1、5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）1.请回答：什么叫做周期函数？2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？最小正周期是多少？对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它们的周期，最小正周期均是.2k(kk0)Z且23.函数的周期性对于研究函数有什么意义？对于周期函数，如果我们能把握它在一个周期内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数的情况.1.结合函数图象
2、理解正弦函数及余弦函数的奇偶性、单调性、最值；(重点）2.能熟练运用正弦函数、余弦函数的性质解题(重点、难点）通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂微课1 奇偶性 1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？xyO-1234-2-31223252722325正弦曲线关于原点O对称 yxO-1234-2-31223252722325余弦曲线关于y轴对称 提示:2.根据图象的特点，猜想正余弦函数分别有什么性质？如何从理论上验证？sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)是奇函数cos(-x)=cosx(xR
3、)y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称提示:y(sinxcosx)21 是()A最小正周期为 2 的偶函数 B最小正周期为 2 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数 D【即时训练】【方法规律】1判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看 f(x)与 f(x)的关系2对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断判断下列函数的奇偶性：f(x)2sin2x52；【解析】函数的定义域为 R，f(x)2sin2x52 2sin2x2 2cos 2x，显然有 f(x)f(x)成立f(x)2sin2x52 为偶函数【互动探
4、究】微课2 单调性1.当 时，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？xyo-1234-2-31223252722325y=sinx3x,22 提示:0 2232 y=sinx (xR)增区间为 ，其值从-1增至1 x sinx-1010-1减区间为 ，其值从1减至-1 还有其他单调区间吗?5335,222 222 2,2,22kkkZxyo-1234-2-31223252722325y=sinx2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间 和减区间？怎样把它们整合在一起？增区间：减区间：3357,222222 32,2,22kkkZ周期性提示:xyo-1234-2-31223
5、252722325y=sinx3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？正弦函数有无数多个增区间和减区间.在每个增区间上，函数值从 增大到 ，11在每个减区间上，函数值从 减小到 .11提示:正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到-1.32k,2k(k)22Z4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？2k,2k,k Z2k,2k,kZ在每个闭区间_上都是减函数，yxo-1234-2-31223252722325cosyx余弦函数在每个闭区间_上都是增函数，其值从_增大到_；11其值从
6、_减小到_.11提示:若 f(x)cos x 在b，a上是增函数，则 f(x)在a，b上是()A奇函数B偶函数C减函数D增函数C【即时训练】正弦函数当且仅当x=_时取得最大值 _；当且仅当x=_时取得最小值_.微课3 最大值和最小值xyo-1234-2-31223252722325sinyx11提示:余弦函数当且仅当x=_时取得最大值_；当且仅当x=_时取得最小值_.11yxo-1234-2-31223252722325cosyx 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少.y2sin x,xRx x2k,k2Z最大值为2 最小值为-2 答案：x x2k,k2
7、Z【即时训练】例1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.(1)ycosx 1,xR.(2)y3sin2x,x R.【解析】这两个函数都有最大值、最小值.(1)使函数 取得最大值的 的集合为 ycosx 1,xRxx x2k,k,Z 使函数 取得最小值的 的集合为 ycosx 1,xRxx x2k,k,Z最大值为1 12.最小值为1 10.使函数取得最大值的的集合是 （2）令 ，2zxz z2k,k,2 Z由，得2xz2k2 xk.4 y3sinz,z Rz因此使函数 取得最大值的 的集合为 xy3sin2x,x Rx x
8、k,k.4 Z最大值为3.同理使函数 取得最小值的 的集合为 xy3sin2x,x Rx xk,k.4 Z最小值为-3.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少.xy2cos,x3R【解析】x x36k,k Z最大值为3 x x6k,kZ最小值为1【变式练习】例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin()与 sin().1810(2)cos()与cos().235174【解析】（1）因为 021018 ，又y=sinx 在 上是增函数,02所以sin()sin().1810想一想：用正弦函数的哪个单调区间进行比较？(2)cos()=cos
9、=cos ,23523535cos()=cos =cos .1741744因为 30,45所以cos cos ,435又 y=cosx 在 上是减函数,0,即cos()cos().235174比较下列各组数的大小：(1)sin(320)与 sin 700；(2)cos178 与 cos379.【变式练习】【解析】(1)sin(320)sin(36040)sin 40，sin 700sin(72020)sin(20)，又函数 ysin x 在2，2 上是增函数，sin 40sin(20)，sin(320)sin 700.(2)cos178 cos28 cos8，cos379 cos49 cos9
10、，又函数 ycos x 在0，上是减函数，cos8cos9，cos178 cos379.例3.求函数 的单调递增区间.1ysin(x),x2,223 【解析】令1,23zx函数的单调递增区间是sinyz2k,2k.22由12kx2k,2232 得54kx4k,k.33 Z设2,2,A5Bx|4kx4k,k,33 Z可得5AB,.33 所以原函数的单调递增区间为 5,.33【解析】函数 ycos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2k2x2k(kZ)2k2x2k(kZ)解得，k2xk(kZ)，解得，kxk2(kZ)故函数 ycos2x 的单调增区间、单调减区间分别为k2，k(kZ
11、)，k，k2(kZ)求函数 ycos2x 的单调区间【变式练习】奇偶性单调性（单调区间）奇函数偶函数 +2k,+2k,kZ22单调递增 +2k,+2k,kZ232单调递减 +2k,2k,kZ单调递增 2k,2k+,kZ单调递减 函数余弦函数正弦函数 正弦函数、余弦函数的性质（二）求函数的单调区间时，注意x的系数的正负 逻辑推理：通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养 整体思想：利用正、余弦函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用 周期性 奇偶性 单调性 最值 1函数sin()4yx在闭区间（）上为增函数.A3,44 B,0 C3,4 4 D,2 2 A 2.(2019全国卷理科T1
12、1)关于函数 f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间 ,单调递增f(x)在-,有 4 个零点f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.【解析】选 C.因为 f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以 f(x)为偶函数,故正确.当x 时,f(x)=2sin x,它在区间 ,单调递减,故错误.当0 x 时,f(x)=2sin x,它有两个零点:0,;当-x0 时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sinx,它有一个零点:-,故 f(x)在-,有 3 个零点:-,0,故错误
13、.当 x2k,2k+(kN*)时,f(x)=2sin x;当 x2k+,2k+2(kN*)时,f(x)=sinx-sin x=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故正确.综上所述,正确.3、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:(1)sin0 x(2)sin0 x(3)cos0 x(4)cos0 x 2k,2k,k Z2k,22k,kZ(2k,2k),k22Z3(2k,2k),k22Z4、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)1sinxcosx1sinxcosx；(2)f(x)sin4xcos4xcos2x.解析：(1)当 x2时，f(2)1 有意义；而当 x2时，f(2)无意义，故 f(x)为非奇非偶函数(2)因为 f（x）=（sin2x+cos2x）（sin2x-cos2x）cos2x=-cos2x+cos2x=0.又f（x）的定义域为 R.f（-x）=f（x）f（x）既是奇函数又是偶函数.霸祖孤身取二江，子孙多以百城降.豪华尽出成功后，逸乐安知与祸双？王安石
