1、2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD4设l、m、n为不同的直线，、为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的
2、个数是（）若，l，则l若，l，则l若lm，mn，则ln若m，n且，则mnA4B3C2D15直线x+（a2+1）y+1=0（aR）的倾斜角的取值范围是（）A0，B，）C0，（，）D，），）6如果圆（xa）2+（ya）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A（3，1）（1，3）B（3，3）C1，1D（3，11，3）7已知M=（x，y）|x2+2y2=3，N=（x，y）|y=mx+b若对于所有的mR，均有MN，则b的取值范围是（）ABCD8如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（
3、不包括端点）若GDEF，则线段DF的长度的取值范围是（）A，1）B，2）C1，）D，）9已知A，B是球O的球面上两点，AOB=60，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A36B64C144D25610如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为（）ABCDP211椭圆的两焦点为F1（c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）ABCD12如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成A1CD，所成二面角A1CDB的平面
4、角为，则（）AA1CBBA1DBCA1DBDA1CB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）13若命题“xR，使得ax2+ax+10”为假命题，则实数a的取值范围为14在平面直角坐标系内，已知B（3，3），C（3，3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则的值为15已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于16椭圆上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积|OP|OQ|的最小值为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知p：|
5、1|2；q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围18如图所示，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADC=DCB=90，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC底面ABCD，E为AB的中点（1）求证：平面PDE平面PAC；（）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值19已知圆C：x2+y2+2x4y+3=0（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程20椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，1）的直线l交椭圆
6、于A，B两点（） 求椭圆的方程；（） 若直线l交x轴于N，求直线l的方程21在多面体ABCDE中，BC=BA，DEBC，AE平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点（）求证：EF平面ACD；（）若EA=EB=CD，求二面角BADE的正切值的大小22如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（ab0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B（1）求椭圆C的方程（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分
7、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】m并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且m，显然能得到m，这样即可找出正确选项【解答】解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分条件故选B2已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的
8、方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的标准方程【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意， =，抛物线y2=4x的准线方程为x=，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，双曲线的方程为故选：D3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体
9、，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为： =故选：A4设l、m、n为不同的直线，、为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）若，l，则l若，l，则l若lm，mn，则ln若m，n且，则mnA4B3C2D1【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据面面垂直和线面垂直的性质进行判断根据线面垂直的判定定理进行判断根据线面垂直和直线平行的性质进行判断根据线面平行和面面平行的性质进行判断【解答】解：若，l，则l或l，故错误，若，l，则l或l，故错误，若lm，mn，则ln或l与
10、n相交或l与n异面，故错误，若m，则m，若n，则mn故正确，故正确的是，故选：D5直线x+（a2+1）y+1=0（aR）的倾斜角的取值范围是（）A0，B，）C0，（，）D，），）【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的方程得 斜率等于，由于 01，设倾斜角为 ，则 0，1tan0，求得倾斜角 的取值范围【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（aR）的 斜率等于，由于 01，设倾斜角为 ，则 0，1tan0，故选 B6如果圆（xa）2+（ya）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A（3，1）（1，3）B（3，3）C1，1D（3，11，3）【考点】点与圆的位置关系【分析】圆
11、（xa）2+（ya）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和【解答】解：问题可转化为圆（xa）2+（ya）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d=|a|，由Rr|OO1|R+r得，解得：1|a|3，即a（3，1）（1，3）故选A7已知M=（x，y）|x2+2y2=3，N=（x，y）|y=mx+b若对于所有的mR，均有MN，则b的取值范围是（）ABCD【考点】交集及其运算【分析】由MN，可得y=mx+b与x2+2y2=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b的取值范围【解答】解：由题意，MN，y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可
12、得（1+2m2）x2+4mbx+2b23=0=16m2b24（1+2m2）（2b23）02b23+6m2对所有mR，均有MN，2b23b故选：C8如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）若GDEF，则线段DF的长度的取值范围是（）A，1）B，2）C1，）D，）【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征【分析】建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GDEF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0
13、），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GDEF，所以 x+2y1=0DF=0x1，0y1，0y，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选A9已知A，B是球O的球面上两点，AOB=60，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A36B64C144D256【考点】球的体积和表面积【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，利用三棱锥OABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端
14、点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB=R=，故R=4，则球O的表面积为4R2=64，故选B10如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为（）ABCDP2【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|BF|=x1+=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出的值【解答】解：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|BF|=x1+=x1，同理|CD|=x2，又=|AB|CD|=x1x2=故选A11椭圆的两焦点为F1（c，0）、F2（c，0），P为直线上
15、一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据 线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于1，求出m2的解析式，再利用 m20，得到3e4+2e210，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围【解答】解：由题意得F1（c，0），F2（c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K（，），线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于1，=1，m2=（+c）（3c）0，a42a2c23c40，3e4+2e210，e2，或e21（舍去），e又椭圆的离心率0e1，故e1，故选
16、：D12如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成A1CD，所成二面角A1CDB的平面角为，则（）AA1CBBA1DBCA1DBDA1CB【考点】二面角的平面角及求法【分析】设ADC=，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1在空间图形中，连结A1B，设A1B=t推导出cosA1DB=过A1作A1NDC，过B作BMDC，垂足分别为N、M过N作NPMB，使四边形BPNM为平行四边形，则NPDC连结A1P，BP，A1NP就是二面角A1CDB的平面角，A1NP=由此能推导出A1DB【解答】解：设ADC=，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1在空间图形中，连结A1B，设A1B=t
17、在A1DB中，cosA1DB=过A1作A1NDC，过B作BMDC，垂足分别为N、M过N作NPMB，使四边形BPNM为平行四边形，则NPDC连结A1P，BP，则A1NP就是二面角A1CDB的平面角，所以A1NP=在RtA1ND中，DN=A1DcosA1DC=cos ，A1N=A1DsinA1DC=sin 同理，BM=PN=sin ，DM=cos ，故BP=MN=2cos 由题意BP平面A1NP，故BPA1P在RtA1BP中，A1P2=A1B2BP2=t2（2cos ）2=t24cos2在A1NP中，cos =cosA1NP=cos cosA1DB=cosA1DB+cosA1DB=cosA1DB+
18、=（1+cosA1DB）0，cos cosA1DB（当=时取等号），A1DB0，而y=cos x在0，上为递减函数，A1DB故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）13若命题“xR，使得ax2+ax+10”为假命题，则实数a的取值范围为0，4）【考点】特称命题【分析】命题“xR，使得ax2+ax+10”为假命题，即ax2+ax+10恒成立，分当a=0时和当a0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案【解答】解：命题“xR，使得ax2+ax+10”为假命题，ax2+ax+10恒成立，当a=0时，10恒成立，满足条件，当a0时
19、，若ax2+ax+10恒成立，则，解得：a（0，4），综上所述：a0，4），故答案为：0，4）14在平面直角坐标系内，已知B（3，3），C（3，3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则的值为35【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出的坐标，计算数量积【解答】解： =（x+3，y3），=（x3，y+3），=（x+3）（x3）+（y3）（y+3）=x29+y227=136=35故答案为3515已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于【考点】弧长公式【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类
20、：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，所以弧FG的长为这样的弧也有三条于是，所得的曲线长为故答
21、案为：16椭圆上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积|OP|OQ|的最小值为ab【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可设点P（acos，bsin），其中0，而且点Q（acos（+2），bsin（+2），即可得出结论【解答】解：题意可设点P（acos，bsin），其中0，而且点Q（acos（+2），bsin（+2），即点Q（asin，bcos），那么|OP|2|OQ|2=（a2cos2+b2sin2）（a2sin2+b2cos2）=a2b2+14sin22，所以当sin2=0时，乘积|OP|OQ|最小值为ab故答案为：ab三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
22、）17已知p：|1|2；q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：|1|2，|x4|6，即2x10，x22x+1m20（m0），x（1m）x（1+m）0，即1mx1+m，若p是q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m918如图所示，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADC=DCB=90，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC底面ABCD，E为AB的中点（1）求证：平面PDE平面PAC；（）求直线PC与平面PDE所成的
23、角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量，的坐标，根据数量积得出DEAC，DECP，故而DE平面PAC，于是平面PDE平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量，计算与的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos|【解答】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0），DECA，DECP，又CPCA=C，AC平面PAC，CP平面PAC，DE平面PAC，
24、DE平面PDE，平面PDE平面PAC（），设是平面PDE的一个法向量，则，令x=2，则y=1，z=2，即，=4，|=3，|=2，cos=直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为19已知圆C：x2+y2+2x4y+3=0（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程【考点】圆的切线方程；轨迹方程【分析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆
25、心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a的值，确定出直线l的方程；（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2，表示出|PM|2，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2，两者相等，化简可得点P的轨迹方程【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y2）2=2由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+ya=0，由=，得|a1|=2，即a=1，或a=3直线方程为x+y+1=0，或x+y3=0；（2）由于|PC|2=|PM
26、|2+|CM|2=|PM|2+r2，|PM|2=|PC|2r2又|PM|=|PO|，|PC|2r2=|PO|2，（x+1）2+（y2）22=x2+y22x4y+3=0即为所求20椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，1）的直线l交椭圆于A，B两点（） 求椭圆的方程；（） 若直线l交x轴于N，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程【分析】（）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，故可求椭圆的方程；（）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2x0，y2），设直线l的方程为y=kx1（k
27、0）与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+18k2=0，由此即可求得直线l的方程【解答】解：（）设右焦点为（c，0）（c0）右焦点到直线的距离为，椭圆的离心率为，椭圆的方程为；（）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），x2x0，y2）易知直线斜率不存在时或斜率为0时不成立于是设直线l的方程为y=kx1（k0）与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+18k2=0由可得，代入整理可得：8k4+k29=0k2=1此时为5y2+2y7=0，判别式大于0直线l的方程为y=x121在多面体ABCDE中，BC=BA，DEBC，AE平面BCDE，BC=2DE，F为A
28、B的中点（）求证：EF平面ACD；（）若EA=EB=CD，求二面角BADE的正切值的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定【分析】（）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF平面ACD（）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MHAD，垂足为H，连接BH，则BHM是二面角BADE的平面角，由此能求出二面角BADE的正切值的大小【解答】解：（）证明：取AC中点G，连接DG，FG因为F是AB的中点，所以FG是ABC的中位线，则FGBC，FG=，所以FGDE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EFDG，故EF平面ACD（）解
29、：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE平面BCDE，所以AEBM，则BM平面ADE，过M作MHAD，垂足为H，连接BH，则AD平面BMH，所以ADBH，则BHM是二面角BADE的平面角设DE=a，则BC=AB=2a，在BEM中，EM=，BE=，所以BM=又因为ADEMDH，所以HM=，则tanBHM=22如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（ab0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B（1）求椭圆C的方程（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）先由椭圆C： +=1（ab0）的离
30、心率为和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程（）由直线lOM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m24=0，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形只需证明：k1+k2=0即可【解答】（）解：设椭圆C的方程为： +=1（ab0），由题意得：，解得a2=8，b2=2，椭圆方程为（）证明：由直线lOM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2m，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则，k1+k2=1+m=1+m=0，故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形2016年8月1日
