1、天津市部分区20192020学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题1.下列命题正确的是（ ）A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面C. 梯形可确定一个平面D. 圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定
2、一个平面.所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.2.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项.【详解】复数对应的坐标为，在第四象限.故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3.用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的
3、面积.【详解】设原图的面积为，直观图的面积为，则.正方形的面积为，所以其直观图的面积为.故选：A【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题.4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】依题意，这个球中红球和白球各有个概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5.已知，且，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】利用向量夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，由
4、此求得向量与的夹角.【详解】设向量与的夹角为，则，由于，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，属于基础题.6.在中，已知，则（ ）A. 4B. 2C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求得的值.【详解】依题意.故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.7.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】由单位向量的定义，计算，即得【详解】由已知，所以与平行的单位向量为或故选：D【点睛】本题考查单位向量的概念，解题时要注意与与平行的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记
5、录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）（注：一组数据的平均数为，它的方差为）A. 平均数为2，方差为2.4B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为3，中位数为2D. 中位数为3，方差为2.8【答案】A【解析】【分析】假设出现6点，根据均值估计方差的大小，错误的可举反例说明【详解】若平均数2，若出现6点，则方差，不可能是2.4，因此A中一定不会出现6点，其它选项可各举一反例：如，中位数是3，众数是2；如，平均数为3，中位数为2；如，中位数为3，方差为2.8故选：A【点睛】本题考查样本数据特征，掌握均值，方差，中位数，众数等概念是解题基础属于基础题
6、9.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）（注：球的体积，其中为球的半径）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正方体的体对角线计算出球的直径，由此得到半径，进而求得球的体积.【详解】正方体的体对角线长为，设球的半径为，则，所以球的体积为.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.10.已知的三个内角的对边分别为.向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得的值，进而求得的大小.【详解】由于，所以，即，由正弦定理得，由于，所以，所以，由于，所以.故选
7、：B【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式、辅助角公式，属于中档题.二、填空题11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】根据相互独立事件概率计算公式可知，两人都中靶的概率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.12.已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为_.【答案】【解析】【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面
8、积【详解】由题意四面体的表面积为故答案为：【点睛】本题考查正四面体的表面积，掌握表面积的概念是解题基础本题属于基础题13.已知，是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】根据向量共线定理求解【详解】与是共线向量，存在实数，使得，即，解得故答案为：4【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题14.在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为_.【答案】【解析】分析：根据直线和平面所成角的定义即可得到结论详解：连结AC，则AC是A1C在平面ABCD上射影，则A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角正弦值，设正方体的棱长为1，则，则，点晴：本题需要先找出线面角所成
9、角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可15.已知中，为边上的点，且，若，则_.【答案】【解析】【分析】以为基底表示出，由此求得，进而求得.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.三、解答题16.已知是虚数单位，.（）求；（）若复数的虚部为2，且的虚部为0，求.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）利用复数的四则运算求出后可求其模.（）设，利用复数的乘法计算出后再根据虚部为0求出，从而可得.【详解】解：（），所以，（）设，则，因为的虚部为0，所以，即.所以.【点睛】本题考查复数的乘法和除法，前者运算时注意分子分母同乘以分母的共轭复数，另外，对于含
10、参数的复数问题，我们常通过将复数设成的形式将问题转化为实数问题.17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：，.，后，得到如图所示的频率分布直方图.（）求图中实数的值；（）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.【答案】（）；（）210.【解析】【分析】（）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出（）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数【详解】解：（）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以，解得.（）根据频率分布直方图，成绩不低于80分
11、的频率为.由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题18.在中，内角所对的边分别为，已知，.（）求角的大小；（）求角的正弦值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）用余弦定理计算出后可得；（）用正弦定理计算【详解】解：（）由三角形的余弦定理，得.所以，.因为.所以.（）由三角形的正弦定理，得.所以内角的正弦值为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键，本题属于基础题19.己知
12、某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情你我同行”下卡口执勤值守专项行动.（）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；（）设抽出的6名教师志愿者分别记为，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件发生的概率.【答案】（）3人，2人，1人；（）（i），；（）【解析】【分析】（）按照分层抽样规则计算可得；（）（i）将所有可能结果一一列举，做到不重复不遗漏；（i
13、i）根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人.（）（）从抽出的 名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为，共15种.（）由（），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是，来自乙学校的是，来自丙学校的是，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为，共4种.所以，事件发生的概率.【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算，属于基础题.20.如图，在三棱锥中，点，分别是棱，的中点，且，.（）求证：平面；（）求证：.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（I）通过证明，证得平面.（II）通过证明，结合证得平面，由此证得.【详解】（）证明：因为在中，点，分别是，所以，又因为平面，平面，所以平面.（）因为点是的中点，且，所以，又因为，平面，平面，故平面，因为平面，所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.
