1、广西南宁2023-2024高三上学期新高考摸底调研测试数学本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.巳知集合A=xeZlx2+x-2 0,y 0，且X)i=X+y+3，则xy的最小值为4 已知
2、矩形 ABCD中，AB=BC=8,现沿AC折起，使得平面ABC.l平面ADC,连接3 BD,得到三棱锥B-ACD，则其外接球的 体积为二二A/c16.若方程xlnx+ex+1-ax=O有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。17.19.1(10分）已知6 ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosB+b=c.2(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2,a=2J3，求b+c的值l8.（l2分）如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为直角梯形，AD II BC,AB.l BC
3、,侧面ABEF为菱形，平面ABEF.l平面ABCD,M 为棱BE的中点(1)若点N为DE的中点，求证：MN/平面ABCD;1(2)若 AB=BC=AD,2 余弦值C L EBA=60,求平面MAD与平面EFD夹角的F 3n+l 3(12分）已知数列an的前n项和为S“凡,nEN.2 2(1)求an的通项公式；(2)设bn=log仇，cn=（l)尸勹，求数列c.的前n项和T.bn+l bn+2 20.(12分）某单位在当地定点帮扶某村种植一种草苺，并把这种原本露天种植的草苺搬到了大棚里，获得了很好的经济效益根据资料显示，产出的草苺的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：X 10 2
4、0 30 40 60 80 yyl Y2 Y3 Y4 y5 Y6【2024届 新高考高三摸底调研测试数学第 3 页（共 4 页）】(1)根据散点图可以认为x 与y之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程y=bx+a(a,b用分数表示）；(2)某农户种植的草苺主要以300元箱的价格给当地大型商超供货，多余的草苺全部以200元箱的价格销售给当地小商贩 据统计，往年1月份当地大型商超草苺的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为 11 1 1 10525，根据回归方程以及往年商超草苺的需求情况进行预测，求今年1月份农户草苺的种植 量为200箱时所获得的利润情况（最后结果精
5、确到个位）n 6 2(x卢）（y汀）附：f(x卢）（y气）790，区yi=54，在线性回归直线方程y=bx五中b=i=ln i=l i=1区(xi 气）2t=I a 歹辰X y森21.(12分）已知双曲线C:了fi=I(aO,bO)经过点3，三，右焦点为F(c,0)，且c气矿，扩成等差数列(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的右支交千P,Q两点(P 在Q的上 方），PQ的中点为M,M 在直线l:x=2 上的射影为N,0为坐标原点，设l:.POQ的面积为s,直线PN,QN的斜率分别为K“ls,Js-k 证明：2 是定值s 22.(12分）已知函数f(x)矿ax-xlnx,且f(x);?;0.(
6、1)求 a;(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点 x。，且e-2 f(x。)2气【2024届 新高考高三摸底调研测试数学笫4 页（共4 页）】高三数学参考答案l.B【详解】x2+x-20,即（x-I)(x+2)0,得2 o,=1亏1，所以 1n0，所以 y=sin.xlnO,x-x-x-X 故C不正确；对千A,符合函数图象关千原点对称，也符合xE(O，兀）时x2+2,y=sinx In 0,故 A 正确X-0.9+9ke 6.D【详解】由题意得当x=9 时，P=50%，则50%，得e-09+9k=1,所以9k-0.9=0,l+e-0.9+9k 得 k=0.1,-0.9+0.lxe-0.9+0
7、.lx e 所以 P(x)=，当P=40时，40%，得3e-09+0.lx=2,l+e-0.9+0.lx l+e-0.9+0.lx2 2 所以e-09+0.lx 一，所以0.9+0.lx=1n,;=ln2-ln3 0.7-1.1,解得x=5,3 3 所以当银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为5 万元，7.A【详解】设抛物线 C 的方程为y2=2px(pO)，因为焦点到准线的距离为2,则 p=2抛物线 C 为：y2=4x,焦点F(l,O)，准线方程为x=-1,直线AB方程为y=3(x-1),【2024届 新高考高三摸底调研测试数学参考答案第1 页（共 7 页）】由厂飞(x-l)消去
8、y得：x2 堕y2=4 xx+l=O,3 10 设A(Xi,Yi),B(x2,y2)，则X1+X2=，平X2=l,3 所以IFAlI项（l心(l+x2)=l+(x!吩 X1 X2=l+1=.1 0 16 3 3 兀8.C【详解】因为对于Vx ER,f(x):;J（兀），可得f(x)在X 啡t取得最大值，即sin（皿i)=l,兀兀可 得皿3 飞2杠，kEZ，所以严+2k,kEZ,又因为f(x)在咕上单调递增，所以吭兀兀l 3 13 mO且-三，解得0m:;3,当k=l 时，0=,所以0的最大值为.l8 3 2 6 6 9.BD【详解】解：对于A,因为a=(l,m),b=(2,-4)，所以a+b=
9、(3,m-4),闷趴言 而，解得m=5或 m=3，故A错误；对千B，因为iillb,所以2m=-4,解得m=-2,故B正确；对于C,因为a.l.E,所以 a.E=2-4m=o,解得m一，故C错误；对于D,当 m=l时，a=(1,1),a-h=2-4=-2 0)，X X X X 当 XE(0,1)时，g(x)0,g(x)单调递增，所以函数最小值为g(l)=e+l,且当 x正向无限趋近千 0 时，g(x)的取值无限趋近于正无穷大；当 x无限趋近于正无穷大时，g(x)的取值无限趋近于正无穷大；故方程 xlnx+ex+I-ax=0 有两个不等的实数根时，ae+l.y y=a。X 17.【答案】(1)A
10、 一兀3(2)b+c=6.1 解析】（1)在aABC中，由 acosB+-=-b=c及正弦定理，2 1 得si nAcosB+-=-si nB=si nC,2 l l 即si nA cos B+-=-si n B=si n(A+B),si n A cos B+-=-si n B=si n A cos B+cos A si n B 2 2.1分1 整理得 si nB=cosAsi nB,2.3分1 7t:OB兀，.si nB-:t:-0，则cosA=-;:-，而OA y 2,2-2m6-2-2m m3 2_y兑片片尸4l贝.4分y。y!兑Y2-yl yl-y2兄 y1M（斗 x2,y1+y 2,
11、N(2,y1+y 2 则K-K=k-2 _ 2=2 二2 2 2,!J.!U k,-k2=kPN-kQN=Xi-2 x2-2 mYJ+1 my2+1【2024届 新高考高三摸底调研测试数学参考答案笫6页（共7页）】=(y！飞）m（y五）2l 沪必m（y1 五）1，而S=IOFl(Y五）分(y五），-6m 2 k1-k2 _ m(Yi+y2)+2 所以2=+2矿2-4m2-4 2 S-3 m2y必m(y五）1-3(+l)-6m2-6-3m2-2 m2-2 所以1K-K 2 是定值 12分s 22.【答案】(1)a=l;(2)见解析【解析】（1)解：因为f(x)矿ax-xlnx=x(ax-a-ln
12、x)(x 0),则f(x)0 等价于h(x)=ax-a-lnx 0,求导可知h(x)=a 一 1X 则当a:;0时h(x)1时，h(x。)h(1)=0,矛盾，故aO.l l 因为当O x 时h(x)O,a a 1 所以h(x)min=h()，又因为h(1)=a-a-lnl=O,a 1 所以=1,解得a=l;5分a 另解：因为f(1)=0，所以f(x)o 等价于f(x)在xO时的最小值为f(1),所以等价千f(x)在x=l处是极小值，所以解得a=l;(2)证明：由(1)可知f(x)=X2-x-xlnx,f(x)=2x-2-lnx,1 令f(x)=O,可得2x-2-lnx=0,记t(x)=2x-2
13、-lnx,则t(x)=2-,X 令t(x)=0,解得：x 1 21 1 所以t(X)在区间(0,）上单调递减，在(-,+OO）上单调递增，2 2 所以t(x)min=t()=ln2-l 0,从而t(x)=0有解，即f(x)=O 存在两根x。,X2,且不妨设f(x)在(0,X。)上为正，在(x。,X2)上为负，在(x2,+co)上为正，所以f(x)必存在唯一极大值点x。，且比2-lnx。=0,所以f心）矿 x。X。lnx。=X。2-Xo比2矿 x。X。21 由x。可知f(x。)（Xo-X。2)max=+=;1 1 1 2 22 24 1 1 l 由f（)0 可知x。e e 2 1 所以f(x)在(0,X。)上单调递增，在(xo,）上单调递减，l l 所以f心）f(）-;-;e e e 综上所述，f(x)存在唯一 的极大值点x。，且e-2 f(x。)2-2.12分【2024届 新高考高三摸底调研测试数学参考答案第7页（共7页）】
