1、试卷第 1页，共 9页涉及绝对值的数列问题解析一、单选题1已知数列 na为递增等差数列，且满足33S ，1238a a a，则na的前 5 项和为（）A-20B10C20D24【答案】C【分析】根据题意知33S ，1238a a a，列出关于1a 和d 的方程组，可解出1a 和d，即可分别求出前五项，即可求出前五项的和.【详解】3122221=33333()()84Sadadad a ada 或132da，因为数列 na为递增数列等差数列，所以3d ，14a ，所以na前 5 项分别为 4，1，2，5，8，所以前五项和为20.故选：C.2已知数列 na的前 n 项和2141nSnn，若123n
2、nTaaaa，则30T（）A578B579C580D581【答案】B【分析】由,nnaS 的关系得出通项公式，再讨论7n，8n 两种情况，结合求和公式得出30T.【详解】当1n 时1114aS，当2n 时，11522nnnan nSS，经检验1n 时，不成立.故得到14,1152,2nnan n.令0na，则1520n，解得152n，且2n，*nN当7n 时，12312nnnTaaaaaaa13 15211412n nn n ，当8n 时，1231789.nnnTaaaaaaaaa77nSSS试卷第 2页，共 9页2272100(141)1499nSSnnnn，故：2141,71499,8nn
3、 nnTnnn，30579T.故选：B.3若数列 na通项公式为13nan，则满足119102kkkaaa的正整数 k 的个数为（）A 0B1C 2D3【答案】C【分析】本题首先可讨论当13k 时，根据13nan得出1192070kkkaaak+=-，通过计算排除这种情况，然后讨论当013k时，通过等差数列求和公式得出()()()()11913147622kkkkkkakaa+-+=-+，通过计算即可得出结果.【详解】当13k 时，()()()119131262070102kkkaaakkkk+=-+-+=-=，解得435k，不满足题意，舍去；当013k时，()()()11913121 0 1
4、6kkkaaakkk+=-+-+13147610222kkkk，即27100kk，解得2k 或5k，满足题意，故满足条件的 k 的个数有两个，故选：C.4已知等差数列 na满足：1212111222nnaaaaaa1233372222naaa，则n的最大值为（）A18B16C12D8【答案】C【分析】根据等差数列性质分析题中数列变化规律，计算得出结果.【详解】121211172222nnaaaaaa na不为常数列，且数列的项数为偶数，设为*2k kN试卷第 3页，共 9页则，一定存在正整数 k 使得100kkaa，或100kkaa，不妨设100kkaa，即，11110010000kkadak
5、daaakd从而得，数列 na为单调递增数列，1002kkaa，且，1212311122332222nnaaaaaa330-22kkaa，同理1102ka 即，1113312221122kkaakddaakd 根据等差数列的性质，12212.kkkkaaaaaakd21212212212.72nkkkkkaaaaaaaaaaaak d27272362kd22612nk所以 n 的最大值为 12，选项 C 正确，选项 ABD 错误故选：C.5等差数列12,na aa*3,nn N，满足121|1|naaaa2|1|a|1|na12|2|2|2|2019naaa，则（）A n的最大值为 50B n
6、的最小值为 50C n 的最大值为 51Dn 的最小值为 51【答案】A【分析】首先数列 na中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设100kkaa，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出 n的最大值.【详解】na为等差数列，则使121212|111222|2019nnnaaaaaaaaa ，所以数列 na中的项一定有正有负，不妨设10,0ad，因为121212|111222|2019nnnaaaaaaaaa 为定试卷第 4页，共 9页值，故设100kkaa，且120+10kkaa，解得3d.若0ia 且10ia ，则11iiaa，同理若0ia，则11iiaa .所以111111
7、kknniiiiiii ki kaaaak ，所以数列 na的项数为 2k，所以12|naaa12122kkkkaaaaaa 121222kkaaaaaa 1112212222k kkkkadkad 22019k d，由于3d，所以2220193k dk，解得2673k，故25,50kn，故选 A.【点睛】本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.6设等差数列1a，2a，na（3n，*Nn)的公差为d，满足1211naaaa2121122naaaa 2nam，则下列说法正确的是A3d B n的值可能为奇数C存在*i
8、N，满足 21ia Dm 的可能取值为11【答案】A【分析】根据题意，设出绝对值函数()2(1),3f xxxdxdxnd n，根据绝对值函数的性质判断即可【详解】因为1211naaaa2121122naaaa 2nam所以111+(1)aadand11111+1(1)aadand 111222+(1)aadandm令()2(1),3f xxxdxdxnd n则111()(1)(2)f af af am（）当0d 时，()f xn x，不满足（），舍去试卷第 5页，共 9页当0d 时，由（）得()f x 为平底型，故 n 为偶数(4)n()f x 的大致图像为：则11112(1)22nndaa
9、ad 所以(1)+=322nnddd，故 A 正确由1111212(1)222(1)2n danndadnad 当1,2,2ni 时1(1)2(1)(1)()222innaaiddidid 当+1,+2,22nnin时1(1)1(1)=1+(1)122innaaiddidid 故不存在*iN，满足 21ia ，C 错112122()nnnmf aaaaaa1212222()()nnnnaaaaaa2112=()24nnnaad 由于4,3nd所以2124nmd，故 D 错当0d 时，令0dd 由于()f x的图像与()fx的图像关于 y 轴对称，故只需研究()fx故令()()g xfx2(1)
10、,3xxdxdxnd n 2(1),3xxdxdxndn因为111()(1)(2)f af af am所以111()(1)(2)gagagam由知()g x 为平底型，故 n 为偶数(4)n，故 B 错试卷第 6页，共 9页令1111,(1)1iiaaaaida 所以()(1)(2)iiig ag ag am3dd，故 A 正确由知，不存在*iN，满足 21211 12iiiaaa ，故 C 错由知，2()124inmg ad，故 D 错综上所述，A 正确,BCD 错误故选 A.【点睛】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题二、填空题7 na为等差数列，则使等式1212111nna
11、aaaaa12122223332018nnaaaaaa能成立的数列 na的项数 n的最大值为；【答案】50【分析】根据题意得到数列项数为偶数设为2nk，根据关系得到3d，计算得到关系式22018k d，计算得到答案.【详解】an为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+|an|，|a1+1|+|a2+1|+|an+1|，|a1+2|+|a2+2|+|an+2|，|a1+3|+|a2+3|+|an+3|，则：数列an中的项一定满足100nnaa 或100nnaa，且项数 n 为偶数，设 n2k，等差数列的公差为 d，首项为 a1，不妨设1 00kkaa，则：a10，d0，且：ak+30，试卷第 7
12、页，共 9页由1 03 0kkaa，可得 d3，所以：|a1|+|a2|+.+|an|a1a2a3ak+ak+1+ak+2+a2k，2（a1+a2+a3+ak）+（a1+a2+a3+ak+ak+1+a2k）2（112k kkad）+（122122kkkad），k2d2018，由于：d3，所以：k2d20183d2，解得：k2672，故：k25，故：n50故答案为 50【点睛】本题考查了数列的项数的计算，确定项数为偶数和3d 是解题的关键.8 na为等差数列，则使等式12naaa12111naaa 1233aa1235552019nnaaaa能成立的数列 na的项数 n 的最大值是.【答案】40
13、【分析】易得 na中有正有负,再设1,kka a 分别为由正变负或由负变正的临界两项,再去绝对值分析即可.【详解】易得 na中有正有负,则数列 na中的项一定满足100kkaa 或100kkaa,且项数为偶数.不妨设100kkaa,设公差为d,则此时10,0ad,且2nk.Zk 又12naaa12111naaa 1233aa1235552019nnaaaa.故5d.故122019naaa有123122.kkkkaaaaaaa试卷第 8页，共 9页 1231232122.kkkaaaaaaaaa 211(1)2(21)22201922k kkkkadkadk d.因为5d,故2222019201
14、95403.85k dkk.因为Zk 故20k,40n 故答案为：40【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质的分析,需要根据题意分析出公差满足的条件,再根据条件列出对应的表达式求范围即可.属于难题.9已知等差数列na满足：12121|1|1|1|1|nnaaaaaaa2|1|1|2021naa，则正整数 n的最大值为【答案】62【分析】设2,nk kN，等差数列的公差为d，不妨设100kkaa，则10,0ad，且10ka ，即1ka ，根据110ka ，得到即有2d，再根据等差数列的前 n 项和公式，求得22021k d，从而得出220212k，即可求解.【详解】解：由题意知：等差数列 na
15、满足1212111nnaaaaaa1211aa L12021na，故等差数列不是常数列，且 na中的项一定满足100nnaa 或100nnaa，且项数为偶数，设2,nk kN，等差数列的公差为d，不妨设100kkaa，则10,0ad，且10ka ，即1ka ，由110ka ，则111kdakd ，即2kd，即有2d，则121212kkknaaaaaaaaLL211(1)(1)()202122k kdk kkak akddk d，可得220212k，解得202131.72k，即有 k 的最大值为 31，n 的最大值为62.试卷第 9页，共 9页故答案为：62.10已知数列 na是等差数列，若11
16、11112342023nnnnniiiiiiiiiiaaaaa，则数列 na的项数n 的最大值是.【答案】44【分析】构造函数 1nifxxid，则 fx 的图像与直线2023y 至少有5个公共点，确定20232nfd，4d，得到22023n，得到答案.【详解】设等差数列的公差为d，构造函数 1nifxxid，则 fx 的图像与直线2023y 至少有5个公共点，横坐标分别为nad，1nad，2nad，3nad，4nad，根据绝对值函数的性质知：当 n为奇数时，函数图像关于12nxd对称，12nxd时有最小值，此时最多有 2 个交点，不满足题意，当 n为偶数时，函数图像在2,22nndd上是一条水平的线段，可以有5个交点，故2123422nnnnnnndadadadadadd，且2202322nnfdfd，故24422nnnndddadad，即4d，2202324nnfdd，故2420232023nd，故44n.故答案为：44.【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，数列的绝对值求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数 1nifxxid，再根据其性质得到22023n 是解题的关键.
