1、单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:B解析:21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,复数21-i的共轭复数为1-i.2.已知O是ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2OA+OB+OC=0,则()A.AO=2ODB.AO=ODC.AO=3ODD.2AO=OD答案:B解析:由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD=2AO,所以OD=AO,故选
2、B.3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=()A.-3B.-2C.2D.3答案:C解析:由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以ABBC=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.4.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a2答案:D解析:如图,设BA=a,BC=b,则BDCD=(BA+BC)BA=(a+b)a=a2+ab=a2+aacos60=a2+12a2=32a2.5.已知复数z=a+a+i3-i(aR,i为虚数单位),若
3、复数z的共轭复数的虚部为-12,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:由题意,得z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,z=13a-110-(a+3)i10.又复数z的共轭复数的虚部为-12,-a+310=-12,解得a=2.z=52+12i,复数z在复平面内对应的点位于第一象限.6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案:C解析:设点P坐标为(x,0)
4、,则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.故点P坐标为(3,0).7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若为实数,(b+a)c,则的值为()A.-311B.-113C.12D.35答案:A解析:由题意,得b+a=(1,0)+(1,2)=(1+,2).因为c=(3,4),(b+a)c,所以(b+a)c=0,即(1+,2)(3,4)=3+3+8=0,解得=-311,故选A.8.(2020全国,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6
5、,则cos=()A.-3135B.-1935C.1735D.1935答案:D解析:a(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2ab=25+36-12=49,|a+b|=7,cos=a(a+b)|a|a+b|=1957=1935.9.已知向量a,b满足|a-b|=3,且b=(0,-1).若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=()A.2B.23C.4D.12答案:A解析:由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=9,所以ab=|a|2+|b|2-92=|a|2-82.由向量a在向量b方向上的投影为-2,得ab|b|=|a|2-82=-2,
6、即|a|2=4,所以|a|=2,故选A.10.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,512答案:D解析:由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos,2+2sin),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.11.已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(tR)的最小值为()A.2B.3C.2D.5答案:B解析:依题
7、意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,AOB=180-230=120,(OA-tOB)2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为3.12.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且ab=1.若e为平面单位向量,则(a+b)e的最大值为()A.6B.6C.7D.7答案:C解析:(a+b)e=ae+be|ae|+|be|=ae|e|+be|e|,其几何意义为a在e方向上的投影的绝对值与b在e方向上的投影的绝对值的和,当e与a+b共线时,取得最大值
8、,(|ae|+|be|)max=|a+b|=|a|2+|b|2+2ab=7,则(a+b)e的最大值为7,故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则AEAF的最大值为.答案:92解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,12.设F(x,y),则0x2,0y1,则AEAF=2x+12y,令z=2x+12y,当z=2x+12y过点(2,1)时,AEAF取最大值92.14.(2020全国,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1
9、+z2=3+i,则|z1-z2|=.答案:23解析:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR.|z1|=|z2|=2,a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,a+c=3,b+d=1.(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.2ac+2bd=-4.(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=23.15.已知正方形ABCD的边长为1,P为正方形ABCD内一点,则(PA+PB)(PC+PD)的最小值为.答案:-1解
10、析:如图,建立平面直角坐标系.则A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1).设P(x,y),则PA=(-x,1-y),PB=(-x,-y),PC=(1-x,-y),PD=(1-x,1-y),(PA+PB)(PC+PD)=(-2x,1-2y)2(1-x),1-2y=(1-2y)2-4(1-x)x=(1-2y)2+(2x-1)2=1,当x=12,y=12时,(PA+PB)(PC+PD)有最小值,且最小值为-1.16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=1-x2上的一个动点,则BPBA的取值范围是.答案:0,2+1解析:如图,画出函数y=1-x2的图象.这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设BP与BA的夹角为,则0,2.当0,4时,cos4-=|BP|2,当4,2时,cos-4=|BP|2.因为y=cosx,xR是偶函数,所以|BP|=2cos-4,0,2.BPBA=|BP|BA|cos=22cos-4cos=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=2sin2+4+1.因为0,2,所以2+44,54.当2+4=2,即=8时,BPBA取最大值2+1,当2+4=54,即=2时,BPBA取最小值0,所以BPBA的取值范围是0,2+1.
