1、天津市南开区2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由补集和交集定义直接计算可得结果.【详解】，.故选：C.2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定原则，可直接得到结果.【详解】命题“，”的否定是“，”，故选：D3. 已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合
2、复数的几何意义，即可求解.【详解】由即复数，所以复数对应的点为位于第二象限.故选：B4. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.【详解】由不等式，解得，令，则是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5. 函数在的图像大致为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排
3、除选项D；，排除选项A，故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查6. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由换底公式和对数函数的性质可得，再由指数函数的性质可得，即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.7. 将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图
4、像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，故选：D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.8. 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是（ ）A. 16小
5、时B. 20小时C. 24小时D. 28小时【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到，从而得到，再将代入即可得到答案.【详解】由题意得，.将代入得，则，当时，.故选：C【点睛】本题主要考查指数函数的实际应用，属于简单题.9. 在中， ，点满足，点为的外心，则的值为（ ）A. 17B. 10C. D. 【答案】D【解析】【分析】将用向量和表示出来，再代入得，求出代入即可得出答案.【详解】取的中点，连接，因为为的外心，同理可得，故选：D.【点睛】本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题.二填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 设(i是虚数单位)，则
6、_.【答案】【解析】【分析】根据共轭复数的定义，得到，再结合复数的除法运算法则，即可求解.【详解】由复数，可得，则.故答案为：.11. 已知函数，则在处的导数_.【答案】【解析】【分析】求导后代入即可得到结果.【详解】，.故答案为：.12. 若，则_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角公式即可求解.【详解】由，则，所以，.故答案为：；13. 已知平面向量，满足，且，则_.【答案】【解析】【分析】由可得，再结合已知条件计算可得，进而求出向量，进而求出模长即可.【详解】，即，又，所以，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查已知平面向量垂直求参
7、数，考查平面向量数量积的坐标计算，解题关键是由得到，进而通过坐标运算求出，从而得到向量，最后求出模长，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.14. 已知实数满足，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】先对化简得，然后利用基本不等式可求得其最大值【详解】解：因为，所以所以 ，当且仅当，即时取等号所以的最大值为，故答案为：【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题15. 已知函数，其中.若在区间上单调递增，则m的取值范围是_；若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根
8、据分段函数的单调性可求出m的取值范围，再利用数形结合即可求解.【详解】根据分段函数的单调性，当时若要在区间上单调递增，则，解得.存在实数b，关于x方程有三个不同的根，解得.故答案为：；.三解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角A；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再利用余弦定理即可求解.（2）利用余弦定理可得，再利用同角三角函数的基本关系求出，由二倍角公式以及两角差的余弦公式即可求解.详解】解：（1）依题意，由正弦定理得，可设，由余弦定理得
9、，因为，所以.（2）由余弦定理得，所以，所以，所以.17. 已知函数.（1）若，求实数a的值；（2）若有最小值，求实数a的取值范围；（3）设为定义在上的奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）化简函数，分类讨论，列出方程，即可求解；（2）根据函数有最小值，得到，即可求解；（3）根据函数的奇偶性，即可求解函数的解析式.【详解】（1）依题意，函数，当时，令，解得；当时，令，解得.综上可得，实数的值为.（2）要使函数有最小值，则有，解得，即当时，有最小值.（3）因为为定义在上的奇函数，所以.设，则，所以，所以函数.18. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2
10、）求的单调递减区间；（3）求在区间上的取值范围.【答案】（1）最小正周期为；（2）单调递减区间为，；（3）.【解析】【分析】（1）逆用二倍角公式化简整理可得，再利用即可求得的最小正周期；（2）令，利用函数的图像与性质，列出不等式，即可求得的单调递减区间；（3）由，可得，结合正弦函数的图像与性质，即可求得的取值范围.【详解】（1）由已知可得.所以的最小正周期为.（2）令，函数的单调递减区间是，.所以，得，.所以的单调递减区间为，.（3）因为，所以，所以，所以，即在区间上的取值范围是.【点睛】本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简
11、，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题.19. 设函数，其中.（1）若曲线在的切线方程为，求a，b的值；（2）若在处取得极值，求a的值；（3）若在上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，可得，计算整理，即可求得a，b的值；（2）令，即可求得a的值，检验可得为极值点，即可得答案；（3）令，解得，分别求得和时，的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案.【详解】（1）因为，所以，由题设可得，解得，.（2）因为在取得极值，所以，解得.当时，令，解得x=1或3，所以为的极值点，故满足题意.（3）令，得，.当时，若，则，所以在和上为增
12、函数，故当时，在上为增函数恒成立.当时，在上为增函数，不符合题意，当时，若，则，所以在和上为增函数，从而在上也为增函数，满足题意.综上所述，当时，在上为增函数.【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题.20. 设函数，.（1）求的单调区间；（2）若直线与曲线和曲线分别交于点和，求的最小值；（3）设函数，当时，证明：存在极小值点，且.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为和；（2）最小值为；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间；（2）构造函数，利用导数求得即为所求结果；（3）求导后可知与同
13、号，令，利用导数可证得在定义域内单调递增，利用零点存在定理可确定，等量代换即可证得结论.【详解】（1），当时，在上为增函数；当时，在和上为减函数.的单调递增区间为，单调递减区间为和.（2）设函数，则，当时，单调递减；当时，单调递增；在上有最小值.即当时，的最小值为.（3），则，与同号.设，则，对任意，都有，在单调递增.，存在，使得.当，单调递减；当，单调递增；若，存在，使得是的极小值点.由得：，即，.【点睛】思路点睛：在导数问题中，涉及到函数零点或极值点无法求解出具体值时，通常借用零点存在定理确定零点或极值点所在区间，进而构造出等量关系进行代换。如本题中利用零点存在定理确定极值点，利用极值点处导函数为零可构造等量关系，代入所证不等式即可得到结论.
