1、3.2.2 函数模型应用举例课堂导学三点剖析一、函数模型的确定【例1】 以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表：身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数y=ax+b,y=alnx+b,y=abx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，
2、那么该地区某中学一男生身高为175 cm，体重为78 kg，他的体重是否正常？思路分析：可先根据表中的数据，描点画出函数图象（散点图），再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定常数，最后将表中的身高数据代入求得的解析式，看所得的函数值是否与已知体重数据基本吻合.解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，如右图.根据点的分布特征可考虑用函数y=abx反映上述数据之间的对应关系. 把x=70,y=7.90和x=170,y=55.05两组数据分别代入y=abx， 得 解得a2，b1.02, 故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系
3、式可选取为y=21.02x. 将已知数据代入所得函数解析式，可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与身高的关系. （2）把x=175代入y=21.02x， 得y=21.0217563.98. 7863.981.221.2，这名男生体重偏胖.二、数学模型的应用【例2】 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示:月份用气量煤气费14 m34元225 m314元335 m319元该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量A m3,那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元;若用气量超过A m3,那么超出部分付超额费,每立方米为B元,又知
4、保险费C不超过5元,试根据上述条件及数据求A、B的值.思路分析:关键在于找出煤气费与用量间的函数关系，这显然是一分段函数.解:设月用气量为x m3,支付的煤气费为y元,依题意有， 0C5, 33+C8. 二、三月份煤气费满足 若一月份用气超过A m3,则4A, 4=3+0.5(4-A)+C,这不可能. 4=3+C，C=1,B=,A=5.温馨提示 解决实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际问题转化成相应的函数来解决.函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型.并利用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测，在用函数模型解决实际问题的过程中，涉及复杂的
5、数据处理，要注意充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量.各个击破类题演练1我国19902000年的国内生产总值如下表所示：年份1990199119921993产值/亿元18 598.421 662.526 651.934 560.5年份1994199519961997产值/亿元46 670.057 494.966 850.573 142.7年份199819992000产值/亿元76 967.180 422.889 404.0（1）描点画出19902000年国内生产总值的图象；（2）建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出其图象；（3）根据所建立的函数模型，预测20
6、04年的国内生产总值.解析：（1）取自变量x为0，1，10，对应年份为1990，1991，2000得函数图象，如下图： （2）根据图象，取函数模型y=abx. 取2组数据： （2，26 651.9）,(8,76 967.1). 代入y=abx得 解得a18 715.5,b1.19，得函数模型： y=18 715.51.19x. 将其他数据代入上述函数解析式，基本吻合. （3）令x=14得y213 726.8（亿元）， 根据所建函数模型预测2004年的国内生产总值为213 726.8亿元.类题演练2已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=-（x-30）2+8（
7、万元）.现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得年利润Q（x）=-（100-x）2+(100-x)（万元）.新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1 000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？（2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？（3）从新旧产品的五年总利润中最高拿出
8、70%来，能否还清对银行的欠款？解析：（1）五年利息是1 0000.0555=275（万元），本利和为1 275万元.（2）设从第三年年初起每年旧产品投入x万元，新产品投入（100-x）万元，于是每年的利润是W=P（x）+Q(100-x)=-（x-30）2+8+-100-(100-x)2+100-(100-x)=(-x2+x-1)+(-x2+x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675. 投入旧产品26万元，新产品74万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是675万元. （3）因为P（x）在（0，30上是增函数，所以在100万元的生产准备金中除用于新产品开发外，剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是，头2年的利润是W1=2P（20）=14（万元）；后3年的利润是W2=3P（26）+Q（74）=3675=2 025（万元），故5年的总利润是W=W1+W2=2 039万元，又2 03970%=1 427.31 275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70%来，能够还清对银行的欠款.
