .若0d，则241ab，可得2112aaq，不合乎题意；若1d ，则24134abd，可得212aqa，合乎题意.所以12
63、 22nnna，111nbnn ;；（2）因为1231 22 23 22nnTn ，234121 22 23 22nnTn ，得1231112 1 22222222121 2nnnnnnTnnn 因为10nnT，即1nnT对*Nn恒成立，33/34学科网（北京）股份有限公司所以11212nnn当2n 且 nN，120nnnTTn，故数列 nT为单调递增数列，当 n 为偶数时，1212nn，所以1min21210nn；当 n 为奇数时，1212nn，所以1min2122nn，即2 .综上可得 210 28等比数列na的各项均为正数，且1310aa，23264aaa.（1）求数列na的通项公式；（
64、2）求数列nn a的前 n 项和nT.【答案】（1）2nna；（2）1(1)22nnTn.【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】解：（1）设数列na的公比为q，则0q，由2232644aaaa得：24q，所以2q=.由131114510aaaaa，得到12a 所以数列na的通项公式为2nna.（2）由条件知，231 22 23 22nnTn 又234121 22 23 22nnTn L将以上两式相减得23111222222(21)2(1)22nnnnnnTnnn 所以1(1)22nnTn.29已知数列na满足11a
65、，122nnnaaa.（1）求证数列1na为等差数列；（2）设1nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）证明见解析；（2）422nTn.【分析】34/34学科网（北京）股份有限公司（1）求证等差数列，即得到后一项减去前一项为定值即可，将已知条件变形为111nnaa，证明为常数，说明1na禳镲睚镲铪为等差数列（2）求出 nb的通项，可以用裂项相消的方法求前 n 项和【详解】（1）数列na满足11a ，122nnnaaa.整理得1122nnnna aaa，故11112nnaa（常数），所以数列1na禳镲睚镲铪是以 1 为首项，12 为公差的等差数列.（2）由于数列1na禳镲睚镲铪是以 1 为首项，12 为公差的等差数列.所以1111(1)22nnna，故21nan所以122114()1212nnnba annnn，则：1111111144()4()2233412222nTnnnn.
