1、一轮大题专练14导数（任意、存在性问题2）1已知函数，（1）讨论的单调性；（2）当，时，求证：解：（1）的定义域为，当时，即在上单调递减；当时，由，解得，由，解得，即在上单调递减，在，上单调递增综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增（2）证明：，即，令，则，令，则，令，则，所以即在上单调递增，又，当时，则恒成立，即在上单调递增，则有；当时，则，即存在使得，即，且，即，综上所述，恒成立，即在上单调递增，所以，即2设，已知函数，函数（）若，求函数的最小值；（）若对任意实数和正数，均有，求的取值范围（注为自然对数的底数）解：（）当时，为增函数，且，所以在递减，在递增，所以（
2、）因为，由于函数在上单增，且，（1），所以存在唯一的使得且再令，可知在单增，而由可知，所以于是，所以又为增函数，当时，当时，；又当时，当时，（3），所以对任意，存在唯一实数，使得，即，且由题意，即使得，也即，即，又由于单增且，所以的值范围为，代入，求得的取值范围为，3已知函数在处取得极值，（1）求的值与的单调区间；（2）设，已知函数，若对于任意、，都有，求实数的取值范围解：（1）由题意得的定义域为，函数在处取得极值，（2），解得，则由得或，、的关系如下表：200递增极大值递减极小值递增函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；（2）由（1）得函数，当时，对任意、，都有，即当，时，在，上单调递减，
3、在，上单调递减，则，则，即，解得或，结合，得，故实数的取值范围为4已知函数，（1）设函数，求的单调区间和极值；（2）对任意的，存在，使得，求的最小值解：（1）由已知所以（1分）当时，恒成立，所以在定义域单调递增，没有极值（2分）当时，令，得，列表得负0正单减极小值单增所以，在区间单调递减，在单调递增，时取到极小值（a），没有极大值（5分）综上，当时，在定义域单调递增，没有极值当时，在区间单调递减，在单调递增，（a），没有极大值（6分）（2）由已知，设即，解得，所以，令，（8分）则令，则恒成立，所以在单调递增，且（1）当时，所以单调递减当时，所以单调递增，即时取到极小值，也是最小值，所以（1）所以的最小值为（12分）5已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1），定义域是，令，即时，恒成立，即恒成立，在单调递增，即或时，有2个不相等的实数根，此时，时，故时，即，时，即，时，即，故在递增，在，递减，在，递增；时，时，递增，综上：时，在单调递增，时，在递增，在，递减，在，递增（2），当时，在，上恒成立，在，上单调递增，（1），故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，即恒成立，记（a），则（a），令（a），则（a），所以（a）在上递减，所以（a）（1），故（a），所以（a）在上单调递减，所以（2），即实数的取值范围为，
