1、三明一中 20192020 学年上学期月考二 高三 理科数学 试卷 参考答案 一、选择题(本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1B【解析】因为2|30|03Ax xxxx=，所以2e=，故选 A.2019-2020 学年（上）月考二 高三理科数学试卷答案 第 1 页（共 8 页）7D【解析】圆的标准方程为（x3）2+（y+1）210，则圆心坐标为 C（3，1），半径为 10，过 E 的最短弦满足 E 恰好为 C 在弦上垂足，则 CE22(32)11 5=+=（），则|AB|222(10)(5)2 5=，故选：D 8C【解析】由题意可得：()()2225787777722222320
2、aaaadaadaa+=+=，7730,2aa=，则：222 127794b bba=.本题选择 C 选项.9D【解析】取 AB 中点O，连接O C，O P，如下图所示：ABC是斜边为 AB 的直角三角形 O为 ABC的外接圆圆心 PAPB=POAB又平面 PAB 平面 ABC，平面 PAB 平面 ABCAB=PO 平面 ABC 由球的性质可知，外接球球心O 必在 PO 上 由题意可知：3O B=，7PB=2PO=，设外接球半径为 R，在 Rt OO B中，222O OO BOB+=()2223RR+=，解得：74R=外接球表面积：2494944164SR=本题正确选项：D 10D【解析】由图
3、可知3 122A+=，3 112B=，721212T=，所以2=.由()22122kkZ+=+，2+，0 x，解得021x 则()4221654342342333133xxyxyxyxxxx+=+=+=+()163 2331553xx+=+，当且仅当1,10 xy=时取等号54xyxy+的最小值为 55故答案为：55 16【解析】令2x=得()()()2422fff+=+，即()20f=，由于函数为偶函数，故()()220ff=.所以()()4f xf x+=，所以函数是周期为4 的周期函数，故正确.由于函数为偶函数，故()()()()44484fxfxfxfx+=，所以4x=是函数图像的一条
4、对称轴，故正确.根据前面的分析，结合函数在区间0,2 上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在)6,4上单调递减，故错误.根据图像可知，()()()()2610980ffff=L，零点的周期为4，共有25 个零点，故正确.综上所述正确的命题有.2019-2020 学年（上）月考二 高三理科数学试卷答案 第 3 页（共 8 页）三、解答题（共 6 题，70 分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(本题满分 10 分)【解析】（1）因为+sinsin+sin=1，所以由正弦定理得+=1，整理得2+2 2=，所以cos=2+222=12.因为0 ，所以=23.（2）因为=4
5、13，=12，=23，所以由余弦定理2=2+2 2cos，得208=2+144 2 12cos23，解得=4或=16（舍）.所以=12 sin=12 12 4 sin23=123.18.(本题满分 12 分)【解析】（1）由(1)nnSnan n=+得()()1111nnSnan n+=+，所以()+1112nnnnSSnanan+=+，又11nnnSSa+=所以12nnnanan+=+，故12nnaa+=.故数列 na是公差为 2 的等差数列，且 5a 是2a 和6a 的等比中项，即2526aa a=，得()()()21118210aaa=，解得111a=，所以132nan=.（2）由题得1
6、11112 132112nnnba ann+=，12nnTbbb=+L111111121199713211 2nn=+L1112 1111212122nnn=19.(本题满分 12 分)【解析】（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x=，此时与圆相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)yk x=+，即0kxyk+=，若直线与圆相切，则圆心(0,3)到直线的距离等于半径 1，所以2311kk+=+，解得43k=，所以直线l 的方程为4(1)3yx=+，即4340 xy+=.综上，直线l 的方程为1x=或4340 xy+=.（2）CM MN，=()+AM ANA
7、CCMANAC AN CM ANAC AN=+2019-2020 学年（上）月考二 高三理科数学试卷答案 第 4 页（共 8 页）若直线l 与 x 轴垂直时，不符合题意；所以l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)yk x=+，则由36(1)1 336051 3kxyk xkxykyk=+=+，即365(,)1 31 3kkNkk+55(,)1 31 3kANkk=+，从而5155=1=1 33kAM ANAC ANkk+=+综上所述，=5AM AN 20.(本题满分 12 分)【解析】（1）证明：连接1AB，因为四边形11ABB A 是菱形，则11A BAB因为平面11ABB A 平面 AB
8、C，且 AB 为交线，BCABBC平面11ABB A1BCA B11/BCB C111A BB C 又1111ABC BB=1A B 平面11AB C （2）取11A B 的中点 M，连接，易证 BM 面 ABC，且 ABBC，以 BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，BM 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 BCt=，则()2,0,0A，()1 1,0,3A，()0,0Ct 因为四边形11A ACC 为平行四边形，则()111113,3ACAAACAAACt=+=+=易知 ABC 的一个法向 量为()0,0,1n=，1121,35cos512AC nAC ntAC=+，解得3t=()
9、()111,0,3,3,3,3A AAC=，设平面11AAC 的法向量()1111,xny z=，11111111303330nA AxznACxyz=+=，令11z=，则()13,2,1n=由（1）可得面11AB C 的法向量()11,0,3BA=，1111116cos=二面角111AACB的余弦值为64 21.（本题满分 12 分)【解析】（1）解法 1Q 抛物线2y4x=的焦点为 F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为1F1,0（），()2F 1,0 又椭圆过点31 2P，由椭圆的定义知，122PFPF4a=+=，2a=，又1c=，3b=椭圆的方程为22143xy+=2019
10、-2020 学年（上）月考二 高三理科数学试卷答案 第 5 页（共 8 页）（1）解法 2Q 抛物线2y4x=的焦点为 F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为1F1,0（），()2F 1,0 又椭圆过点31 2P，222219141abab=+=解得2a=，3b=椭圆的方程为22143xy+=（1）解法 3Q 抛物线2y4x=的焦点为 F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为1F1,0（），()2F 1,0 又椭圆过点31 2P，232ba=221323202aaaa=，0a 可解得2a=，3b=椭圆的方程为22143xy+=（2）解法 1由22143ykxmxy=+=消
11、去 y 整理得()2223484120kxmkxm+=，直线与椭圆交于不 同的两点，()()2222644 344120m kkm=+，整理得2243mk+设()()1122,M x yN xy，线段 MN 的中点 A()00,xy，则21212228412,3434mkmxxx xkk+=+，024,34mkxk=+20022433434mkmykxmmkk=+=+=+，点 A 的坐标为2243,3434mkmkk+，直线 AG 的斜率为22232434413234348AGmmkkmkmkkk+=+，又直线 AG 和直线 MN 垂直，22413234mkmkk=，2348kmk+=，将上式
12、代入式，可得22234438kkk+，解得551010kk 或 实数k 的取值范围为55,1010+（2）解法 2设()()()1122,M x yN xyA x y 则22111,43xy+=22221,43xy+=两式相减得 2222121243xxyy=即 1212121234yyxxxxyy+=+点 A 满足方程34yxk=.又 直线 AGMN且过点1,08G点 A 也满足方程118yxk=2019-2020 学年（上）月考二 高三理科数学试卷答案 第 6 页（共 8 页）联立解得13,28xyk=，即13,28Ak 点 A 在椭圆内部22143xy+21311664k+551010k
13、k 或 k 的取值范围为55,1010+22.(本题满分 12 分)【解析】（1）因为()f x 的定义域为()0,+，又()()()()1+1xxaafxxaxx+=+=，所以当0a 时，()0fx，()f x 在()0,+单调递增 当0a 时，若0 xa 时，()0fx，()f x 在()0,a单调递减；若 xa时，()0fx，()f x 在(),a+单调递增 综上，当0a 时，()f x 在()0,+单调递增；当0a 时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a+单调递增 （2）当0a 时，由（1）知，()()()2min1ln2f xfaaaaa=+，令()()21ln2g x
14、xxxx=+，0 x，则()()lngxxx=+，令()()lnh xxx=+，0 x，则()1110 xh xxx=+=，所以()h x 在(),0单调递减，又11102hee=，111 0hee=，所以存在011,xee，使得()00h x=，且()00ln0 xx+=，所以当()0,xx 时，()0gx，()g x 单调递增；当()0,0 xx时，()0gx，()g x 单调递减；2019-2020 学年（上）月考二 高三理科数学试卷答案 第 7 页（共 8 页）所以当0 xx=时，()g x 取得最大值，因为()()22220000000000111ln222g xxxxxxxxxx=+=+=()2011122x=，令()()211122k xx=，11,xee，则()k x 在11,ee单调递减，所以()2111111213225315k xeeee =+=，所以()01315g x，因此当0a 时，()min1315f x，即1315M 2019-2020 学年（上）月考二 高三理科数学试卷答案 第 8 页（共 8 页）
