1、直线与椭圆的综合问题建议用时：45分钟一、选择题1椭圆4x29y2144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()ABCDA设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x9y144,4x9y144，两式相减得4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又x1x26，y1y24，k，代入解得k.2直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，) B(1,3)(3，)C(3，) D(0,3)(3，)B由得(m3)x24mxm0.由0且m3及m0得m1且m3.3已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若椭
2、圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A. B. C. D2B由条件知c1，e，所以a，b1，椭圆方程为y21，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，所以|AB|.4设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k等于()A B C D2A由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c1，当k0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得解得k；同理可得当k0时k.故选A.5(2019长春模拟)经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3
3、 BC或3 DB依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1.代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x.所以两个交点坐标为A(0，1)，B，所以(0，1).同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.二、填空题6直线ykxk1与椭圆1的位置关系是 相交直线方程ykxk1，可化为yk(x1)1，则直线恒过定点(1,1)，又1，则点(1,1)在椭圆1内，故直线与椭圆相交7已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|3，则椭圆C的标准方程为 1由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c1，可
4、设椭圆C的方程为1(a1)，由|AB|3，知点在椭圆上，代入椭圆方程得4a417a240，所以a24或a2(舍去)故椭圆C的标准方程为1.8过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，即.又x1x22，y1y22，.e21，即e.三、解答题9如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x
5、，y)，由已知得因为点P在圆x2y225上，所以x2y225，即x2225，整理，得1，即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.所以x1x23，x1x28，所以线段AB的长度为|AB|.所以直线被C所截线段的长度为.10已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程解(1)F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所
6、以ac，所以e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2，又由(c，b)，得b2c21，即a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.1(2019福州模拟)已知两定点M(1,0)，N(1,0)，直线l：yx，在l上满足|PM|PN|2的点P的个数为()A0B1C2D0或1或2B由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，故c1，a，b1，其方程为y21.由得3x24x40.(4)24340，则在l上满足|PM|PN|2的点P有1
7、个，故选B.2设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3 C2 D1D因为()()0，所以PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，所以mn2，所以SF1PF2mn1.故选D.3若F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为 x21设点A在点B上方，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得3，故即代
8、入椭圆方程可得b21，解得b2，故椭圆方程为x21.4(2019石家庄模拟)已知点M(，)在椭圆C：1(ab0)上，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求PAB的面积解(1)由已知得解得故椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)由消去y，整理得4x26mx3m2120，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，由36m216(3m212)0，得m216，则x0m，y0x0mm，即D.因为AB是等腰PAB的底边，所以PDAB，即PD
9、的斜率k1，解得m2，满足m216.此时x1x23，x1x20，则|AB|x1x2|3，又点P到直线l：xy20的距离为d，所以PAB的面积为S|AB|d.1已知椭圆C：1与圆M：(x)2(y2)2r2(0r)，过椭圆C的上顶点P作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于A，B两点(不同于点P)，则直线PA与直线PB的斜率之积等于 1圆心为M(，2)，P(0，)，设切线为ykx，由点到直线距离得dr，(2r2)k24k(2r2)0，k1k21.2(2019西安模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有，a，所以c，b1，所以所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当ABx轴时，|AB|；当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm，由已知得，即m2(1k2)把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，所以x1x2，x1x2，所以|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3334(k0)，当且仅当9k2，即k时等号成立又当k0时，|AB|.综上所述，|AB|max2，所以当|AB|最大时，AOB面积取最大值，S|AB|max.
