1、2020年6月济南市高三针对性训练数学试题参考公式：锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合N，然后进行交集的运算即可.【详解】由，所以故选：D【点睛】考查描述法的定义，以及交集的运算，是基础题.2.函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】，易知函数单调递增，,故函数上有唯一零点.故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定
2、理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知命题p，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】全称命题:，否定，是特称命题:，结合已知中原命题，可得到答案【详解】 原命题， ， 命题，的否定是:，故选:B【点睛】本题考查了命题的否定. ，的否定为， ；，的否定是，.求否定的易错点是和否命题进行混淆，属于基础题.4.如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若则圆柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据相切情况，先求得圆柱底面半径，再用圆柱表面积公式，即可求得结果.【详解】因为该球与圆柱的上下底面，母线均相切，
3、不妨设圆柱底面半径为，故，解得.故该圆柱的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查球体与圆柱体相切时的几何性质，涉及圆柱表面积的求解，属综合基础题.5.“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即.国内生产总值（GDP）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国20152019年GDP数据：年份20152016201720182019国内生产总值/万亿68.8974.6483.2091.9399.09根据表中数据，20152019年我国GDP的平均增长量为（ ）A. 5.03万亿B. 6.04万亿C. 7.55万亿D. 10.07万亿
4、【答案】C【解析】【分析】依次将2015-2019年数据代入所给公式即可求解.【详解】由题意得，20152019年我国GDP的平均增长量为：=7.55万亿.故选C.【点睛】本题考查“平均增长量”的计算，考查学生分析，计算的能力，属基础题.6.已知双曲线C的方程为，则下列说法错误的是（ ）A. 双曲线C的实轴长为8B. 双曲线C的渐近线方程为C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为【答案】D【解析】【分析】由双曲线方程求出，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离.【详解】解：由双曲
5、线C的方程为得：.双曲线C的实轴长为,故选项正确.双曲线C的渐近线方程为，故选项正确.取焦点，则焦点到渐近线的距离，故选项正确.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故选项错误.故选：.【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用，属于基础题.7.已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为一个数为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加或者减，经过6次后，结
6、果还是零的问题.则每次都有加1或者减1两种选择，共有种可能；要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，故满足题意的可能有：种可能.故满足题意的概率.故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.8.在中，.当取最大值时，内切圆的半径为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】先令，由，平方化简可得当时，有最大值，再由此求出所有边角，再设内切圆半径为，根据等面积法，求出.【详解】令，平方相加得，得，显然，当时，有最大值，则，又，得，则，设为的中点，如图所示：则，设内切圆的半径为，则，解得.故选：A【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关
7、系式，解三角形，内切圆的特点，考查了学分分析观察能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B. z可能为实数C. D. 的实部为【答案】BCD【解析】【分析】由，得，得，可判断A选项；当虚部时，可判断B选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C选项；由复数的除法运算得的实部是，可判断D选项；【详解】因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；当时，复数z是实数，故B选项
8、正确；，故C选项正确；，的实部是，故D选项正确；故选：BCD.【点睛】本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.10.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】AD【解析】【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用三角
9、形全等即可求解.【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：此时，根据反射的性质，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：此时，根据反射的性质，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，故答案选：AD【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.11.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）A. 对任意点P，平面B. 三棱锥的体积为C. 线段DP长度的最小值为D. 存在点P，使得DP与平面所成角的大小为【答案】ABC【解析】【分析】对四个选项逐
10、一分析，对于A：平面平面，可得平面；对于B：三棱锥的高均为1，底面的面积为，根据锥体体积公式计算即可作出判断；对于C：当点P为的中点时，DP最小，此时，在中利用勾股定理进行计算可得出DP的最小值；对于D：设点P在平面上的投影为点Q，为DP与平面所成的角，而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，从而作出判断.【详解】由题可知，正方体的面对角线长度为，对于A：分别连接、，易得平面平面，平面，故对任意点P，平面，故正确；对于B：分别连接、，无论点P在哪个位置，三棱锥的高均为1，底面的面积为，所以三棱锥的体积为，故正确；对于C：线段DP在中，当点P为的中点时，DP最小，此时，在中，故DP的最
11、小值为，故正确；对于D：点P在平面上的投影在线段上，设点P的投影为点Q，则为DP与平面所成的角，而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，所以不存在点P，使得DP与平面所成角的大小为，故错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行，考查棱锥体积，考查线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.12.设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（ ）A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B. 已知，则是间隔递增数列C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则【答案】B
12、CD【解析】【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】A. ，因为，所以当时，故错误；B. ，令，t在单调递增，则，解得，故正确； C. ，当为奇数时，存在成立，当为偶数时，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，则，对于成立，且，对于成立即，对于成立，且，对于成立所以，且解得，故正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则k的值为_.【答案】-3【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得的坐标，再根据数量积为零，即
13、可求得结果.【详解】因为向量，故可得，又因为，即，则，解得.故答案为：【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及向量垂直的坐标运算，属基础题.14.若，则的值为_.【答案】5【解析】【分析】将二项式等价变形为，根据变形后二项式展开式的通项公式，求得的值.【详解】，其通项公式为，故，所以.故答案为：5【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知，分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上关于轴对称的两点，的中点P恰好落在轴上，若，则椭圆C的离心率的值为_.【答案】【解析】【分析】由已知条件先判断出过左焦点且，然后求出两点坐标，再表示出点坐标，根据，利用
14、向量数量积坐标形式得到关于的方程，结合及即可求出.【详解】解：由于的中点P恰好落在轴上，又A，B是椭圆上关于轴对称的两点，所以过左焦点且，则.因为是的中点，则.又，则.因为，则，即.又，则，即，解得：或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.16.已知函数，若直线与函数，的图象均相切，则a的值为_；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求导数，根据导数几何意义确定切点坐标，代入得，与联立，利用判别式为零解得a的值.先求导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，
15、再与联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a的取值范围.【详解】,设切点为，则切点为，直线代入得，由上面可知切线方程为：，代入得，令，则当时单调递增，当时单调递减，因此所以故答案为：，【点睛】本题考查导数几何意义、两函数公切线、利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直角梯形ABCD中，将直角梯形ABCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90，形成如图所示的几何体，其中M为的中点.（1）求证：；（2）求异面直线BM与EF所成角的大小.【答案】（
16、1）证明见解析；（2）60【解析】【分析】（1）根据平面/平面，得到/，再结合垂径定理即可证明；（2）连接DN，先证明四边形ENDF为平行四边形，再求即可.【详解】（1）证明：连接CE，与BM交于点N，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD与EF相交，故C，D，F，E四点共面，因为平面平面BCE，所以，因为M为CE的中点，所以，所以N为CE中点，又，所以，即，所以.（2）连接DB，DN，由（1）知，且，所以四边形ENDF为平行四边形，所以，所以为异面直线BM与EF所成的角，因为，所以为等边三角形，所以，所以异面直线BM与EF所成角的大小是60.【点睛】本题考查线线垂直以及异面直线夹角的求解，
17、涉及由面面平行推证线线平行，；本题亦可用向量法处理，属综合基础题.18.已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前2n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用与之间的关系，即可求得，注意判断时的情况是否与结果吻合；（2）利用分组求和，结合（1）中所求，即可求得结果.【详解】（1）因为，所以当时，当时，又时符合上式，所以.（2）因为所以对任意的，则是以1为首项，2为公差的等差数列；，则是以4为首项，4为公比的等比数列.所以.【点睛】本题考查利用与的关系求数列的通项公式，以及用分组求和法求数列的前项和，涉及等差和等比数列的求和公式，属综合基础题.19.已知函数只能
18、同时满足下列三个条件中的两个：函数的最大值为2；函数的图象可由的图象平移得到；函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；（2）求方程在区间上所有解的和.【答案】（1）满足的条件为；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，条件互相矛盾，所以为函数满足的条件之一，根据条件，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件作出判断，最后求得函数解析式；（2）将代入方程，求得，从而确定出或，结合题中所给的范围，得到结果.【详解】（1）函数满足的条件为；理由如下：由题意可知条件互相矛盾，故为函数满足的条件之一，由可知，所以，故不合题意，所以函数满足的条件为；由可知，
19、所以；（2）因为，所以，所以或，所以或，又因为，所以x的取值为，所以方程在区间上所有的解的和为.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.20.法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为，求的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，
20、庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：）981972966992101010089549529699789891001100695795296998198495295998710061000977966尽管上述数据都落在上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由附：若，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量若，则，；通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解
21、析【解析】【分析】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.可求得；.从而可求得的分布列和其数学期望.（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则.由附，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则.可求得这25个数据的平均值为，而由由附数据知，由附知，事件“”为小概率事件，可得结论.【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.；.所以的分布列为：012P所以（个）.（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则.根据附，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则.庞加莱记录的25个面包质量，相当
22、于从X的取值中随机抽取了25个数据，这25个数据的平均值为，由附数据知，由附知，事件“”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎.【点睛】本题考查概率统计知识的应用，关键在于理解概率统计中的量的含义，与实际生活中的数据建立联系，属于中档题.21.已知函数.（1）若，求的最大值；（2）当时，讨论极值点的个数.【答案】（1）（2）时，极值点的个数为0个；时，极值点的个数为2个【解析】【分析】（1）利用导数求出单调性，从而求得的最大值；（2）先求导数，导数的符号由分子确定，先分和讨论，时，易得，当时，将看成关于的二次函数，由确定的符号，从而判断极值点的个数.【详解】（1
23、）当，时，此时，函数定义域为，由得：；由得：，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.（2）当时，函数定义域为，当时，对任意的恒成立，在上单调递减，所以此时极值点的个数为0个；当时，设，（i）当，即时，对任意的恒成立，即在上单调递减，所以此时极值点的个数为0个；（ii）当，即时，记方程的两根分别为，则，所以，都大于0，即在上有2个左右异号的零点，所以此时极值点的个数为2.综上所述时，极值点的个数为0个；时，极值点个数为2个.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.22.已知平面上一动点A的坐标为.（1）求点
24、A的轨迹E的方程；（2）点B在轨迹E上，且纵坐标为.（i）证明直线AB过定点，并求出定点坐标；（ii）分别以A，B为圆心作与直线相切的圆，两圆公共弦的中点为H，在平面内是否存在定点P，使得为定值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；定点（ii）存在；点【解析】【分析】（1）设动点A的坐标为，根据A的坐标为，坐标对应相等，消去参数t即可. （2）（i）根据点B在轨迹E上，且纵坐标为，得到点B的坐标为，再分和两种情况与点A用点斜式方程求解.（ii）根据圆A，B与直线相切，分别表示圆A，圆B的方程，然后两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，将，坐标代入并整
25、理，根据H是该直线与（i）中直线AB的交点，两个方程相乘即可.【详解】（1）设动点A的坐标为，因为A的坐标为，所以，消去参数t得：；（2）（i）因为点B在轨迹E上，且纵坐标为，所以点B的坐标为，当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的斜率为，所以直线AB方程为，整理得，所以直线AB过定点；（ii）因为A的坐标为，且圆A与直线相切，所以圆A的方程为，同理圆B的方程为，两圆方程相减得，将，带入并整理得，由（i）可知直线AB的方程为，因为H是两条直线的交点，所以两个方程相乘得，整理得，即点H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以存在点，满足.【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程，直线过定点以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
