1、第4课 充分条件和必要条件一、教学目标1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；会分析四种命题之间的相互关系；会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假2理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；学会判断必要条件、充分条件、充要条件的方法二、基础知识回顾与梳理1、设ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，由此可得到什么结论？试写出该命题的逆命题、否命题与逆否命题。【教学建议】本题以高中数学主干知识数列为背景设计的一道开放题，给学生充分的自由度，帮助学生复习命题与其逆命题、否命题与逆否命题的关系并择其一二判断真假。（1）结论多种多样，如；等等。2、设条件p：，试给
2、出一个条件q，使得p分别是q的“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”“既不充分也不必要条件”。【教学建议】可以提出以下问题引导学生：（1）不等式的解集是 。（2）p是q充分不必要条件时，条件q与集合的关系如何？（3）其他情况呢？三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。2、诊断练习点评题1：用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知，那么是的_ _条件（2）已知
3、，那么是的_ _条件 （3）已知两直线平行，内错角相等，那么是的_条件（4）已知，那么是的_ _条件【分析与点评】判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法以及数轴来判断和理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。如：命题是命题成立的条件，则命题是条件，命题是结论。又如：命题成立的条件是命题，则命题是条件，命题是结论。又如：记条件对应的集合分别为A,B则,则是的充分不必要条件；,则是的必要不充分条件。答案：充分不必要；必要不充分；_充要_；既不充分也不必要。题2已知，命题“若，则”的否命题是_【分析与点评】（1）四种命题之间的关系是什么？ （2）命题的否定和否命
4、题有什么区别？题3原命题：“设若则”的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中，真命题共有 个。【分析与点评】（1）在不等式的性质中，成立的条件是什么？（）（2）通常情况下，若，则的范围是什么？（3）在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可能是哪些？因为原命题与其逆否命题等价，所以结果只可能是0、2、4题4设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .【分析与点评】（1）是否要求出和的取值范围？（2）如何转化“是的必要不充分条件”这句话？转化为什么？（3）如何确定两个集合的包含关系？（4）边界，即端点的等号能否取到？四、范例导析例1、已知命题：“，使等式成立”是真命题（1）求
5、实数m的取值集合M； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围【教学处理】全部由学生分析，教师点评；【引导分析与精讲建议】第一问：求参数m的取值范围用什么方法？是二次函数的方法，还是分参的方法？哪个方法更加方便？第二问：1）如何求出集合？两个端点的大小关系确定吗？不确定怎么办？怎样进行分类讨论求出集合的范围？2）能否不求出集合的范围，直接求出最终的参数的范围？怎么处理不等式？如何列出条件？例2：用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空。（1）是的 条件。（2）条件是条件的 条件；条件是的_条件；（3）是的 条件。（教材第9爷习题1、1第4（
6、2）题改编）（4）设M、N是两个集合，则“”是“的 条件。（教材第9页习题1、1第4（4）题改编）（5）“”是“或” 的 条件。【教学处理】要求学生独立思考并解题，由学生阐述思考的过程和方法，教师视学生回答情况适时介入，评点纠错。【引导分析与精讲建议】题（1）与不等式等价的 。（化除为乘转化为一元二次不等式（组）；不等式解集之间的包含关系是 。（从集合的“大”“小”入手判断）；题（2）举反例判断。可追问：一元二次方程的两个根都大于3的充要条件是什么？题（3）正切函数的定义域是什么？推不出的条件是 。题（4）用韦恩图判断，直观易懂。题（5）直接判断较困难，作如下处理：与“”是“或” 的 条件”等
7、价的是 。（“且”是“的 条件”）例3 已知实数，设p：实数x满足，q：实数x满足或，且是的必要不充分条件，求实数a取值范围。【教学处理】学生板演，教师点评并规范解题过程。【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：问题1：解一元二次不等式的步骤是什么？在解不等式时，条件怎样用？其解集是什么？问题2：命题q：转化为求和的交集还是并集？它们进行运算时借助什么较直观？问题3：和满足的集合分别是什么？如何从集合的角度理解“是的必要不充分条件”？问题4： 可否换一个角度理解“是的必要不充分条件”？比如“是的必要不充分条件”等价于“是的充分不必要条件”。建议：对于较好的学生还可以从二次函数在区间-4
8、,-2)上与x轴至多有一个交点入手求解.五、解题反思1、对命题真假的判断，真命题要加以论证，假命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系，要注意命题四种形式之间的真假关系如诊断练(3)和例1.2、要判定一个命题是另外一个命题的什么条件，一是要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论；二是要使两个命题反映的知识点尽可能地接近，才易于找到两个命题的推出或包含关系如例33、充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性例如：求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是证明：必要性：若是方程的根，求证：是方程的根，即充分性：关于x的方程的系数满足，求证：方程有一根为1，代入方程得：，得，是方程的一个根故原命题成立4、反证法是一种重要的间接证法，一般在命题结论涉及“无限”的形式、“否定”的形式或“至多”、“至少”的形式时，可考虑采用反证法反证法在很大程度上就是证明原命题的逆否命题，反证法的基本步骤是：(1)否定命题的结论(即命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别)；(2)通过逻辑推理导出矛盾(可以与已知矛盾、可以与公理和定义矛盾等等)，从而说明原命题是正确的.
