1、第二节 空间几何体的表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)1旋转体的表面积名称图形侧面面积表面积圆柱2rl(底面半径r，母线l)2rl2r2圆锥rl(底面半径r，母线l)rlr2名称图形侧面面积表面积圆台(r1r2)l(上、下底面半径r1，r2，母线l)(r1r2)lr12r22球4R2(R为球半径)2.几何体的体积公式(1)设棱(圆)柱的底面积为 S，高为 h，则体积 VSh.(2)设棱(圆)锥的底面积为 S，高为 h，则体积 V13Sh.(3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为 S、S，高为 h，则体积 V13(S SSS)h.(4)设球半径为 R，则
2、球的体积 V43R3.1已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是()A.3 B3C4 D5解析：设球半径为 R，则43R34R2，R3.答案：B2若某几何体的三视图(单位：cm)如下图所示，则此几何体的侧面积等于()A12 cm2 B15 cm2 C24 cm2 D30 cm2解析：由三视图可知，该几何体是底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥，其侧面积为rl3515 cm2.答案：B3圆柱的侧面展开图是一个边长为6和4的矩形，则圆柱的全面积为()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8(32)解析：设圆柱的底面半径为 r，母线为 l，则2r4l6或2r6
3、，l4，r2l6 或r3l4，圆柱的全面积为 2428 或 24218，即 8(31)或 6(43)答案：C4若一个长方体的正视图、侧视图、俯视图分别是面积为4cm2,6 cm2,24 cm2的矩形，则该长方体的体积为_cm3.解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xz4yz6xy24，解得x4y6，z1体积 Vxyz24.答案：245圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是_解析：底面半径是S，所以正方形的边长是 2S2 S，故圆柱的侧面积是(2 S)24S.答案：4S1求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形
4、，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系热点之一空间几何体的表面积2圆柱、圆锥、圆台的侧面积就是它们的侧面展开图的面积，因此应熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状，以及展开图中各线段长度与原图形中线段长度的关系，这是掌握侧面积公式以及进行计算求解的关键例1 如下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A9 B10 C11 D12思路探究 根据三视图找出该几何体的结构特征，由什么组合而成，再根据相应的表面积公式即可求出课堂记录 从题中三视图可以看出该几何体是由一个球和一个 圆 柱 体
5、 组 合 而 成 的，其 表 面 积 为 S 412 122 21312.故选D.思维拓展 高考中对几何体的表面积题考查得较容易，一般利用公式即可求出，需要注意的是应用公式前，要弄清楚考查的几何体的结构特征，再准确求出相关的基本元素即时训练一个棱锥的三视图如下图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()解析：由三视图可知原棱锥为三棱锥，记为PABC(如图)且底面为直角三角形，顶点P在底面射影为底边AC的中点，且由已知可知ABBC6，PD4.A4812 2 B4824 2C3612 2 D3624 2则全面积为 S1266212651246 24812 2.故选 A.答案：A 热点之二 空间几何体
6、的体积1三棱锥体积的计算与等体积法对于三棱锥的体积计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的，可以变换顶点和底面，使体积容易计算2求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法例2 下图是一个容器的三视图，认真观察，说明它是由哪几种基本几何体组合而成的，并根据图中数据计算该容器各部分的容积和总容积思路探究 在本题的求解中，将组合体进行分割，通过计算各个部分的体积，最后再把这些体积通过相加或相减的方法，把总体积计算出来这种计算体积的方法可以看作是分类计算，再整合各个部分得到问题的结论课堂记录 该容器的最上部分是一个底面半径为 1.5 c
7、m，高为 1 cm 的圆锥，其容积 V113(32)2134(cm3)；中间部分是一个上、下底面半径分别为 1.5 cm 和 2 cm，高为2 cm 的圆台，其容积 V213(32)2322222376最下部分是一个底面半径为2 cm，高为4 cm的圆柱，其容积V322416(cm3)该容器的总容积VV1V2V3(34376 16)27512(cm3)即时训练已知正方体AC1的棱长为a，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积解：因为 EBBFFD1D1Ea2a22 52 a，所以四棱锥 A1EBFD1 的底面是菱形，连接 EF，则EFBEFD1，由于 三 棱 锥 A1
8、EFB 与 三 棱 锥 A1EFD1 等 底 同 高，所 以VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA1213SEBA1a16a3.热点之三折叠与展开问题几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的利用了空间问题平面化的思想把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点例 3 如右图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面 ABC 为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1 2.P 是 BC1 上一动点，则 CPPA1 的最小值为_思路探究 空间中的最短距离问题一般需转化为平面图形问题进行求解课堂记录 解法1：由题意知，
9、A1P在几何体内部，但在面A1C1B内，把面A1C1B沿BC1展开与CBC1在一个平面上如右图，连接A1C即可ACB90，AC6，BCC1C 2，A1C1B90，A1C16，CC1A14590135.在CC1A1 中，A1C2A1C12CC122A1C1CC1cos13550，A1C5 2.解法 2：设 C1Px，由已知可得A1C1P 为直角三角形，则PA1 36x2，在CC1P 中CC1P45，CC1 2，由余弦定理CP C1P2CC122C1PCC1cos45 x22x2.CPPA1 x22x2 x236 x12012 x02062故可以看作 x 轴上的动点 M(x,0)到两个定点 E(1
10、,1)，F(0,6)的距离之和，E 点关于 x 轴的对称点 E(1，1)CPPA1|EF|102162 505 2.思维拓展 求几何体表面上的最短距离问题一般都是利用展开图，把空间问题平面化，然后利用“两点之间距离最短”的性质求解，关键是正确画出待求问题所在的平面即时训练如右图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SDPD6，CRSC，AQAP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥 PABCD(如右图)，其中 PD
11、平面 ABCD，因此该四棱锥的体积 V1366672，而棱长为 6 的正方体的体积 V666216，故需要21672 3 个这样的几何体，才能拼成一个棱长为 6 的正方体答案：31从对近几年高考信息的统计结果来看，本节内容也是高考中考查的一个热点，主要考查：求柱、锥、台体的侧面积与表面积；求柱、锥、台体的体积；球体中有关截面的问题；结合三视图求空间几何体的表面积与体积2多以选择题、填空题的形式考查本节内容，高考中对本节知识的要求相对较低例4(2010北京高考)如右图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上若EF1，A1Ex，DQy，D
12、Pz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关解析 DCA1B1，EF1，SEFQ1212 2 2(定值)四面体 PEFQ 中面 EFQ 上的高为 P 到面 A1DCB1 的距离，为DPsin45 22 z.V 四面体 PEFQ13 2 22 z13z.答案 D1(2010天津高考)一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_解析：几何体下方是一个棱长为 1,2,1 的长方体，上方是一个高为 1 的正四棱锥，底面四边形的边长为 2，V12113221103.答案：1032(2010江西高考)如下图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为_解析：取BC中点D，AB中点E，AC中点F，易知面AOD，面BOF，面COE平分三棱锥的体积S1SAOD，S2SBOF，S3SCOE.设 OAa，OBb，OCc，则 S112aOD12a12BC14a b2c214 a2b2a2c2.同理 S214 a2b2b2c2，S314 a2c2b2c2.abc，S1S2S3.答案：S3S2S1