1、广东省第二师范学院番禺附属中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）本试卷分第卷和第卷两部分，共4页，满分为150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、考试科目、班级和考生号等信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂黑2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作
2、答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡答卷交给监考老师第卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中，只有一项符合要求）1.直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.【详解】化为，直线的斜率为，倾斜角为.故选:D.【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.2.已知非零向量，满足：，则向量，的夹角大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，求出，再由向量的夹角公式，即可求解.【详解】由，有，则，有.故选：B【点睛
3、】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题.3.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）A. 抽得3件正品B. 抽得至少有1件正品C. 抽得至少有1件次品D. 抽得3件正品或2件次品1件正品【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.【详解】对于 , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件;对于 , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,对于 , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,对于 , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件
4、次品2件正品既是互斥也是对立事件.故选:A【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A. 400，40B. 200，10C. 400，80D. 200，20【答案】A【解析】【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取高中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.
5、【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.5.直线与平行，则的值等于( )A. -1或3B. 1或3C. -3D. -1【答案】D【解析】试题分析：直线可化为，斜率为在y轴上截距两直线平行，则直线斜率存在，即直线可化为斜率为在y 轴上截距为则由得即，解得故选D考点：直线方程与直线平行间的关系6.圆A :与圆B : 位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含【答案】C【解析】圆A :，即 ，圆心A（2,1），半径为2；圆B :即 ，圆心B（-1，-3）半径为3圆心距AB=5,等于半径之和
6、，所以两圆外切故选C点睛：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则dR+r两圆外离； d=R+r 两圆外切； R-rdr) 两圆相交； d=R-r（Rr） 两圆内切； dr)两圆内含7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果【详解】画出图形，如下图选取为基底，则，故选C【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则
7、进行向量的加减运算或数乘运算8.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ）A. p1p2p3B. p2p1p3C. p1p3p2D. p3p1p2【答案】C【解析】列表得:(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)(21)(3,1)(4,
8、1)(5,1)(6,1)所以一共有36种等可能的结果,两个骰子点数之和不超过5的有10种情况,点数之和大于5的有26种情况,点数之和为偶数的有18种情况,所以向上的点数之和不超过5的概率p1=,点数之和大于5的概率p2=,点数之和为偶数的概率记为p3=.点睛：考查古典概型及其概率计算公式.首先列表,然后根据表格点数之和不超过5,点数之和大于5,点数之和为偶数情况,再根据概率公式求解即可.9.在中，角所对的边分别为若，则为（ ）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得为钝角，即可求得答案.【详解】根据正
9、弦定理：，整理可得，故，即为钝角，则为钝角三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法，属于基础题.10.如图，在中，D是边上一点，则的长为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由余弦定理得到，结合正弦定理，即可确定的长【详解】由余弦定理可得得到故选B【点睛】本题对正弦定理和余弦定理综合进行考查，属于中档题11.已知圆C的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意，联立直线方程，求出圆心坐标，再根据点到直线距离公式，求
10、出圆心到直线的距离，根据弦长，即可求出圆的半径，进而可求出圆的方程.【详解】由解得，即圆的圆心为，由点到直线距离公式，可得，点到直线的距离为；又直线与圆相交于，两点，且，所以圆的半径为：，因此，圆的方程为.故选：A.【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记圆的标准方程，以及圆的弦长的几何求法即可，属于常考题型.12.在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，又，故选C.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，满足，则与的夹角为_.【答案】60【解析】【分析】可假设与的夹角，根据向量的夹角公式，可得结果
11、.【详解】设与的夹角为，由，所以即，又，可知所以又所以故答案为：60【点睛】本题考查向量的夹角公式，属基础题.14.已知定点，点是圆上的动点，则的中点的轨迹方程_【答案】【解析】 由题意得，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即 点睛：本题主要考查了轨迹方程的求解问题，其中解答中涉及到圆的标准方程，利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中根据题意利用代入法求解轨迹方程是解答的关键.15.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为_【答案】200【解析】【分析】在Rt
12、ABC中求得AC的值，ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在RtAPQ中求得PQ的值【详解】根据题意，可得RtABC中，BAC60，BC300，AC200；ACQ中，AQC45+1560，QAC180456075，QCA180AQCQAC45，由正弦定理，得，解得AQ200，在RtAPQ中，PQAQsin45200200m故答案为200【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，考查正弦定理，三角形内角和问题，考查转化化归能力，是基础题16.关于的方程有两个不同的实数解时，实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】方程左边是圆心为原点，半径为3的上半圆，右边为恒过的直线，当直线与半圆相切时，求出的值，直
13、线过点时，求得的值，利用图象即可确定出实数的范围【详解】设，图象如图所示，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：，当直线过点时，可求得，则利用图象得：实数的范围为，故答案为：.【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.的三个顶点分别为，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上中线所在直线的方程；（3）边的垂直平分线的方程【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用点斜式可得：边所在直线的方程（2）线段的中点，利用截距式可得边上中线所在直线的方程（3）利用斜截式边的垂
14、直平分线的方程【详解】解：（1），边所在直线的方程为：，化为一般式：（2）线段的中点，可得边上中线所在直线的方程：，化为一般式：（3）边的垂直平分线的方程为：【点睛】本题考查了直线的方程的求法、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18.在中，角、的对边分别是、，若.（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可（2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出整体即可【详解】解：（1）由正弦定理得：，是的内角，.（2）的面积为，由（1）知，由余弦定理得：，得：，的周长为.【点睛】本题主要考
15、查解三角形基础知识，一般解题思路为正弦定理边化角，余弦定理结合面积公式解决周长、面积问题19.已知，函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，、分别是角、的对边长，若，的面积为，求的值.【答案】（1），递增区间为，；（2）.【解析】【分析】(1)利用向量的数量积公式与降幂公式和差角公式化简即可.(2)根据可得,再根据的面积为可得,再利用余弦定理求即可.详解】(1)即.故最小正周期为.单调递增区间：.故,递增区间为,.(2)由得,因为.故,故.又,故.故,故【点睛】本题主要考查了向量与三角函数降幂公式与辅助角公式的应用,同时也考查了利用正余弦定义与面积公式解三角形的方法等.属于中等题
16、型.20.某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计按照，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；根据频率分布直方图，求成绩的中位数精确到；在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随
17、机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率【答案】（1），；合格等级的概率为；（2）中位数为；（3）【解析】【分析】由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【详解】由题意知，样本容量，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为；由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取
18、2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题21.下表是某学生在4月份开始进人冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)；(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关
19、于的线性回归方程；若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率.(复习提高率=，分数取整数)附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】（1）把所给的5对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出的值，得到线性回归方程；根据上一问所求的线性回归方程，把代入线性回归方程 (分)，净提高分为 (分)，即可估
20、计该生4月份后复习提高率【详解】(1)散点图如图: (2)由题得, ， ， ,， ，所以 ，故关于的线性回归方程为.由上述回归方程可得高考应该是第六次考试,故，则 (分),故净提高分为 (分)，所以该生的复习提高率为.【点睛】求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.22.已知圆与轴相切于点，且被轴所截得的弦长为，圆心在第一象限.（）求圆的方程；（）若点是直线上的动点，过作圆的切线，切点为，当的面积最小时，求切线的方程
21、.【答案】（I）；（II）或.【解析】【分析】（）由题意设圆心坐标为（a，1），则半径为r=a（a0），再由圆被x轴所截得的弦长为2，利用垂径定理求得a=2，则圆C的方程可求；（）P为直线l：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，可知，要使PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CPl，求出CP所在直线方程，与直线l联立解得P（2，1），设切线方程为y+1=k（x+2），即kxy+2k1=0，再由圆心到切线的距离等于半径求得k，则切线PB的方程可求【详解】解：（）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，因为圆被轴所截得的弦长为，又点到轴的距离为，则，解得.
22、所以圆的方程为.（）因为的面积.故当最小时，的面积最小.由于点是直线上的动点，则当时，最小.由于直线的斜率为，则直线的斜率为.直线的方程为，即.由解得所以点的坐标为.设直线的方程为，即.由于直线是圆的切线，则点到直线的距离等于圆的半径，即.解得或.所以切线的方程为或.另法：（）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，则圆的方程为.令，得因为圆被轴所截得的弦长为，则，解得.所以圆的方程为（）因为的面积.故当最小时，的面积最小.由于点是直线上动点，设点的坐标为，则.当时，取得最小值，此时点的坐标为.设直线的方程为，即.由于直线是圆的切线，则点到直线的距离等于圆的半径，即.解得或.所以切线的方程为或.【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题
