1、章末综合测评(八)函数应用 (满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)(x21)的零点个数是()A1B2C3D4B要使函数有意义，则x240，解得x2或x2.由f(x)0得x240或x210(不成立舍去)，即x2或x2.所以函数的零点个数为2.故选B.2函数f(x)log2x3x4的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)D函数y1log2x在区间(0，)上为增函数，函数y23x4为增函数，所以，函数f(x)log2x3x4在区间(0，)上为增函数，则该函数
2、最多有一个零点，又f(1)10，因此，函数f(x)log2x3x4的零点所在的一个区间是(1,2)故选D.3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的.经过x年，剩留的物质是原来的，则x为()A2B3C4D5B先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y1，经过2年，y2，那么经过x年，则yx.依题意得x，解得x3.4某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()Aylog2xBy2xCyx2Dy2xB画出散点图(图略)，由散点图可
3、知，这种空调的函数模型为y2x.5利用二分法求方程log3x5x的近似解，可以取得一个区间()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)D设函数f(x)log3x(5x)，因为f(3)1210，所以f(3)f(4)0，由零点存在定理可知函数f(x)在区间(3,4)上至少存在一个零点，故方程log3x5x的近似解可取区间(3,4)6已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是()A(0，)B(，1)C(1，)D(0,1D作出函数f(x)的图象，由图象知，当0k1时，yk与yf(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)k有两个不等实根，所以072，不符合题意综
4、上所述：此户居民本月用水量为15 m3.故选C.8加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟B由图形可知，三点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)都在函数pat2btc的图象上，所以 ，解得a0.2，b1.5，c2，所以p0.2t21.5t20.22，因为t0，所以当t3.75时，p取最大值，故此时的t3.75分钟为最佳加工时间
5、，故选B.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知函数f(x)xexax1，则关于f(x)的零点，叙述错误的是()A当a0时，函数f(x)有两个零点B函数f(x)必有一个零点是正数C当a0时，函数f(x)只有一个零点ACDf(x)0exa，在同一坐标系中作出yex与y的图象，可观察出A、C、D选项错误，应选ACD.10设a为实数，则直线ya和函数yx41的图象的公共点个数可以是()A0B1C2D3ABC因为函数yx41为定义在R上的偶函数，且在(，0上为减函数，在0，)上为增函数，且函
6、数的最小值为1，所以当a1时，直线ya和函数yx41的图象的公共点个数分别为0,1,2.故选ABC.11为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg 1.20.079，lg 20.301)()A2023年B2024年C2025年D2026年CD设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，则投入的资金为y5 000(120%)n，由题意可得：y5 000(120%
7、)n12 800，即1.2n2.56，nlg 1.2lg 2.56lg 282，n5.16，nZ，n6，即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，故选CD.12已知f(x)，当aM时，总存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则集合M可以是()A(，0B(1，)C(，0)D(0,1)BC要使得g(x)f(x)b有两个零点，即f(x)b有两个根，必须有yf(x)与yb的图象有两个交点，由x3x2可得，x0或x1.当a1时，函数yf(x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a1满足题意当a1时，由于函数yf(x)在定义域R上单调递增，故不符合题意当0a1时，函数yf
8、(x)单调递增，故不符合题意当a0时，函数yf(x)单调递增，故不符合题意当a0时，函数yf(x)的图象如图所示，此时存在b使得yf(x)与yb有两个交点综上可得a(，0)(1，)所以应选BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13函数f(x)x2x10的零点所在区间为(n，n1)，nZ，则n_.2因为f(2)241040, 所以f(2)f(3)0，由函数零点存在定理知函数f(x)x2x10在区间(2,3)上有零点，所以n2.14用二分法研究函数f(x)x3ln 的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_(本题第一空2分，第二空
9、3分)f 由于f(0)0，故f(x)在上存在零点，所以x0，第二次应计算0和在数轴上对应的中点x1.15已知x表示不超过实数x的最大整数，如1.81，1.22.x0是函数f(x)ln x的零点，则x0等于_2函数f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，x02.16已知函数f(x) 其中a0，且a1，若函数yf(x)1有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1x2x30，则实数a的取值范围是_如图所示：当a1时，函数yf 1有2个不同的零点，不满足；当0a1时，不妨设x1x22.ax11，故xloga22，故0a.四、解答题(本大题共6
10、小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明令g(x)f(x)x.g(0)，gf ，g(0)g1，f 0，f 0，f(x)2 020xlog2 020x在区间内存在零点易知f(x)在(0，)上是单调增函数，f(x)在(0，)内有且只有一个零点，根据奇函数的对称性可知，函数f(x)在(，0)内有且只有一个零点综上可知函数f(x)在R上的零点个数为3.19(本小题满分12分)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A
11、地(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象解(1)汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s60t(0t2.5)汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s150(2.5t3.5)由B地返回A地，则汽车到A地的距离s15050(t3.5)32550t(3.5t6.5)综上，s它的图象如图(1)所示 (1)(2)(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v它的图象如图(2)所示20(本小题满分12分)某电脑公司生产A型手提电脑，2016年平均每台A型手提电脑生产成本为5 000元
12、，并以纯利润20%标定出厂价.2017年开始，公司加强管理，降低生产成本.2020年平均每台A型手提电脑尽管出厂价仅是2016年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益(1)求2020年每台A型手提电脑的生产成本；(2)以2016年的生产成本为基数，用二分法求20172020年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01)解(1)设2020年每台A型手提电脑的生产成本为P元，依题意得P(150%)5 000(120%)80%，解得P3 200，所以2020年每台A型手提电脑的生产成本为3 200元(2)设20172020年生产成本平均每年降低的百分数为x，根据题意，得5 000(1x)4
13、3 200(0x1)，即5(1x)24(0x0，f(0.11)0.039 50，所以f(0.11)f(0.105)0，a1)且f(0)0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)(2x1)f(x)k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x(0,1)时，若f(x)m2x2恒成立，求实数m的取值范围解(1)由f(0)0得10，即a24，解得a2.(2)由(1)可知f(x)1，函数g(x)(2x1)f(x)k有零点方程2x1k0有解，即k12x有解，12x(，1)，k(，1)(3)f(x)，由f(x)m2x2得m(2x)2(m3)2x1m2x2mt2(m3)t10对于t(1,2)恒成立，设g(t)mt2(
14、m3)t1，当m0时，m30，g(t)mt2(m3)t10在(1,2)上恒成立m0符合题意；当m0时，g(t)3t10时，只需m，0m.综上所述，m的取值范围是.22(本小题满分12分)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方
15、案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示图(1)图(2)观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，取(4,2)为最高点，则ya(x4)22，再把点(1,0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示设ykxb，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得解得所以y0.25x.即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y0.15(x4)22；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y0.25x.设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么所以W0.1520.1522.6.当xA3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB8.8(万元)即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元
