1、教材习题答案 第四章 数列4.1 数列的概念练习.解析().().().().图象略.解析 ().解析()()()()()()()()()().所以数列()的前 项为.解析().().练习.解析 图形略.().().().解析().().解析 .解析 当 时 当 时 ()()又 适合上式 .习题 4.1复习巩固.解析 图象略.().().解析().().().().解析()().()().().()().综合运用.解析().().解析 三角形数所构成的数列的第 项和第 项分别为 正方形数所构成的数列的第 项和第 项分别为 五边形数所构成的数列的第 项和第 项分别为.解析 (.).(万元)(.)
2、.(万元)(.).(万元)(.)(万元).拓广探索.解析()证明:.是递增数列.4.2 等差数列.等差数列的概念练习.解析()是.()不是.()不是.()是 .解析().().解析.解析 由已知得()()整理得 解得 .解析 设这 个数构成公差为 的等差数列则 .在 和 中插入.这 个数可使这 个数成等差数列.练习.解析 由题意知 ()()即第 排有 个座位.解析 图象略.直线的斜率为.解析 由已知得()()解得 .()()().解析()数列 是等差数列.证明如下:数列 都是等差数列公差分别为 又 ()()()()数 列 是 等 差 数 列 公 差 为.()公差 ()().解析()一个无穷等差
3、数列 去掉前 项后其余各项组成的数列是.仍能满足定义:这个新数列仍为等差数列且首项为公差为.()所取出的项构成的数列为.()()为常数 这个新数列仍为等差数列且首项为 公差为.()取出所有序号为 的倍数的项构成的数列为.()()()为常数 这个新数列 仍 为 等 差 数 列 且 公 差为.猜想:取出等差数列中所有序号为()的倍数的项构成的数列仍为等差数列.等差数列的前 项和公式练习.解 析 ()()().()().()()().().().解析 由题意知 ()()()()解得 .解析 由 得 解得 .解析 ()()()()().解析 设等差数列为首项为 公差为 其前 项和为.则由题意可得奇()
4、()()()()偶 ()()()()解得 .数列中间一项为 项数为.练习.解析 第二种方式获奖者受益更多.第二种方式每天领取的奖品价值构成等差数列设首项为 公差为 则 .第二种领奖方式获奖者受益更多.解析 当 时 当 时 ()()()不适合上式 .解析 .(.)(.).().易知当 时 时 当 时 取得最小值.解析 由 得 又 .集合 中元素的个数为 这些元素构成首项为 公差为 的等差数列 .解析 由 (.).(.).(.)可知当 时.时.当 时 最小.习题 4.2复习巩固.解析()()()解得 .()解得 .()()()解得 (负值舍去).().()().解析 设等差数列的公差为.解法一:由
5、题意得()()()()()解得 .().解法二:又 .().解析()从小到大排列的前 个正偶数构成等差数列且 则 偶 ()().()从小到大排列的前 个正奇数构成等差数列且 则 奇()().()在三位正整数的集合中 的倍数从小到大排列构成等差数列 且 .由 ()解 得 .所以 ().()在小于 的正整数中被 除余 的 数 从 小 到 大 排 列 构 成 等 差 数 列且 由 ()解得 所以 .解析 由题意可知 哈雷彗星是以“等 差 数列”的时间回归的 不妨设此数 列 为则 教材习题答案 所以通项公式为 ()()可计算出它在 本 世 纪 回 归 的 时 间 为 年.综合运用.解析 设此多边形的边
6、数为 各边的长构成等差数列 首项为公差为 前 项和为.则 由题意得()()解得 或 (舍).多边形的边数为.解析 数列是等差数列 数列也是等差数列.().解析()证明:设等差数列 的首项为 公差为 则 ()()()()()数列 是等差数列.()由()知 为等差数列设公差为 则 又 .又 ().解析 等差数列 的首项为 公差为 其通项公式 ().又等差数列 的首项为公差为 其通项公式 ().由 得 .新数列由数列 中的奇数项构成即 首项为公差为 项数为 .解析 由题意知第 辆车到休息时行驶了 各辆车行驶的时间构成一个等差数列设该数列为首项为 公差为.则 则 ()().()因为 所以截止到 时最后
7、一辆车行驶了.()这支车队所有车辆行驶的总时间为 ()()所以这支车队当天一共行驶的路程为 ().拓广探索.证明 等差数列的公差为 ()()().在斜率为 的直线:()()上任取两点()()()则 .即公差为 的等差数列的图象是由点()组成的集合这些点均匀分布在直线()()上.解析()由题表中的数据分析可建立等差数列模型.设该数列为首项为 公差为.则 .().()由()知 .().由.得 .().这只虎甲虫连续爬行 能爬.它连续爬行 需要.解析()().()()各式相加得 ().所以数列 的一个通项公式为 ().4.3 等比数列.等比数列的概念练习.解析()不是.()是公比为.()不是.()是
8、公比为.解析 或.解析 解法一:由 得 解得 或 .解法二:.当 时 .当 时 时成等比数列.成 等 比数列.当 时成等比数列.成等比数列.练习.解析()设这 个数组成的等比数列为公比为 其中 .故插入的两个数为.()设 这 个 数 组 成 的 等 比 数 列 为公比为 其中 .()()()()()故插 入 的 个 数 分 别 为 .解析 设数列 的公比为 的公比为()数列 是以 为公比的等比数列.()数列是以为公比的等比数列.解析 设每年生产的新能源汽车数组成一个数列则 是等比数列其中 所以 ().所以 年全年约生产新能源汽车 辆.解析 设年平均增长率为 则()解得 .所以这个城市空气质量为
9、“优”“良”的天数的年平均增长率应达到.解析 设 为数列中的最大项则即()()即.取得最大值时 的值为.等比数列的前 项和公式练习.解 析 ()()().().()().().()()()即 .解得 或 当 时 当 时 .证明 左边 ()()()右边 原等式成立.解析 设等比数列的公比为.由题意得 解得 或 .或 ()()或 ().解析 设这三个数分别为 ().则 .又 即 解得 或 .当 时 当 时 .这个数列的首项为 公比为 或首项为 公比为 .解析 设该等比数列为 首项为公比为 其前 项和为 若 则 .当 时由题意知()()得 即 .练习.解析 由题可知教育网站每月的用户数构 成 一 个
10、 等 比 数 列 设 该 数 列 为其中 .设经过 个月可使用户达到 万人.则 (.).所以大约经过 个月可使用户达到 万人.解析 乒乓球每次落下后反弹的高度数构成一个等比数列其中 .()第 次着地时经过的总路程为 (.).().()设至少在第 次着地后它经过的总路程能达到 则(.).至少在第 次着地后它经过的总路程能达到 .解析 设这家牛奶厂每年应扣除 万元消费基金才能实现经过 年资金达到 万元的目标.则 年 底 剩 余 资 金 是 ()年底剩余资金是()()()()年后资金达到 ()()()()()解得 所以这家牛奶厂每年应扣除 万元消费基金才能实现经过 教材习题答案 年资金达到 万元的目
11、标.解析 当 时 即 由已知得 又 得 数列 是首项为公比为 的等比数列 ().习题 4.3复习巩固.解析()()().()由题意得 解得 或 .解析()将数列 中的前 项去掉剩余的各项组成的新数列为 则 ()所以数列 是以为首项 为公比的等比数列.()中的所有奇数项组成的新数列是 则 ().所以数列 是以 为首项 为公比的等比数列.()中每隔 项取出一项组成的新数列是 则 ().所以数列 是以 为首项为公比的等比数列.猜想:略.解析()()()()()()()()()().()当 时 ()当 时设 则 ().得()则 ().解析()设生物体死亡时体内每克组织中的碳 的含量为 记为()年后的残
12、留量为 则 是以 为首项 为公比的等比数列即 .由碳 的半衰期为 年知 解得 ().则 .()设 该 动 物 的 死 亡 时 间 大 约 距 今 年由 .得 .解得 所以 该 动 物 的 死 亡 时 间 大 约 距 今 年.综合运用.证明 设数列的公比为 因为 成等差数列所以公比 且 即()()().于是 即 .上式两边同乘 得 即 所以 成等差数列.解 析 设 该 数 列 为 前 项 和为.解法一:()()()()().解法二:个 ()同解法一.解析()证明:()又 数列是首项为公比为的等比数列.()由()知 ()()()().当 为偶数时 ().当 为奇数时 ()().解析 设 ()则 .
13、即 ()又 数列是以 为首项 为公比的等比数列 .数列的前 项的和为().解析 由题意得每一轮的感染人数构成一个等比数列记为公比为 前 项和为.则 .则 ().两边取对数得.又 .又 平均感染周期为 天 天 感染人数由 个初始感染者增加到 人 大 约 需 要 轮 传 染 需 要 天.拓广探索.解 析 ()()()().当 或 时取得最大值为 的最大值为.解析()证明:由已知得 ().数列 是首项为 公比为 的等比数列.()由()可得 ()().()().证明()设数列的公差为 .()()数列为等差数列.()(反证法)假设数列中存在三项(且)能构成等比数列即 成立.由()得 ()()()()整理
14、得 ()与 矛盾.数列 中的任意三项均不能构成等比数列.4.4*数学归纳法练习.解析()错误.缺第一步证明当 时命题成立.()错误.证明过程中没有使用归纳假设.证明().当 时左边 右边 等式成立.假设当 ()时等式成立即 那么当 时 ().即当 时等式也成立.由知公式 对任意 都成立.()()().当 时 左 边 右 边()等式成立.假设当 ()时等式成立即 ()那么 当 时 ()()()()()().即当 时等式也成立.由 知 对 任 意 公 式 ()()都成立.练习.证明 当 时 等 式成立.假设当()时有()()().那么当 时()()()()()()()()()()().即当 时等式
15、也成立.故由数学归纳法的基本原理知原等式成立.解 析 设 该 数 列 为 则 ().由 得 .猜测:.用数学归纳法证明 .证明:()当 时左边 右边 等式成立.()假设当 ()时等式成立即 那么当 时 ()()()()()()()()即当 时等式也成立.由()()可知对任意 都成立.解析 易知 猜想:当 时那么 时 ()()()()即 时不等式成立.由()、()可知 当 时 当 时 当 时 当 时 .猜想:当 或 时.显然 时 成立.下面用数学归纳法证明当 时.()当 时 结论成立.()假设当 ()时结论成立即.那么当 时 ()当 时结论也成立.由()()可知当 时.综上所述当 或 时.解析
16、用数学归纳法证明:()当 时 ()假设当()时那么当 时若 则.由()()可知()成立.()即().拓广探索.证明 当 时 能被 整除命题成立.假设当 ()时 能被 整除.则当 时()()()()()()()能被 整除而()必为偶数()必能被 整除.当 时命题也成立.由可知对于任意的 都能被 整除.解析 猜想:()()().令 得 ()令 得 ()令 得 .整理得 解得 .于是 时上面等式成立故猜想 ()()().下面用数学归纳法证明:()由上面推导过程知 时等式成立.()假设()时等式成立即 ()()()那么当 时 ()()()()()()()()()()()()()()即当 时等式也成立.
17、由()()可知对任意 等式成立.解析 一般形式:设 为非负实数 为正实数若 则 .用数学归纳法证明如下:()当 时 有 不等式成立.()假设当()时不等式成立即若 则 .当 时若 此时 于是 ().由归纳假设可得 .又()()从而 即 时不等式成立由()()可知对任意 不等式成立.复习参考题 4复习巩固.解析 略.解析().()()().()为奇数 为偶数.解析()()设最小的一份为 公差为 则 ()整理得 ()解得 .故选.()观察发现:第二个图形在第一个图形周长的基础上多了它的周长的 即 第三个在第二个的基础上 多了其周长的 即 ()同 理 ()故选.答案()()解析()各层的灯数构成一个
18、等比数列设 该 数 列 为 顶 层 灯 数 为公比为 前 项和为 则 ()解得 .解析 每天的募捐数构成一个等差数列设该数列为其中 .则 ()解得 或 (舍去)所以这次募捐活动共进行了 天.解析 设该学生能工作 天每天领取的工资为 元所有工资为 元则第一种方案:()()第二种方案:()()()第三种方案:().().().().令()()即 解得 即小于 天时第一种方案报酬高等于 天时第一种方案与第二种方案一样.令()()即.()利用计算器求得小于或等于 天时第一种方案高所以少于 天时选择第一种方案.比较第二、三种方案:()().()()()()().所以等于或多于 天时选择第三种方案.综合运
19、用.解析()不能构成等差数列.可以从图象上解释:、成等差数列则通项公式为 的形式且 位于同一直线上而 的通项公式却是 的形式 不可能在同一直线上因此肯定不是等差数列.()能构成等比数列.成等比数列 .又 能构成等比数列.解析 (.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.).解析()由题意知:共需要 步雹程.()由 倒推可知 .解析()设等差数列 的首项为公差为 则 ()()()解得 .()().()()()()()得 ()()()()()().解析 ()由 得 ()两式相减得 ().数列是等比数列 .()由题意得 ()即 ()故 .假设在数列中存在三项(其中 成等差数列)成等比数
20、列则()教材习题答案 即()()()()().、成等差数列 则()式可化为 故.这与题设矛盾 在数列 中不存在三项(其中 成等差数列)成等比数列.解析()名称等差数列等比数列定义 通项公式 ()()常用性质 ()若 ()则 ()()若 ()则 ()()(得又 ()的解集为().解 析 ()().()().它表示氡气在第 天左右时以.克/天的速率散发.解析()()表示 时刻的瞬时速度为 ()/.()()(/).()由 得 (负值舍去)()(/).拓广探索.解析 .解析()图略.()当越 来 越 小 时 ()就越来越逼近函数 .()的导数为 .解析().所以上午:时潮水的速度为./上午:时潮水的速
21、度为./中午:时潮水的速度为./下午:时潮水的速度为./.5.3 导数在研究函数中的应用.函数的单调性练习.解析()()在(上单调递减在)上单调递增.()()令 ()得 令 ()得 时令 ()得 ()在 ()上单调递增在 ()上单调递减.当 得 得得 ()在 ()和()上单调递增在 ()上单调递减.证明 ()()当()时 ()()或()时()()()时()当()时().()极大值 ()()极小值().又()()()().()()()().()().令 ()得 或 (舍去).当 ()时()当()时()()极大值().又 ()()()()()()()().()().当 时()()时()()在()上
22、单调递增在()上单调递减()()()即 .练习.证明 令()()则 ()()在()上单调递减.()()即 .如图.解析 设圆的直径为 则铁丝长为()()().().令()得 时().是()的极小值点也是最小值点.当圆的直径为 时所用材料最省.习题 5.3复习巩固.解析()()在()上单调递减.()()在 ()上单调递增.()()的增区间为().()()的增区间为().解析()()的增区间为()减区间为().()()的增区间为()减区间为 ().()()的增区间为().()()的 增 区 间 为()()减区间为 ().解析()速度为 的点是极值点.图略.()汽车在这些点处加速度为.解析().()
23、.().().解析()()极小值 ().()()()()()在()上单调递增在()上单调递减在()上单调递增.()极小值()()极大值().()()()()()在()上单调递增在()上单调递减在()上单调递增.()极小值()()极大值().()()()()()在()()上单调递减在()上 单 调 递 增.()极小值()()极大值().解析 参考第 题可得()()()()().()又()()()().()又 ()()()()()().()又()()()()()().综合运用.解析 设其中一个正方形的边长为 则另一个正方形的边长为 .则两个正方形的面积和为 ()().当 时 此时两段铁丝长均为 .
24、解析()()()()时().时()取得极大值也是最大值.教材习题答案.证明 ()()()().令 ()得 是函数()的极小值点也是最小值点.当 时()()取得最小值.解析 设收入为 则 ().利润 ()()()时当(时()()递增当()时()()()即().图象验证略.()设()则 ()()时()()单调递增()时()()单调递减.()()()即 .令()()()时()()在()上单调递减.()().综上 和 且 时 设方程()的两根分别为且()单调递增()时()且 时()()在 上单调递增.当 时 设方程()的两根分别为且 ()在()上单调递增当()或()时()()在()()上单调递减.当
25、且 时()()在 上单调递减.复习参考题 5复习巩固.解析()().().().点 处的切线方程为 .解析()()()()().().()()()()()()()()()()()().()()()()().()()()()()()()()()()()()().()()()().答案 解析 由 ()的图象知()在其定义域上是增函数且()的图象先由“平缓”变“陡峭”再由“陡峭”变“平缓”.解析()切线方程为 .()切线方程为 ()即 .解析 .解析()()得 令 ()得.()的单调递增区间为()单调递减区间为().解析 ().当 ()即 时()有最小值由 得 又因为()所以 .解析()().由 (
26、)得 或 .若 ()()()()在 ()()上单调递增在()上单调递减()在 处取极小值.若 ()()()()在()()上单调递增在()上单调递减.()在 处取极大值.综上.解析 设()(且)则直线 的方程为 令 得 ().()()()()令()得 (舍去)或 ()时()()单调递增.所以当 时 的面积取得最小值为()此时直线 的倾斜角为.答案.解析()().()().细菌在 和 时的瞬时变化率分别为 和.()由()得 由().细菌在()时间段数量增加在()时间段数量减少.解析 易求曲线 在点()处的切线方程为 由 与()联立消去 得()若 则 若 则有().综上 或 .解析 设容器底面短边长
27、为 则其 邻 边 长 为(.)高 为.(.).由.得.容积(.)(.).(.).由 得 或 (舍去).时 .高为.().即高为.时容积最大最大为.解析 设圆锥的底面半径为 高为体积为 则 ()(单调递增 时).当()时()()故只需证明当 时().当 时()在()上单调递增又 ()故 ()在()内有唯一实根 且().当()时 ().从而当 时()取得最小值由 ()得 ()故 ()()().综上当 时().解析()()的定义域为 ()()().若 则 恒成立 ()令 得 当()时()所以()在()上 单 调 递 减 在()上单调递增.()因为()有两个零点所以.否则()在 上单调递减至多有一个零点与题设不符所以()即()()有 时有 即()故()无零点当()时 即()所以()在()上有一个零点 设 存 在 正 整 数 满 足 ()则()().由于 ()因此()在()上有一个零点.综上 的取值范围为().
