1、第一讲平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算1.2021山东新高考模拟已知两个力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加一个力F3,则F3=()A.(1,-5)B.(-1,5) C.(5,-1)D.(-5,1)2.2021广西模拟已知向量a=(k,1)与b=(4,k),则“k=2”是“ab共线且方向相反”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.2021哈尔滨六中模拟如图6-1-1,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M
2、,N,若AB=mAM,AN=nAD(m0,n0),则1m+n的最小值为()图6-1-1A.22B.1C.22D.24.多选题设点M是ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则MBC的面积是ABC面积的125.2021洛阳市统考如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)方向相同,那么实数k的值为.6.2020唐山市模拟已知|a|=5,b=(2,1),且ab,则向量a的坐标是.7.2020南昌市三模如图6
3、-1-2,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若CG=CD+CB(,R),则=.图6-1-28.角度创新在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是线段DE上的点,且FC=78AB+14AD,则()A.FD=2EF B.EF=2FDC.FD=3EF D.EF=3FD9.2021河北六校第一次联考已知点O是ABC内一点,且满足OA+2OB+mOC=0,SAOBSABC=47,则实数m的值为()A.-4B.-2C.2 D.410.2021哈尔滨三中二模已知ABC中,长为2的线段AQ为BC边上的高,满足ABsin B+ACsin C=AQ,H为AC上一点
4、且AH=12AC,则BH=()A.477B.47 C.433D.2711.2021山东部分重点中学第一次综合测试如图6-1-3,在ABC中,BAC=3,AD=2DB,P为CD上一点,且满足AP=mAC+12AB,若ABC的面积为23,则|AP|的最小值为()图6-1-3A.2B.3 C.3 D.4312.2020百校联考如图6-1-4所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为1,若向量a,b,c满足c=xa+yb,且(ka-b)c=0,则x+yk=.图6-1-4答 案第一讲平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算1.A由题意可知F1+F2+F3=0F3=-(F1+F2)=(1,
5、-5).2.B由a=(k,1),b=(4,k),且a,b共线,得k2-4=0,解得k=2.当k=2时,a=(2,1),b=(4,2),a,b共线且方向相同;当k=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2)=-2(-2,1)=-2a,a,b共线且方向相反.“k=2”是“a,b共线且方向相反”的必要不充分条件.故选B.3.D由题意知AO=12AB+12AD=12mAM+12nAN,因为M,O,N三点共线,所以12m+12n=1,则1m+n=(12m+12n)(1m+n)=12(1+1+mn+1mn)12(2+2mn1mn)=2,当且仅当m=n=1时取“=”,故选D.4.ACD对于A,由AM=12A
6、B+12AC,可得12AM-12AB=12AC-12AM,即BM=MC,则点M是边BC的中点,A正确;对于B,由AM=2AB-AC,可得AM-AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上,B错误;对于C,由AM=-BM-CM,可得AM+BM+CM=0,由重心的性质可知C正确;对于D,由AM=xAB+yAC,且x+y=12,可得2AM=2xAB+2yAC,2x+2y=1,设AD=2AM,则AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,MBC的边BC上的高是ABC的边BC上的高的12,所以MBC的面积是ABC的面积的12,D正确,故选ACD.5.2解法一因为向量a与
7、b方向相同,所以(k,1)=(6,k+1)(0),所以k=6,1=(k+1),解得k=-3,=-12 (舍去)或k=2,=13.解法二由题意知ab,所以k(k+1)-16=0,解得k=2或k=-3,但当k=-3时,a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,两个向量方向相反,所以k=2.6.(25,5)或(-25,-5)因为b=(2,1),所以|b|=5,又|a|=5,ab,所以a=5b或a=-5b,所以向量a的坐标为(25,5)或(-25,-5).7.12由题图可设CG=xCE(0x0,|OD|OC|=m3,|OD|CD|=m3m3+1=mm+3,SAOBSABC=|OD|CD|=mm+3=
8、47,解得m=4.故选D.图D 6-1-410.D分别在AB,AC上取E,F,使得AE=AF=AQ=2,连接QE,QF,BF,如图D 6-1-5所示.图D 6-1-5因为线段AQ为BC边上的高,所以ABsinABC=ACsin C=AQ,所以ABsinABC=AE,ACsin C=AF,所以AE+AF=AQ,由平面向量加法的平行四边形法则可得AEQF,AFQE,所以四边形AEQF为菱形,所以AQ平分BAC,BAF=120,所以AB=AC,Q为BC的中点,E,F分别为AB,AC的中点.所以AB=2AF=2AQ=4,又AH=12AC,所以点H为AC的中点,即点H与点F重合,在BAF中,BF2=AB
9、2+AF2-2ABAFcosBAF=16+4+8=28.所以BH2=28,BH=27,故选D.11.B设|AB|=3a,|AC|=b,则ABC的面积为123absin 3=23,解得ab=83.由AP=mAC+12AB=mAC+34AD,且C,P,D三点共线,可知m+34=1,得m=14,故AP=14AC+34AD.以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过A作AB的垂线为y轴,建立如图D 6-1-6所示的平面直角坐标系,则A(0,0),D(2a,0),B(3a,0),C(12b,32b),则图D 6-1-6AC=(12b,32b),AD=(2a,0),AP=(18b+32a,38b),|AP|2=(18b+32a)2+(38b)2=164b2+94a2+38ab+364b2=116b2+94a2+12116b294a2+1=34ab+1=3,当且仅当116b2=94a2,即b=6a时取等号,故|AP|的最小值为3.12.95结合图形得a=(1,2),b=(3,1),c=(4,4),由c=xa+yb得x+3y=4,2x+y=4,解得x=85,y=45,所以x+y=125.由(ka-b)c=0得kac-bc=0,即12k-16=0,所以k=43,所以x+yk=95.
