1、湖北省孝感高级中学高中数学一道课本习题的探索性学习与类比论文 探索性学习是培养学生能力的有效途径之一，笔者从一道课本习题出发，引导学生在课堂上积极求索，突破和创新，课后忘我参与，兴趣盎然，并惊喜的得到了两个优美，实用的结论，取得了良好的效果。1原题呈现原题（普通高中课程标准实验教科书数学必修4第144页第5题）设利用三角变换，估计在时的取值情况，进而对取一般值时的取值范围作出一个猜想。 倘若仅满足把答案猜想出来，无异于“入宝山而空返”，学生也意犹未尽，猜想是否正确？该怎样证明呢？笔者在课堂上让学生探索其证明思路和方法。2猜想的多角度证明生1：既然是2k 次方，可以考虑用二项式定理将其展开，但不
2、能合并，于是可以先用二倍角公式即可。具体过程由学生共同完成后整理如下：证法1（利用二倍角公式和二项式定理证明）因为 而所以由不等式和组合数的性质得所以生2：我是从函数角度考虑的，通过同角关系式，可以构造幂函数，再利用导数知识证明，具体过程如下：证法2（通过构造函数，利用导数知识证明）令则当时，猜想成立；当时，由得当时，当时，故在上单减，在上单增，故又所以生3：我考虑的是要证明的结论与正整数有关，故可以利用数学归纳法证明。证法3（利用数学归纳法证明）用数学归纳法证明当时，当时，结论显然成立；假设和时结论成立，即则时，注意到，一方面另一方面故即也成立。综合由第二数学归纳法知，师：还有没有其它证明方
3、法呢？能否从凸函数的性质考虑呢？生4：哦！我明白了，可以利用不等式的性质和下凸函数的性质证明，具体过程如下： 3类比探究 “”的取值范围已经得到完美解决，的差，商，积与倒数和的最值情况怎样？此时下课铃响了，此问题同学们课后再考虑。同学们兴致都很高，第二天便将成果教给了我，于是得到下面两个优美结论。结论1若则 证明因为 当且仅当“即”取等号，所以结论2若则 证明因为由得当时，当时，所以即时，4结论应用例1（数学通讯2012问题99）设为锐角，求函数的最小值。 解析这里有两个独立变量，先将看作常量，看作变量，由结论1知， 故由结论2知，当且仅当“”时，例2（2010联盟杯预赛题）已知求的最小值.解
4、析利用结论2，令得最小值为.当且仅当“”等号成立.5延伸思考 通过本例的证明与拓展，学生掌握了相关的知识与技能，体会到知识的联系与综合，这说明只要我们重视教材的使用，在处理教材问题时不浅尝辄止，注意引导学生吃透课本典型问题的内涵，挖掘这些问题的潜在价值，并鼓励学生对它们进行力所能及的类比，就可以让学生变得更轻松，更主动，并使他们在创造性思维能力得到发展的同时，体会到学习数学的乐趣.课本上的不少例题，习题背景丰富深刻，解题思想耐人寻味，是最好的探究素材，若教师有意识地去引导学生探究和挖掘，往往会得到一些有价值的结论和重要的解题思想，同时对激发学生的探究兴趣，培养学生的创新能力和理性精神均大有裨益.
