1、3.3抛物线3.3.1抛物线的标准方程A级必备知识基础练1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-2)的抛物线的标准方程是()A.y2=-2xB.y2=2xC.x2=2yD.x2=-2y2.已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.124.若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,42)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于()A.2B.4C.6D.85.(2022重庆八中高二期中)若点P到
2、点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为()A.y2=4xB.x2=4yC.y2=8xD.x2=8y6.已知抛物线x2=2py(p0)上一点P到焦点的距离与到x轴的距离之差为1,则p=()A.1B.2C.3D.47.已知抛物线C:x2=2py(p0),点Ax0,p2在C上,点B的坐标为0,-p2,若|AB|=52,则C的焦点坐标为.8.已知抛物线的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点32,6,求抛物线和双曲线的标准方程.B级关键能力提升练9.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M
3、到其准线及x轴的距离分别为3和22,则p=()A.4或1B.2或4C.1或2D.110.M是抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,FMx轴,且|OM|=5,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-211.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C上的两点P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,则直线PQ的斜率为()A.1B.2C.3D.512.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为.13.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,且斜率为2
4、2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),则(-2)2=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.2.B抛物线y2=2px(p0)的准线为x=-p2且过点(-1,1),故-p2=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).3.B抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.4.D由题意可得3x0=x0+p2,即x0=p4,则(42)2=2pp4,解得p=8(负值舍去).故选D.5.D点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离.由抛物线的定义可
5、知,点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,p=4,点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.6.B由抛物线的方程可得准线的方程为y=-p2,设P的纵坐标为n,由抛物线的性质,则n+p2-n=1,解得p=2,故选B.7.0,52点Ax0,p2在C上,x02=2pp2,解得x0=p.又点B的坐标为0,-p2,p2+p2=52,解得p=5.故抛物线C的焦点坐标为0,52.8.解由题意可知,抛物线的焦点在x轴正半轴上,故可设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),根据点32,6在抛物线上可得62=2p32,解得p=2.故所求抛物线的标准方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.抛
6、物线的准线过双曲线的一个焦点,c=1,即a2+b2=1.故双曲线的标准方程为x2a2-y21-a2=1.点32,6在双曲线上,94a2-61-a2=1,解得a2=14或a2=9(舍去).故所求双曲线的标准方程为x214-y234=1.9.B设点M的坐标为(xM,yM),因为抛物线y2=2px(p0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和22,所以|yM|=22,xM+p2=3,即|yM|=22,xM=3-p2,代入抛物线方程可得8=2p3-p2,整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故选B.10.A抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,M为抛物线上的点,且FMx轴,Mp2,p或
7、Mp2,-p.又|OM|=5,p22+p2=5,解得p=2或p=-2(舍),则p2=1,抛物线的准线方程为x=-1,故选A.11.C如图所示,作QM垂直准线于点M,PN垂直准线于点N,作PEQM于点E,因为|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,所以由抛物线的定义可知|MQ|=4,|PN|=3,所以|QE|=1,所以|EP|=22-12=3,直线PQ的斜率为31=3.故选C.12.12,0(方法1)将x=2代入抛物线y2=2px(p0),可得y=2p.设直线OD的斜率为kOD,直线OE的斜率为kOE,由ODOE,可得kODkOE=-1,即2p2-2p2=-1,解得p=1.所以抛物线的标准方程
8、为y2=2x,它的焦点坐标为12,0.(方法2)记直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)在第一象限内的交点为D,易知ODE=45,可得D(2,2),代入抛物线方程y2=2px(p0),可得4=4p,解得p=1.所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为12,0.13.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px(p0)联立,可得4x2-5px+p2=0,=9p20,故x1+x2=5p4.由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故抛物线的标准方程为y2=8x.(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=
9、4,则y1=-22,y2=42.故A(1,-22),B(4,42).设OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(1+4,-22+42),又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),可得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.14.5+13抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),|AF|=13.过点P向准线作垂线,垂足为D,根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值.过点A向准线作垂线,垂足为D0,交抛物线于点P0,根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时,|PA|+|PD|取最小值,为|AD0|=5.故PAF周长的最小值为5+13.
