1、2023年高考适应性考试（三）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，集合，若，则（ ）A.0B.1C.2D.32.已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为（ ）A.B.C.D.3.已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（ ）A.B.C.2D.4.为了贯彻落实中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数
2、量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，）A.14次B.15次C.16次D.17次5.将函数的图象上的点横坐标变为原来的（纵坐标变）得到数的图象，若存在，使得对任意恒成立，则（ ）A.B.C.D.6.如图，湖面上有4个小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛联通起来，则所有不同的建桥方案种数为（ ）A.6B.16C.18D.
3、207.已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为，若，当n取大值时，的值为（ ）A.10B.61C.64D.738.在三棱锥中，平面，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某班共有48人，小明在一次数学测验中的成绩是第5名，则小明成绩的百分位数可能是（ ）A.9B.10C.90D.9110.如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，P，Q分别为棱，BC的中点，则（ ）A.平面B.平面平面C.三棱柱的侧
4、面积为D.三棱锥的体积为11.已知定义在R上的函数的图象连续不间断，若存在非零常数t，使得对任意的实数x恒成立，则称函数具有性质.则（ ）A.函数具有性质B.若函数具有性质，则C.若具有性质，则D.若函数具有性质，且，则，12.已知双曲线的左，右焦点分别为，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）A.的最小值为8B.若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6C.为定值D.若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数依次构成等差数列，则其
5、展开式中所有项的系数和为_.14.为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为（单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为_环2.15.已知点是抛物线上的动点，则的最小值为_.16.在平面直角坐标系中，点P在圆上运动，点Q在函数的图象上运动，写出一条经过原点O且与圆C相切的直线方程为_；若存在点P，Q满足，则实数a的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分
6、）已知数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列的前n项和.18.（本小题满分12分）在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_.（1）求角C的大小；（2）若点D在AB边上，且，求的值.19.（本小题满分12分）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率
7、分布直方图.（1）若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；（2）中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y（单位：元）的概率分布列，并估计本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额（单位：元）参考数据：，.20.（本小题满分12分）如
8、图，在多面体中，平面，是边长为2的正三角形，点M是BC的中点，平面.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，BN交于点P.（1）记，的面积分别为，若，求点P的坐标；（2）设点，若点M在直线FG的左侧，记直线MG与直线交于点Q，求证：直线FQ平分.22.（本小题满分12分）已知函数，其中a为实数.（1）若，求函数在区间上的最小值；（2）若函数在R上存在两个极值点，且.求证：.参 考 答 案一、选择题：cabccbda cd bd abd acd 三、填空题：1
9、31 14 15 16(或) 四、解答题：17【解】（1）因为，故，所以，整理得 2分又，所以为定值， 4分故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，得 6分（2）因为， 8分所以 10分18【解】选择（1）因为，结合余弦定理，得，即， 3分据正弦定理可得，所以，又，所以，即，又，所以 6分（2）设，则因为，故，所以，在中，据正弦定理可得，即，在中，同理， 9分因为，所以，即，整理得，所以的值为 12分选择（1）因为，结合正弦定理可得，即， 2分又，所以，即， 4分又，故，即，所以，因为，所以，得 6分（2）设，则因为，故，所以，在中，据正弦定理可得，即，在中，同理， 9分因为，所以，即，整
10、理得，所以的值为 12分19【解】（1）依题意， 2分所以，故 4分（2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为，得分不低于74分的概率为Y的所有可能取值分别为10，20，30，40，所以Y的概率分布为Y10203040P 10分所以，所以本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额为元 12分20【解】（1）取BC1的中点D，连结MD，A1D在BCC1中，M，D分别是BC，BC1的中点，所以MDCC1，且MDCC1又AA1CC1，故MDAA1，所以点A，A1，D，M四点共面因为AM平面A1BC1，AM平面AA1DM，平面AA1DM平面A1BC1A1D，所以AMA1D因为CC1平面ABC，A
11、M平面ABC，所以AMCC1，故A1DCC1，在正ABC中，M是BC的中点，故AMBC，故A1DBC，又BCCC1C，BC，CC1平面BCC1B1，所以A1D平面BCC1B1，因为A1D平面A1BC1，所以平面A1BC1平面BCC1B1 6分C1B1BCMAD（2）法一：因为AA1CC1，CC1平面ABC，所以AA1平面ABC，以A为坐标原点，AC，AA1所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则，所以，设平面A1BC1的法向量，则即取，则，故平面A1BC1的一个法向量为设平面A1BC的法向量，则即取，则，故平面A1BC1的一个法向量为所以，设二面角C1A1BC的大小为，由
12、图可知，所以二面角C1A1BC的余弦值为 12分A1A1C1B1BCMADxyz法二：连结CD，在平面A1BC内，过点C作CHA1B，垂足为H，连结DH在BCC1中，CBCC12，D是BC1的中点，所以CDBC1由（1）可知，A1D平面BCC1B1，CD平面BCC1B1，故CDA1D又A1DBC1D，A1D，BC1平面A1BC1，所以CD平面A1BC1因为A1B平面A1BC1，所以A1BCD又A1BCH，CDCHC，CD，CH平面CDH，所以A1B平面CDH，因为DH平面CDH，所以A1BDH所以CHD是二面角C1A1BC的平面角在A1BC中，所以，据，得在RtCDH中，所以二面角C1A1BC
13、的余弦值为 12分A1C1B1BCMADH21【解】（1）依题意，F(1，0)，A(2，0)，B(2，0)，故AF3，BF1因为S13S2，所以，即因为直线l经过F(1，0)，故，直线l的方程为x1若M在x轴的上方，则M(1，)，N(1，)，直线AM的方程为，直线AN的方程为，联立方程组可得点P的坐标为(4，3)根据椭圆的对称性可知，当M在x轴下方时，点P的坐标为(4，3)所以点P的坐标为 5分（2）要证：直线FQ平分，即证：，只要证：，即证：，其中，分别是直线MF，QF的倾斜角，只要证：，即证：，即证：，证明如下：设，则直线MG的方程为，令，得点Q的坐标为，所以直线FQ的斜率，又直线MF的斜率为，所以，又因为点在椭圆C：上，故，得，所以，得证 12分22【解】（1）当时，令，则，所以在上单调递增，故，所以，在上单调递增，所以当时，的最小值为 4分（2）依题意，在R上存在两个极值点x1，x2，且所以在R上有两个不等的实根x1，x2，且令，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，此时，故因为x1，x2是的两个不等的实根，所以即要证：，即证：，只要证：下面首先证明：要证：，即证：，只要证：，即证：，令，则，所以在上单调递减，即因为，所以所以，故要证：，只要证：，即证：，只要证：，即证：，事实上，显然成立，得证 12分
