1、热点题型探究专题限时集训专题十八 高考中的圆锥曲线 题型一|圆锥曲线中的最值(范围)问题 已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解(1)设 F(c,0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca 32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24y21.4 分(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykx2
2、代入x24y21 得(14k2)x216kx120.6 分 当 16(4k23)0，即 k234时，x1,28k2 4k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.8 分 又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.10 分 设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0，14分 所以，当OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y 72 x2 或 y 72 x2.16分【名师点评】与圆锥曲线有关的最值的两种解法1.数形结合法：
3、根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解.2.构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用均值不等式或导数法求最值注意：有时需先换元后再求最值.(2016南京盐城二模)在平面直角坐标系 xOy 中，点 C 在椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)上若点 A(a,0)，B0，a3，且AB32BC.(1)求椭圆 M 的离心率；(2)设椭圆 M 的焦距为 4，P，Q 是椭圆 M 上不同的两点，线段 PQ 的垂直平分线为直线 l，且直线 l 不与 y 轴重合若点 P(3,0)，直线 l 过点0，67，求直线 l 的方程；若直线 l 过点(0，1)，且与 x 轴的交点
4、为 D，求 D 点横坐标的取值范围解(1)设 C(x0，y0)，则ABa，a3，BCx0，y0a3.2 分 因为AB32BC，所以a，a3 32x0，y0a3 32x0，32y0a2，得x023a，y059a，4 分 代入椭圆方程得 a295b2.因为 a2b2c2，所以 eca23.6 分(2)因为 c2，所以 a29，b25，所以椭圆的方程为x29y251，设 Q(x0，y0)，则x209y2051.因为点 P(3,0)，所以 PQ 中点为x032，y02，因为直线 l 过点0，67，直线 l 不与 y 轴重合，所以 x03，所以y0267x032 y0 x031，10 分 化简得 x20
5、9y20127 y0.将代入化简得 y20157 y00，解得 y00(舍)或 y0157.将 y0157 代入得 x067，所以 Q 为67，157，所以 PQ 斜率为 1 或59，直线 l 的斜率为1 或95，所以直线 l 的方程为 yx67或 y95x67.12 分 设 PQ：ykxm，则直线 l 的方程为：y1kx1，所以 xDk.将直线 PQ 的方程代入椭圆的方程，消去 y 得(59k2)x218kmx9m2450.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为 N，xNx1x22 9km59k2，代入直线 PQ 的方程得 yN 5m59k2，代入直线 l 的方程得 9k24m5.又
6、因为(18km)24(59k2)(9m245)0，化得 m29k250.14 分 将代入上式得 m24m0，解得 0m4，所以 113 k 113，且 k0，所以 xDk 113，0 0，113.综上所述，点 D 横坐标的取值范围为 113，0 0，113.16 分题型二|圆锥曲线中的定点问题 如图 18-1 所示，已知圆 C：(x1)2y28，定点 A(1,0)，M 为圆上一动点，点 P 是线段 AM 的垂直平分线与直线 CM 的交点(1)求点 P 的轨迹曲线 E 的方程；(2)设点 P(x0，y0)是曲线 E 上任意一点，写出曲线 E 在点 P(x0，y0)处的切线l 的方程；(不要求证明
7、)(3)直线 m 过切点 P(x0，y0)与直线 l 垂直，点 C 关于直线 m 的对称点为 D，证明：直线 PD 恒过一定点，并求定点的坐标图 18-1解(1)点 P 是线段 AM 的垂直平分线与直线 CM 的交点，PAPM，PAPCPMPC2 2AC2，动点 N 的轨迹是以点 C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆.3 分 椭圆的长轴长为 2a2 2，焦距 2c2.a 2，c1，b21.曲线 E 的方程为x22y21.5 分(2)曲线 E 在点 P(x0，y0)处的切线 l 的方程是x0 x2 y0y1.7 分(3)证明：直线 m 的方程为 x0(yy0)2y0(xx0)，即 2y0 xx
8、0yx0y00.设点 C 关于直线 m 的对称点的坐标为 D(m，n)，则nm1 x02y0，2y0m12x0n2 x0y00，解得m2x303x204x04x204，n2x404x304x208x02y04x20，10 分 直线 PD 的斜率为 kny0mx0 x404x302x208x082y0 x303x204，12 分 从而直线 PD 的方程为 yy0 x404x302x208x082y0 x303x204(xx0)，14 分 即 x 2y0 x303x204x404x302x208x08y1，从而直线 PD 恒过定点 A(1,0).16 分【名师点评】1.动直线 l 过定点问题解法：
9、设动直线方程斜率存在为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得 ykxm，故动直线过定点m，0.2.动曲线 C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.(2016苏北四市期末)如图 18-2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e12，左顶点为 A(4,0)，过点 A 作斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E.图 18-2(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 k(k0)都有OPEQ？若存在，
10、求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M，求ADAEOM的最小值解(1)因为左顶点为 A(4,0)，所以 a4，2 分 又 e12，所以 c2，b2a2c212，所以椭圆 C 的标准方程为x216y2121.5 分(2)直线 l 的方程为 yk(x4)，由x216y2121，ykx4，消元得，x216kx42121.化简得(x4)(4k23)x16k2120，所以 x14，x216k2124k23.10 分 当x 16k2124k23时，y k16k2124k234 24k4k23，所 以D16k2124k23，24k4k23.因为 P
11、 为 AB 的中点，所以 P 的坐标为16k24k23，12k4k23，kOP 34k(k0)，直线 l 的方程为 yk(x4)，令 x0 得 E 点坐标为(0,4k)，假设存在定点 Q(m，n)(m0)，使得 OPEQ，则 kOPkEQ1，即 34kn4km1 恒成立，所以(4m12)k3n0 恒成立，所以4m120，3n0，即m3，n0，所以定点 Q 的坐标为(3,0).12 分(3)因为 OMl，所以 OM 的方程可设为 ykx，由 x216y2121，ykx，得 M 点的横坐标为 x4 34k23，由 OMl，得ADAEOM|xDxA|xExA|xM|xD2xA|xM|16k2124k
12、2384 34k23 13 4k294k23 134k2364k23 2 2，当且仅当 4k2364k23即 k 32 时取等号，所以当 k 32 时，ADAEOM的最小值为 2 2.16 分题型三|圆锥曲线中的定值问题(2016苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 P1，32，离心率为12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若直线 l 过椭圆 C 的右焦点，记ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t，求 t 的最大值；若直线 l 的斜率为 32，试探究 OA2OB2 是否为定值？若是定值，则求出此
13、定值；若不是定值，请说明理由解(1)1a2 94b21，a2b2a12，得 a24，b23.2 分 所以椭圆 C：x24y231.3 分(2)设直线 l 的方程为 xmy1，直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy1，x24y231，化简得(3m24)y26my90，易知 0，5 分 所以 y1y26m3m24，y1y293m24，所以 kAPkBPy132x11y232x21y132my1 y232my2 1m2y1y232y1y294y1y2 1m34，7 分 所以 tkABkAPkBP 1m2 34m1m382 964，9 分 所以当 m83时，t 有
14、最大值 964.10 分 设直线 l 的方程为 y 32 xn，直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y 32 xn，x24y231，得 3x22 3nx2n260，(2 3n)243(2n26)0，即 6nb0)的离心率 e 33，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆 E 的方程；(2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值【导学号：91632054】解(1)设椭圆的半焦距为 c，圆心 O 到直线 l 的距离 d611 3，b 53 2.3 分 由题意得ca 33，a2b2c2，b
15、 2，a23，b22.椭圆 E 的方程为y23x221.6 分(2)设点 P(x0，y0)，过点 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方程为 yy0k(xx0)，联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得ykxx0y0，y23x221，消去 y 得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得，(2x20)k22kx0y0(y203)0，10 分 设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2y2032x20.点 P 在圆 O 上，x20y205，k1k25x2032x20 1.两条切线的斜率之积为常数
16、1.16 分命题展望圆锥曲线中的定点、定值与最值问题反映了动点、动直线在运动变化过程中的不变性与有界性，是高考考查的热点，在复习备考时，应掌握解决此类问题的一般思路及求解策略.在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 在椭圆 C1：x22y21 上，且到椭圆 C1 的右焦点的距离与到直线 x2 的距离之比等于椭圆的离心率动点 Q是动圆 C2：x2y2r2(1rb0)过点A(2,1)，离心率为 32.图 18-3(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：ykxm(k0)与椭圆相交于 B，C 两点(异于点 A)，线段 BC被 y 轴平分，且 ABAC，求直线 l 的方程解(1)由条件知椭圆x2a2y2b
17、21(ab0)的离心率为 eca 32，所以 b2a2c214a2.3 分 又点 A(2,1)在椭圆x2a2y2b21(ab0)上，所以4a21b21，解得a28，b22.所以，所求椭圆的方程为x28y221.6 分(2)将 ykxm(k0)代入椭圆方程，得 x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280.由线段 BC 被 y 轴平分，得 xBxC 8mk14k20，因为 k0，所以 m0.10 分 因为当 m0 时，B，C 关于原点对称，设 B(x，kx)，C(x，kx)，由方程，得 x2814k2，又因为 ABAC，A(2,1)，所以ABAC(x2)(x2)(kx1)(k
18、x1)5(1k2)x2581k214k20，所以 k12.14 分 由于 k12时，直线 y12x 过点 A(2,1)，故 k12不符合题设 所以，此时直线 l 的方程为 y12x.16 分2.如图 18-4，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)已知点(1，e)和e，32 都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率图 18-4(1)求椭圆的方程；(2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直线 BF2 平行，AF2与 BF1 交于点 P.()若 AF1BF2 62，求直线 AF1 的斜率；()求证：P
19、F1PF2 是定值解(1)由题设知 a2b2c2，eca.由点(1，e)在椭圆上，得1a2 c2a2b21，解得 b21，于是 c2a21.3 分 又点e，32 在椭圆上，所以e2a2 34b21，即a21a4 341，解得 a22.因此，所求椭圆的方程是x22y21.6 分(2)由(1)知 F1(1,0)，F2(1,0)，又直线 AF1 与 BF2 平行，所以可设直线 AF1的方程为 x1my，直线 BF2 的方程为 x1my.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20.由x212y211，x11my1，得(m22)y212my110，解得 y1m 2m22m22，10 分 故
20、AF1 x112y102 my12y21 2m21m m21m22，同理 BF2 2m21m m21m22，()由得 AF1BF22m m21m22，解2m m21m22 62，得 m22，注意到 m0，12 分 故 m 2.所以直线 AF1 的斜率为1m 22.()因为直线 AF1 与 BF2 平行，所以 PBPF1BF2AF1，于是PBPF1PF1BF2AF1AF1，故 PF1AF1AF1BF2BF1.由 B 点在椭圆上知 BF1BF22 2，14 分 从而 PF1AF1AF1BF2(2 2BF2)同理 PF2BF2AF1BF2(2 2AF1)因此，PF1PF2AF1AF1BF2(2 2BF2)BF2AF1BF2(2 2AF1)2 22AF1BF2AF1BF2.又由知 AF1BF22 2m21m22，AF1BF2m21m22，所以 PF1PF22 2 22 3 22.因此，PF1PF2 是定值.16 分专题限时集训（十九）点击图标进入
